حاسبة المثلث القائم الزاوية

حاسبة المثلث القائم الزاوية

حاسبة المثلث قائم الزاوية هي أداة إيجاد جميع حسابات المثلث عبر الإنترنت تركز فقط على المثلثات القائمة. تأخذ الآلة الحاسبة أي قيمتين للمثلث القائم الزاوية كمدخلات وتحسب قياسات المثلث المجهولة. القيم المضمنة هي - أطوال جوانب المثلث (أ ، ب ، ج) ، قيم الزاوية باستثناء الزاوية اليمنى (α و β) و المحيط (P) ، والمساحة (A) ، والارتفاع إلى- وتر المثلث (h).

لاستخدام الآلة الحاسبة، أدخل أي قيمتين من القيم المذكورة أعلاه واضغط على "احسب". لمسح جميع قيم الإدخال، اضغط على "مسح"

يمكن إدخال قيم الزاوية بالدرجات والراديان. لإدخال القيمة بالراديان باستخدام π، استخدم الترميز التالي"pi". على سبيل المثال، إذا كانت قيمة الزاوية المحددة π/3، قو بإدراج "pi/3".

ستعرض الآلة الحاسبة جميع القيم المجهولة وخطوات الحساب. ستوضح الآلة الحاسبة أيضًا العرض المقاس للمثلث ذي الصلة، وقيم نصف القطر ومحيط نصف القطر.

شروط على قيم الإدخال لحاسبة المثلث

1. يمكنك إدخال قيمتين فقط.
2. يجب أن تكون قيم الزاوية α و β أقل من 90 درجة أو (π/2)rad بالراديان.
3. يجب ألا يتجاوز طول الارتفاع إلى الوتر (h) طول الضلعين (a أو b).
4. يجب أن يكون طول كل ضلع من أضلاع المثلث (أ، ب، أو ج) أقل من مجموع الضلعين الآخرين.
5. لأي طول معين من طول الوتر، يكون للمثلث محيط أقصى. لن تقبل الآلة الحاسبة أي محيط يتجاوز هذه القيمة. الحد الأقصى لمحيط المثلث القائم بطول الوتر المحدد يتوافق مع حالة المثلث متساوي الساقين (a=b). في هذه الحالة \$a=b=\frac{c}{\sqrt2}\$، والحد الأقصى للمحيط \$P=a+b+c=c+\frac{2c}{\sqrt2}\$.

المثلث القائم الزاوية: تعريف ومعلومات مفيدة

المثلث القائم الزاوية هو مثلث تكون إحدى زواياه 90 درجة أو \$\frac{π}{2}\ rad\$. الضلع المقابل للزاوية القائمة يسمى الوتر. يسمى الجانبان الآخران هما ضلعا المثلث أو أرجل المثلث.

الضلع b أحيانًا يكون قاعدة المثلث القائم، والضلع a هو ارتفاع المثلث القائم.

دائمًا ما تكون أرجل أو ضلعي المثلث أقصر من الوتر. بما أن إحدى زوايا المثلث تساوي 90 درجة، ومجموع كل زوايا أي مثلث يساوي 180 درجة، فإن مجموع الزاويتين الأخريين للمثلث القائم هو أيضًا 90°: α+β=90°. أطوال أضلاع المثلث مرتبطة ببعضها البعض كما هو موصوف في نظرية فيثاغورس.

نظرية فيثاغورس

ترتبط نظرية فيثاغورس بأطوال جميع أضلاع المثلث القائم الزاوية. تنص على أن مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين:

$$c^2=a^2+b²$$

وبالتالي، إذا كانت أطوال ضلعي المثلث معروفة فقط ، فيمكن حساب طول الوتر على النحو التالي:

$$c=\sqrt{a^2+b²}$$

لنفترض أننا نعرف طول ضلع واحد فقط من جانبي المثلث وطول الوتر. في هذه الحالة، يمكننا حساب طول الضلع الآخر على النحو التالي:

$$a=\sqrt{c^2-b²}$$

$$b=\sqrt{c^2-a^2}$$

نظرية فيثاغورس هي أهم نظرية حول المثلث القائم وأحد أهم النظريات في الهندسة الإقليدية.

