حاسبة المعادلة التربيعية

حاسبة المعادلة التربيعية

تعتبر المعادلات التربيعية جزءًا مهمًا من مناهج الرياضيات المدرسية والجامعية. على سبيل المثال، يوفر حل المعادلة التربيعية معلومات مختلفة مثل معدلات التغيير، والارتفاع، والانخفاض في الوظيفة. يتطلب إيجاد حل للمعادلة التربيعية إجراء مجموعة من العمليات الحسابية والجبرية. على الرغم من أن الحل له شكل قياسي، إلا أنه يستغرق بعض الوقت لإجراء العمليات الحسابية يدويًا.

تعد حاسبة المعادلة التربيعية عبر الإنترنت أداة سهلة الاستخدام توفر للمستخدم على الفور حلًا لمعادلة تربيعية. توفر هذه الأداة المجانية الإجابات وتقدم الخطوات المطبقة عند حل المعادلة. وبالتالي، سيقوم المستخدم بوضع تصور لحل المشكلة، والنتائج العددية، ودليل خطوة بخطوة من خلال الحل.

المعادلات التربيعية

المعادلة التربيعية التي يشار إليها أحيانًا بالدالة التربيعية أو متعددة الحدود من الدرجة الثانية، هي معادلة جبرية ذات شكل عام ax²+bx+c=0 حيث x متغير غير معروف يمكن إيجاده. المصطلحان a و b هما معاملات x² و x على التوالي، بينما C ثابت. تأتي كلمة "quad" الشق الأول من كلمة Quadratic أو "الدرجة الثانية" من حقيقة أن أعلى الأس للمتغير x هو 2، كما في x². يمكننا عرض بعض الأمثلة على المعادلات التربيعية أدناه.

$$2x²-4x+0.5=0$$

$$-3x²+\frac{1}{3}x+6=0$$

المعادلة 2x²=0 هي أيضًا معادلة من الدرجة الثانية، حيث b=0 و c=0 ومع ذلك، لا يمثل 2x+3=0 معادلة من الدرجة الثانية نظرًا لأن المصطلح التربيعي ax² غير موجود في المعادلة. كما هو موضح في الأمثلة السابقة، يمكن أن تكون قيم A و B و C أعدادًا صحيحة موجبة أو سالبة أو كسور عشرية (كسور) مثل a≠0.

حل المعادلات التربيعية

عدد الحلول الممكنة لمعادلة ما يساوي أعلى قيمة الأس في المعادلة. يمكن أن تحتوي المعادلة التربيعية على حلين كحد أقصى في هذا السياق. تتمثل إحدى طرق حل دالة تربيعية في استخدام المعادلة التربيعية الموضحة في المعادلة (1).

$$x₁=\frac{-b+\sqrt{b²-4ac}}{2a}\ \ \ \ \ \ \ ;\ \ \ x₂=\frac{-b-\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

(1) يمكنك كتابة النموذج المضغوط للمعادلة التربيعية على النحو التالي:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

هذا حل مباشر حيث يمكن للمستخدم أن يعوض القيم A و B و C للحصول على قيمة x₁ و x₂ وفقًا لقيمة المميز الذي يشير إليه المصطلح تحت الجذر التربيعي b²-4ac، يتغير رقم الحل وطبيعته. يمكننا مناقشة ثلاث حالات:

• إذا كان المميز موجب ؛ b²-4ac>0، إذًا يوجد حلان حقيقيان (x₁≠x₂)
• إذا كان المميز يساوي صفر ؛ b²-4ac=0 ، إذن يوجد حل حقيقي واحد (x₁=x₂)
• إذا كان المميز سالب ؛ b²-4ac<0، إذًا يوجد حلان مركبان (x₁≠x₂)

سنقدم مثالاً لكل حالة في قسم الأمثلة.

