حاسبة المنحدر

حاسبة الميل

حاسبة الميل هي أداة مباشرة عبر الإنترنت تتيح لك إيجاد ميل الخط المستقيم. في الرياضيات، يُعرَّف ميل الخط بأنه التغيير في الإحداثي الرأسي (إحداثي ص) بالنسبة للتغيير في الإحداثي الأفقي (إحداثي س).

الرموز المستخدمة

يُشار إلى الميل بالحرف m. يوضح الرسم أعلاه بيانياً جميع الرموز الأخرى المستخدمة في الآلة الحاسبة. يمكن أن يقوم مُستخرج الميل بإجراء العمليات الحسابية في سيناريوهين مختلفين:

1. عندما تكون إحداثيات النقطتين على الخط معروفة. على الرسم البياني، تحتوي النقطتان على إحداثيات (x₁,y₁) و (x₂,y₂) في هذه الحالة ، ستقوم الآلة الحاسبة بحساب ميل الخط المستقيم m.

2. إذا عرفنا إحداثيات نقطة واحدة (x₁,y₁)، والمسافة d وميل الخط ، فستقوم الآلة الحاسبة بإيجاد إحداثيات النقطة الثانية على الخط (x₂,y₂).

في كلا السيناريوهين، ستعيد الآلة الحاسبة أيضًا بإيجاد الخصائص الأخرى المفقودة للخط: مثل التغيير الأفقي ∆x، والتغيير الرأسي ∆y، وزاوية الميل θ، وطول الخط ، أو المسافة d.

تعليمات الاستخدام

أولاً، حدد القيم المعروفة واختر الآلة الحاسبة المناسبة. إذا كانت إحداثيات النقطتين معروفة، فحدد "إذا كانت النقطتان معروفتين".

إذا كان لديك إحداثيات إحدى النقاط فقط، لإجراء العمليات الحسابية، فستحتاج إلى معرفة المسافة d وميل الخط m في هذه الحالة، اختر "إذا كانت هناك نقطة واحدة والميل معروف".

إذا كانت النقاط الـ 2 معروفة

أدخل الإحداثيات المعروفة للنقاط في الحقول المقابلة، ثم اضغط على "احسب". سترجع الآلة الحاسبة المعلومات التالية:

• الميل m،
• زاوية الميل θ،
• طول السطر d،
• التغيير الأفقي ∆x،
• والتغيير الرأسي ∆y.

ستوضح الآلة الحاسبة أيضًا المعادلات المستخدمة للعثور على الميل وجميع القيم المميزة الأخرى للخط. ستعرض الآلة الحاسبة المعادلة المقابلة للخط، وستقوم برسم الخط بشكل تخطيطي للتمثيل المرئي.

لمسح جميع الحقول، اضغط على "مسح".

إذا كانت نقطة معروفة والميل معروف

أدخل الإحداثيات المعروفة للنقطة والمسافة والميل إلى الحقول المقابلة. لاحظ أنه بدلاً من الميل، يمكنك إدخال قيمة "زاوية الميل (theta o θ) يجب إدخال قيم θ بالدرجات. يجب إدخال قيمة واحدة فقط من هذه القيم (إما m أو θ) افترض أن كلاً من m و θ قد تم إدراجهما. في هذه الحالة، ستتجاهل الآلة الحاسبة قيمة θ، وستستخدم فقط الميل m للحسابات.

اضغط على "احسب". ستعيد الآلة الحاسبة المعلومات التالية: إحداثيات النقطة الثانية (x₂,y₂)، التغيير الأفقي ∆x، التغيير الرأسي ∆y، وطول الخط d. إذا تم استخدام الميل m للحساب، فستُرجع الآلة الحاسبة أيضًا قيمة θ إذا استخدمت زاوية الميل θ للحساب، فستُرجع الآلة الحاسبة قيمة m في الإجابة. أيضًا، ستعرض الآلة الحاسبة المعادلة المقابلة للخط، وستقوم برسم الخط بشكل تخطيطي للتمثيل المرئي.

لمسح جميع الحقول، اضغط على "مسح".

