الانحراف المعياري

الانحراف المعياري كمقياس إحصائي

الانحراف المعياري هو أحد المقاييس الأكثر استخدامًا لوصف إحصائيات مجموعة بيانات معينة. الانحراف المعياري، بعبارات بسيطة، هو مقياس لمدى تشتت مجموعة البيانات. من خلال حساب الانحراف المعياري، يمكنك معرفة ما إذا كانت الأرقام قريبة من المتوسط أم بعيدًا عنه. إذا كانت نقاط البيانات بعيدة عن المتوسط، فهناك انحراف كبير في مجموعة البيانات. وبالتالي، كلما زاد تشتت البيانات، زاد الانحراف المعياري.

تحدد هذه الآلة الحاسبة الانحراف المعياري لمجموعة بيانات معينة وتعرض الخطوات الرياضية المتضمنة في الحساب.

قواعد استخدام هذه الآلة الحاسبة

تقبل الآلة الحاسبة الإدخال كقائمة أرقام مفصولة بمحدد. يتم عرض بعض الأمثلة على المدخلات المحتملة في الجدول أدناه.

يمكن فصل الأرقام بفاصلة / مسافة / فاصل أسطر أو مزيج منها ويمكن إدراجها إما في تنسيق الصف أو العمود. بالنسبة لجميع التنسيقات الموضحة في الجدول أعلاه، تعالج الآلة الحاسبة المدخلات مثل 44, 63, 72, 75, 80, 86, 87 و89.

بمجرد إدخال البيانات، حدد ما إذا كانت عينة أو بيانات مجتمع واضغط على إدخال. تعرض الآلة الحاسبة خمس معلمات إحصائية لمجموعة البيانات: العدد (عدد الملاحظات)، والمتوسط، ومجموع الانحرافات التربيعية، والتباين، والانحراف المعياري.

المسائل التي صممت هذه الآلة الحاسبة لحلها

تم تصميم الآلة الحاسبة لحساب الانحراف المعياري لمجموعة بيانات منفصلة وتوفر نظرة ثاقبة للنظرية الكامنة وراء طريقة الحساب.

قد تتكون البيانات من مجتمع يتكون من جميع الملاحظات الممكنة في تجربة (من أي نوع) في ظل الظروف المحددة. في كثير من الحالات، من المستحيل أخذ عينة من كل فرد من المجتمع.

في الممارسة الإحصائية، من الشائع العمل مع عينة من مجتمع أكبر، والتي نشير إليها بـ 'العينة'. وذلك لأنه في كثير من الأحيان يكون من غير العملي أو المستحيل جمع البيانات من كل فرد في المجتمع. نحن نقوم بعمل تقديرات أو استنتاجات حول المجتمع بناءً على المعلومات التي تم جمعها من العينة.

عند حساب الانحراف المعياري، يتم تعديل الصيغة التي نستخدمها حسب ما إذا كنا نتعامل مع عينة أو مع المجتمع بأكمله. يتم هذا التعديل من خلال عامل يُعرف بـ 'درجات الحرية'. بالنسبة لعينة، نقوم بالقسمة على n - 1 (حيث n هو حجم العينة) بدلاً من n عند حساب التباين، والذي يتم بعد ذلك تربيعه لإيجاد الانحراف المعياري. هذا التصحيح يعوض عن حقيقة أننا نستخدم بيانات العينة لتقدير الانحراف المعياري للمجتمع، ويضمن أن تقديرنا غير متحيز.

يقيس الانحراف المعياري متوسط التشتت /الانحراف/ التباين لمجموعة البيانات بالنسبة إلى المتوسط. غالبًا ما يُشار إليه بالحرف اليوناني سيجما σ لمجتمع أو s لعينة. تشير القيمة الأكبر من σ أو s إلى تشتت أكبر لنقاط البيانات من متوسط العينة والعكس صحيح.

ضع في اعتبارك الأمثلة التالية لمجموعات البيانات.

(المجموعة I)

11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27

(المجموعة II)

12, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20

باستبدال مجموعات البيانات هذه في الآلة الحاسبة، نحصل على المجموعة I

• x̄=16 - متوسط القيمة
• s=8.3904708 - الانحراف المعياري

بالنسبة للمجموعة II

• x̄=16 - متوسط القيمة
• s=2.3664319 - الانحراف المعياري

في المجموعة I ، انحرفت الأرقام بشكل كبير عن متوسط العينة (s=8.39) بينما في المجموعة II ، يكون التباين صغيرًا (s=2.36) مقارنةً بالمجموعة II.