بيانياً، على المستوى الإحداثي x-y، حيث y هي دالة x، يمكن للقارئ أن يدرك بصريًا الحل (الحلول) للدالة التربيعية مثل الإحداثي x-coordinate(s) مع المحور حيث y يتقاطع مع x-axis.

استخدام حاسبة المعادلة التربيعية

يمكن لآلة حاسبة الحل التربيعية حل جميع المعادلات التربيعية، بغض النظر عن طبيعة الحل (حقيقي أو معقد). تأخذ الآلة الحاسبة ثلاث مدخلات: قيم A و B و C في بعض الحالات ، قد يضطر المستخدم إلى إجراء بعض المعالجات للمعادلة قبل استخدام الآلة الحاسبة.

في 2x²=x+3 يتعين على المستخدم ببساطة نقل المصطلحات من الجانب الأيمن إلى الجانب الأيسر. نتيجة لذلك، نحصل على 2x²-x-3=0، حيث a = 2 و b=-1 و c-3.

علاوة على ذلك، ومع الأخذ في الاعتبار 4(x²-0.2x)=1، يتعين على المستخدم توسيع القوس بكتابة 4x²-0.8x=1، ثم نقل المصطلحات على الجانب الأيسر من الجانب الأيمن لوضع المعادلة بالمعادلة العامة مثل 4x²-0.8x-1=0 حيث a = 4 و b=-0.8 و c=-1.

أمثلة

في هذا القسم، يمكن للثلاثة أمثلة التالية شرح الحالات الثلاث المحتملة لحل المعادلة التربيعية باستخدام حاسبة المعادلات التربيعية.

مثال 1: حلان حقيقيان

مطلوب إيجاد الحل (الحلول) للدالة التربيعية y₁ على النحو التالي y₁=x²-8x+12 والموضح في الشكل 1.

بشكل بديهي ، الهدف هو إيجاد إحداثي (إحداثي) س للنقاط (النقاط) حيث تتقاطع الوظيفة y₁ مع المحور x - إذا كان هناك أي إحداثي موجود.

الشكل 1: قطعة y₁=x²-8x+12

أولاً، الدالة تساوي صفر (يتم استبدال y₁ بـ 0)، مما ينتج عنه x²-8x+12=0 يتضح أن المعادلة الأخيرة موجودة في معادلة المعادلة التربيعية القياسية حيث a=1 و b=-8 و c=12 ثم يمكننا استخدام الآلة الحاسبة لحل معادلة المعادلة التربيعية مباشرة.

التحقق من قيمة المميز b²-4ac=(-8)²-4(1)(12)=16>0، يجب أن تحتوي الدالة التربيعية حلين حقيقيين. بعد النقر فوق زر احسب، توفر الآلة الحاسبة الحل العددي وخطوات الحل باستخدام المعادلة التربيعية للمعادلة (1).

من الضروري إبراز أنه بعد إدخال قيم A و B و C، تظهر الآلة الحاسبة المعادلة. قد يفكر المستخدم في التحقق من أن المعادلة المعروضة هي نفس المعادلة الموجودة لتجنب أخطاء الإدخال.

• المعادلة: x²-8x+12=0

• الحل: x₁=2 و x₂=6

• الخطوات:

$$x = \frac {-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a}=\frac{-(-8) ±\sqrt{(-8)^2-4×1×12}}{2×1}=\frac{8 ±\sqrt{16}}{2}=4 ±2=6 \ أو \ 2$$

وبالتالي يكون الحل هو x₁=2 و x₂=6. يمكننا التحقق من صحة النتائج بيانياً عن طريق فحص تقاطع المعادلة مع x-axis يوضح الشكل 2 أن الدالة تتقاطع مع المحور x-axis في النقاط المذكورة سابقًا.