معادلة الميل

كما ذكرنا سابقًا، يُعرّف ميل الخط بأنه التغيير في الإحداثي الرأسي $(y-coordinate)$ لخط ما بالنسبة للتغير في الإحداثي الأفقي $(x-coordinate)$:

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=\frac{∆y}{∆x}=tanθ$$

المعادلة أعلاه تسمى معادلة الميل. يمكننا استخدامه لإيجاد ميل أي خط معين إذا كانت إحداثيات نقطتين على الخط معروفة. يُشار إلى الميل عمومًا على أنه m. يتم استخدامه لوصف اتجاه الخط وكذلك ميله:

• إذا ارتفع الخط من اليسار إلى اليمين ، فعندئذٍ y₂>y₁ when x₂>x₁ سيكون الميل دائمًا موجبًا ، m>0 في هذه الحالة ، نقول إن الخط يتزايد.

• إذا كان الخط يتجه لأسفل من اليسار إلى اليمين ، فعندئذٍ y₂ < y₁ when x₂ > x₁ سيكون الميل سالبًا ، m < 0 في هذه الحالة ، نقول إن الخط يتناقص.

• إذا كان الخط أفقيًا، فإن y₂=y₁ and y₂-y₁=0. فإن الميل أيضًا يساوي صفرًا m=0:

• إذا كان الخط عموديًا، فإن x₂=x₁ and x₂-x₁=0 معادلة الميل سيكون لها صفر في المقام، والميل غير معروف.

المعادلة الخطية

يمكننا كتابة أي معادلة خطية بالصيغة التالية:

$$y=mx+b$$

يسمى هذا الشكل من المعادلة الخطية بصيغة الميل والمقطع. سيكون مخطط هذه المعادلة عبارة عن خط مستقيم ، حيث m هو ميل الخط المستقيم. و B هو الإحداثي الذي يقطع عنده الرسم البياني المحور y. يُطلق على B أحيانًا اسم تقاطع y للخط ، حيث أن y=b عندما x=0.

عندما تُعرف إحداثيات نقطة واحدة على الخط والميل، يمكننا كتابة المعادلة الخطية فيما يسمى بصيغة نقطة الميل:

$$y-y₁=m(x-x₁)$$

هذه الصيغة من المعادلة الخطية مفيدة لإيجاد تقاطع y لخط.

مثال للحساب

لنفترض أننا نعرف إحداثيات النقطتين على الخط.

المعطيات:

$$x₁=1$$

$$y₁=1$$

$$x₂=9$$

$$y₂=25$$

لنوجد أولاً ميل هذا الخط:

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=\frac{∆y}{∆x}$$

$$m=\frac{25-1}{9-1}=\frac{24}{8}=3$$

$$m=3$$

الآن، دعنا نجد القيم المميزة الأخرى للخط. نعلم أن m=tanθ لذلك يمكننا إيجاد زاوية الميل θ كما يلي:

$$\theta=\arctan{\left(m\right)}= arctan\frac{∆x}{∆y} = 71.565051177078°$$

بالإضافة إلى،

$$∆x=9-1=8$$

$$∆y=25-1=24$$

يمكننا إيجاد المسافة d باستخدام نظرية فيثاغورس. تنص على أن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعات طول ضلعي المثلث القائم.

بتطبيق هذه النظرية على مثلثنا، نحصل على:

$$d^2=∆x2+∆y2$$

وبالتالي،

$$d=∆x2+∆y2$$

$$d=\sqrt{8^2+{24}^2}=\sqrt{640}$$

$$d=25.298221281347$$

للعثور على تقاطع y للخط ، دعنا نكتب معادلة الخط في صيغة ميل ونقطة ، واستبدال القيم المعطاة لدينا وهي m و x₁ و y₁:

$$y-1=3\left(x-1\right)$$

$$y=3x-2$$

للذلك ، y=-2 هو تقاطع y من السطر ، أو بعبارة أخرى ، عندما x=0 ، y=-2.

إذا كان y=0:

$$x=\frac{2}{3}=0.66666666666667$$

يوضح الرسم الخط المقابل. في حالتنا، الميل موجب، m>0، ويمكننا أن نرى أن الخط يتزايد - فهو يرتفع من اليسار إلى اليمين. يمكننا أيضًا أن نرى أن الخط شديد الانحدار نظرًا لزاوية الميل θ ≈ 72°.