المعادلات الأساسية الأخرى

بصرف النظر عن نظرية فيثاغورس، تُستخدم العلاقات التالية لحساب القيم المجهولة لمثلث قائم الزاوية:

محيط المثلث هو مجموع أطوال أضلاعه ويوجد بالشكل

$$P = a + b + c$$

يتم حساب مساحة المثلث القائم على النحو التالي:

$$A=\left( \frac{1}{2} \right)ab$$

لإيجاد زوايا المثلث القائم، علينا حساب جيب الزاوية وجيب التمام والظل. لإيجاد جيب الزاوية أو جيب التمام أو ظل الزاوية، علينا تحديد الضلع المجاور والمقابل للزاوية. يشكل الوتر وضلعًا آخر زاويتين حادتين للمثلث القائم. هذا الضلع الآخر هو الضلع المجاور للزاوية المقابلة. وبذلك يكون الضلع المتبقي هو الضلع المقابل لهذه الزاوية. على سبيل المثال، في الشكل أدناه، a هو الضلع المقابل للزاوية α ، و b هو الضلع المجاور.

يمكن إيجاد جيب أي زاوية حادة في المثلث القائم على أنه طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الوتر:

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}, \sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

يمكن حساب جيب التمام لأي زاوية حادة في المثلث القائم على أنه طول الضلع المجاور مقسومًا على طول الوتر:

$$\cos{\alpha}=\frac{b}{c}, \cos{\beta}=\frac{a}{c}$$

يمكن إيجاد ظل أي زاوية حادة في المثلث القائم كنسبة طول الضلع المقابل إلى طول الضلع المجاور:

$$\tan{\alpha}=\frac{a}{b}, \tan{\beta}=\frac{b}{a}$$

يتم حساب طول الارتفاع إلى الوتر بـ

$$h=\frac{ab}{c}$$

تجد الآلة الحاسبة أيضًا نصف القطر ومحيط مثلث معين باستخدام المعادلات التالية:

$$دائرة نصف قطرها الداخلي=\frac{ab}{a+b+c}$$

$$حول نصف القطر=\frac{c}{2}$$

مثال

لنفترض أن لدينا مثلث أطوال ضلعيه: a = 3 و b = 4. هيا لنحسب كل القيم المجهولة للمثلث.

أولًا، لنجد طول الوتر c باستخدام نظرية فيثاغورس:

$$c=\sqrt{a^2+b²}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}+\sqrt{25}=5$$

$$c=5$$

الآن، لنجد قيم زاوية المثلث. كما ذكر أعلاه،

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}$$

وبالتالي،

$$\alpha=arcsin\left(\frac{a}{c}\right)$$

$$\alpha=arcsin\left(\frac{3}{5}\right)=arcsin(0.6)=0.6435\ rad\ =\ 36.87° = 36°52'12"$$

وبالمثل

$$\sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

وبالتالي

$$\beta=arcsin\left(\frac{b}{c}\right)$$

$$\beta=arcsin\left(\frac{4}{5}\right)=arcsin(0.8)=0.9273\ rad\ =\ 53.13° = 53°7'48"$$

لنجد الارتفاع من الارتفاع إلى الوترh:

$$h=\frac{ab}{c}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}=2.4$$

بالنسبة لمساحة المثلث:

$$A=\frac{1}{2}ab=\frac{a× b}{2}=\frac{3×4}{2}=6$$

بالنسبة لمحيط المثلث:

$$P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12$$

يمكن حساب نصف قطر الدائرة الداخلية للمثلث على النحو التالي:

$$دائرة نصف قطرها الداخلي=\frac{ab}{a+b+c}=\frac{3×4}{3+4+5}=\frac{12}{12}=1$$

وأخيرًا، محيط نصف قطر الدائرة الخارجية للمثلث:

$$حول نصف القطر=\frac{c}{2}=\frac{5}{2}=2.5$$

مثلثات قائمة خاصة

هناك نوعان خاصان من المثلثات القائمة - المثلث 45-45-90 والمثلث 30-60-90. أطوال أضلاع هذه المثلثات بنسب خاصة.

المثلث القائم متساوي الساقين

المثلث القائم الزاوية بقياسات الزوايا الحادة 45 درجة و 45 درجة له زاويتان متساويتان. لذلك، أطوال ساقيه متساوية أيضًا، مما يجعل هذا المثلث متساوي الساقين ويمينًا. أطوال جوانبها مرتبطة كما يلي:

$$a : b : c = 1 : 1 : \sqrt{2}$$

المثلث 30-60-90

الزوايا الحادة لهذا المثلث هي 30 درجة و60 درجة. أطوال جوانبها مرتبطة كما يلي:

$$a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$$

حيث "أ" هو الضلع المقابل للزاوية 30 درجة، و"ب" هو الضلع المقابل للزاوية 60 درجة، و"ج" هو الوتر.