الشكل 2: قطعة y₁=x²-8x+12

المثال الثاني: حل حقيقي واحد

بالنظر في هذه الدالة أخرى، y₂-3x²+25=-4x²+10x قبل استخدام الآلة الحاسبة، ستكون الخطوة الأولية هي عزل y₂ على جانب واحد وجمع كل المصطلحات الأخرى على الجانب الآخر مثل y₂=-4x²+10x+3x²-25 وعند مساواة y₂ بالصفر وإجراء العمليات الحسابية، يتم الحصول على المعادلة العامة -x²+10x-25=0 مع b=10 و c=-25 و c=-25.

المميز يساوي صفر b²-4ac=(10)²-4(-1)(-25)=0، لذلك يتوقع المستخدم حل واحد. بعد ذلك، يمكننا استخدام الآلة الحاسبة للمعادلة التربيعية لإيجاد x₁=x₂=5.

• المعادلة: -x²+10x–25=0

• الحل: x = 5

• الخطوات:

$$x = \frac{-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a} = \frac{-10±{\sqrt{10^2 – 4 × (-1) × (-25)}}}{2×-1}=\frac{-10± \sqrt{0}}{-2} = 5$$

يوضح الشكل 3 مخطط y₂ حيث يتضح أن الدالة تتقاطع مع المحور x-axis عند نقطة واحدة.

الشكل 3: y₂=-x²+10x-25

مثال 3: حلان معقدان

وأخيرًا، تمت دراسة y₃=x²-4x+8 لإظهار كيف يمكن للدالة التربيعية أن يكون لها حلان معقدان. يوضح الشكل 4 أن y₃ لا يعبر المحور x-axis.

الشكل 4: y₃=x²-4x+8

بالنظر إلى b²-4ac=(-4)²-4(1)(8)=-16<0 مما يشير إلى وجود حلين مركبين ، لكن ما هي الأعداد المركبة؟

الرقم المركب هو رقم يتم التعبير عنه في شكل مجموعة من الأرقام الحقيقية والتخيلية ويتخذ شكل a+ib.

في هذه الحالة، 'i' في الأعداد المركبة تمثل الوحدة التخيلية، والتي تعبر عن الجذر التربيعي للعدد -1.

يشير المصطلح A إلى الجزء الحقيقي من العدد المركب (Re). من ناحية أخرى، ib هو الرقم التخيلي (Im) حيث i=√-1.

سيحتوي الجذر التربيعي على رقم سالب عندما يكون الشرط b²-4ac أقل من صفر. وبالتالي، فإن أخذ الجذر التربيعي لعدد سالب يتطلب استخدام أعداد مركبة.

العودة لإيجاد حل x²-4x+8=0؛ تحل الآلة الحاسبة المعادلة وتجد x₁=2+2i و x₂=2-2i.

• المعادلة: x²–4x+8=0

• يوجد حلان ممكنان: x=2±2i

• الخطوات:

$$x = \frac{-b ± \sqrt{b² – 4ac}}{2a} = \frac{-(-4) ± \sqrt{(-4)^2 – 4 × 1 × 8}}{2 × 1} = \frac{4 ± \sqrt{-16}}{2} = 2 ± 2i$$

نصائح ونطاق الاستخدام

تم تصميم آلة حاسبة المعادلة التربيعية للطلاب في المدارس والجامعات أو أي شخص يبحث عن حل سريع للدالة التربيعية. يمكن العثور على الوظائف التربيعية في الهندسة، والاقتصاد، والزراعة، إلخ.

أثناء استخدام الأداة بشكل مباشر، يجب أن يكون المستخدم قادرًا على إجراء العمليات الحسابية الأساسية لوضع المعادلة في المعادلة التربيعية القياسية ax²+bx+c=0 لاستخدام الأداة. علاوة على ذلك، من الأفضل (ليس شرطًا أساسيًا) أن تكون على دراية بالأرقام المركبة لأن حل المعادلة التربيعية قد يكون زوجًا من الأعداد المركبة.

قد يكون المستخدم مهتمًا أيضًا باستخدام بعض أدوات التخطيط لتصور المعادلة وحلولها.