معادلة حساب الانحراف المعياري

يتم تطبيق هذه المعادلة عندما يتم تحليل جميع قيم المجتمع.

$$σ = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-μ)^2}{N}}$$

• σ هو الانحراف المعياري للسكان،
• xᵢ هي القيمة الفردية للسكان،
• μ هو المتوسط الحسابي للسكان،
• n هو حجم المجتمع.

يتم استخدام المعادلة أدناه عندما يكون هناك عدد كبير جدًا من المجتمع ولا يتم أخذ سوى عينته للتحليل.

$$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}$$

• s هو الانحراف المعياري للعينة،
• xᵢ هي قيمة قيمة عينة فردية،
• x̄ هو متوسط العينة،
• n هو حجم العينة.

حساب الانحراف المعياري

طريقة الحساب تشمل تضمين الخطوات التالية في حساب الانحراف المعياري.

الخطوة 1: حساب متوسط العينة/المجتمع. مجموع جميع نقاط البيانات مقسومًا على N أو n

المتوسط الحسابي للعينة:

$$\bar{x}=\frac{x₁+x₂+x_3+........+x_n}{n}$$

المتوسط الحسابي للمجتمع

$$\mu=\frac{x₁+x₂+x_3+........+x_N}{N}$$

الخطوة 2: حساب الانحرافات عن طريق طرح متوسط العينة/المجتمع من كل نقطة بيانات

انحرافات العينة:

$$(x₁-\bar{x}), (x₂-\bar{x}), (x_3-\bar{x})…………………… (x_n-\bar{x})$$

انحرافات المجتمع:

$$(x₁-\ \mu), (x₂-\ \mu), (x_3-\ \mu)……………….. (x_N-\ \mu)$$

الخطوة 3: حساب الانحرافات التربيعية لكل نقطة بيانات.

الانحرافات التربيعية للعينة:

$$(x₁-\bar{x})^2, (x₂-\bar{x})^2, (x_3-\bar{x})^2…………………… (x_n-\bar{x})^2$$

الانحرافات التربيعية للمجتمع:

$$(x₁-\ \mu)^2, (x₂-\ \mu)^2, (x_3-\ \mu)^2……………….. (x_N-\ \mu)^2$$

الخطوة 4: حساب مجموع الانحرافات التربيعية بإضافة كل الانحرافات التربيعية الفردية

مجموع الانحرافات التربيعية للعينة:

$$SS=(x₁-\bar{x})^2+ (x₂-\bar{x})^2+(x_3-\bar{x})^2……………………+(x_n-\bar{x})^2$$

مجموع الانحرافات التربيعية للمجتمع:

$$SS=(x₁-\ \mu)^2+ (x₂-\ \mu)^2+(x_3-\ \mu)^2……………….+ (x_N-\ \mu)^2$$

الخطوة 5: قسّم مجموع الانحرافات المربعة على عدد درجات الحرية للحصول على التباين. للسكان، قسّم على N، وللعينة، قسّم على n-1.

تباين العينة

$$ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(xᵢ - \bar{x})^2}{n - 1} $$

تباين السكان

$$ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(xᵢ - \mu)^2}{N} $$

عند حساب التباين لعينة، يمكننا أن نفترض أننا سنستخدم التعبير للحسابات:

$$\frac{(x-\bar{x})^2}{n}$$

حيث

x̄ هو متوسط العينة و n هو حجم العينة. لكن مثل هذه المعادلة لا تستخدم.

مثل هذا التعبير لن يعطي تقديرًا جيدًا للتباين في المجتمع. عندما يكون عدد المجتمع كبيرًا جدًا وتكون العينة صغيرة جدًا، فإن التباين المحسوب بواسطة هذه الصيغة سيقلل من تباين المحتوى. سيظهر هذا تباينًا صغيرًا جدًا بسبب نقص البيانات. لذلك باستخدام التعبير n-1 نزيد قيمة التباين المحتمل.

بدلاً من القسمة على n ، نجد تباين العينة بالقسمة علىn-1. تعطي هذه العملية قيمة تباين أكبر قليلاً، أقرب إلى القيمة الفعلية.

الخطوة 6: استخرج الجذر التربيعي للرقم الناتج. الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين.

الانحراف المعياري للعينة

$$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}}$$

الانحراف المعياري المجتمع

$$\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\frac{\sum_{i}^{N}{{(x_i-\ \mu)}^2\ }}{N}}$$

مثال على حساب الانحراف المعياري لعينة

دعونا نفكر في الدرجات التالية لـ n=8 طلاب في اختبار نهائي الفيزياء:

45, 67, 70, 75, 80, 81, 82, and 84

الآلة الحاسبة تحسب الانحراف المعياري للعينة باستخدام الخطوات التالية:

الخطوة 1: حساب المتوسط.

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i} x_i}{n}=\frac{45+\ 67+\ 70+\ 75+\ 80+\ 81+\ 82+\ 84}{8}=73$$

الخطوة الثانية: حساب الانحرافات

الخطوة 3: حساب مربعات الانحرافات

الخطوة 4: جمع الانحرافات المربعة.

$$SS=\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2=784+36+9+4+49+64+81+121}=1148$$

الخطوة 5: حساب التباين بقسمة مجموع الانحرافات التربيعية على درجات الحرية(n-1). بالنسبة إلى المجتمع، سيتم تقسيم التباين في هذه الخطوة على N بدلاً من N-1. في هذه الحالة، لدينا عينة، أي بيانات عن جزء من مجتمع الطلاب، وليس المجتمع بأكمله.

$$s^2=\ \frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}=\frac{1148}{8-1}=164$$

الخطوة 6: نأخذ الجذر التربيعي للتباين للحصول على الانحراف المعياري.

$$s=\sqrt{s^2}=\ \sqrt{164}=12.80$$

تطبيقات الانحراف المعياري

يمكن استخدام التشتت والانحراف المعياري لتحديد تشتت البيانات. إذا كان التباين أو الانحراف المعياري كبيرًا، تكون البيانات أكثر تشتتًا. هذه المعلومات مفيدة عند مقارنة مجموعتي بيانات (أو أكثر) لتحديد أيهما أكثر (أكثر) متغيرًا.

في الصناعة، يستخدم الانحراف المعياري على نطاق واسع لمراقبة الجودة. في الإنتاج على نطاق واسع، يجب أن تقع خصائص معينة للمنتج ضمن نطاق محدد يمكن الوصول إليه عن طريق حساب الانحراف المعياري. على سبيل المثال، في إنتاج الصواميل والمسامير، يجب أن يكون التباين في أقطارها صغيرًا، وإلا فلن تتناسب الأجزاء معًا.

يستخدم الانحراف المعياري في التمويل والعديد من المجالات الأخرى لتقييم المخاطر. في التحليل الفني، يتم استخدام الانحراف المعياري لإنشاء خطوط بولينجر وحساب التقلبات.

أيضًا، يتم استخدام الانحراف المعياري في التمويل كمقياس للتقلب، وفي علم الاجتماع، يتم استخدامه في استطلاعات الرأي العام للمساعدة في حساب عدم اليقين.

يتم استخدام التباين والانحراف المعياري لتحديد عدد قيم البيانات التي تقع ضمن فاصل توزيع معين. على سبيل المثال، توضح نظرية تشيبيشيف أنه بالنسبة لأي توزيع، فإن 75% على الأقل من قيم البيانات ستكون ضمن انحرافين معياريين عن المتوسط.

لنأخذ مثالًا بسيطًا عن المناخ. لنفترض أننا ندرس درجة الحرارة اليومية لمدينتين في نفس المنطقة. تقع إحدى المدن على الساحل والأخرى داخلية. قد يكون متوسط درجة الحرارة اليومية القصوى في هاتين المدينتين هو نفسه. لكن الانحراف المعياري، أي انتشار درجات الحرارة اليومية القصوى سيكون أكبر بالنسبة للمدينة الواقعة في القارة، وسيكون للمدينة الساحلية انحراف معياري أصغر لدرجات الحرارة اليومية القصوى.

هذا يعني أن المدينة القارية سيكون لها تباين أكبر في درجة حرارة الهواء القصوى في أي يوم من أيام السنة مقارنة بالمدينة الساحلية. أي أن المدينة الساحلية سيكون لديها مناخ أكثر اعتدالًا.