حاسبة حجم العينة

هناك مكونان لآلة حساب حجم العينة. المكون الأول هو حساب حجم العينة، والمكون الثاني هو تحديد هامش الخطأ.

يعد تحديد مستوى الثقة من القائمة المنسدلة الخطوة الأولى في تحديد حجم العينة. بعد ذلك، أدخل هامش الخطأ النسبي. يمكنك تحويل هامش الخطأ من المصطلحات المطلقة إلى المصطلحات النسبية بقسمة القيمة المطلقة من تقدير النقطة.

بعد ذلك، إذا كنت تعرف نسبة المجتمع، فأدخلها. خلاف ذلك، احتفظ بها عند 50%. أدخل حجم المجتمع في الخلية الأخيرة إذا كنت تعرف ذلك؛ خلاف ذلك، اتركه فارغًا. أخيرًا، انقر فوق "احسب".

استخدم المكون الثاني من الآلة الحاسبة للحصول على هامش الخطأ. كخطوة أولى، اختر مستوى الثقة من القائمة المنسدلة. أدخل حجم عينة الدراسة في الخلية الثانية. بعد ذلك، أدخل نسبة المجتمع. أدخل حجم المجتمع في الخلية الأخيرة. إذا كنت لا تعرف حجم المجتمع، فاترك هذه الخلية فارغة. أخيرًا، انقر فوق "حساب".

العينة

يُعرف الجزء من المجتمع بالعينة. يشير المجتمع إلى جميع عناصر الاهتمام في دراسة معينة. تعد دراسة كل عنصر من عناصر الدراسة التي اخترتها هي الطريقة المثالية لفحص المجتمع. ومع ذلك، نظرًا للعديد من العوامل، غالبًا ما يكون من غير العملي فحص كل عنصر في المجتمع. على سبيل المثال، إذا كان بحثك عن حشرات الغابة، فإن عدد المجتمع غير محدود. لذلك، لا يمكنك دراسة المجتمع بالكامل. في بعض الأحيان عند الاختبار، قد يتم إتلاف عناصر دراستك.

على سبيل المثال، عند فتح زجاجة مشروبات غازية محكمة الغلق والتحقق منها، لا يمكنك إرسال زجاجة المشروبات الغازية هذه إلى السوق.

أنت بحاجة إلى الكثير من الوقت والمال والموارد الأخرى لفحص جميع المجتمع. في معظم الحالات، يجب عليك إكمال البحث بوقت ومال وموارد أخرى محدودة. التحقيق مع جميع المجتمع غير عملي في معظم الحالات. الحل هو اختيار عينة وإجراء البحث.

هامش الخطأ

في معظم الأوقات، لا يمكننا فحص جميع مكونات المجتمع. ومن ثم فإن إحصائيات العينة (المقاييس المحسوبة من العينة) غالبًا ما تستخدم لتقدير الخصائص المجتمعية (المقاييس المحسوبة من المجتمع). إحصائيات العينة مشتقة من البيانات الفعلية التي تمت ملاحظتها أو قياسها من العينة. نحن نسميها تقدير النقطة عندما تقدر رقمًا واحدًا من خصائص المجتمع.

على سبيل المثال، إذا كنت تريد تقدير متوسط حجم زجاجة مشروبات غازية في خط إنتاج، فيمكنك اختيار دفعة عشوائية والعثور على متوسط حجم تلك الدُفعة. لنتخيل أن متوسط حجم الدفعة x̄ هو 250 ملي. لذلك، تقدر أن كل زجاجة في خط الإنتاج تحتوي على متوسط حجم \$(\hat{μ})\$ هو 250 مل.

في الممارسة العملية، الخصائص الفعلية الخصائص المقدرة ليست متساوية. ينشأ الاختلاف من تقدير الخصائص باستخدام عينة بدلاً من المجتمع الكامل.

يتم تعريف هامش الخطأ على أنه أقصى فرق محتمل بين تقدير نقطة الخصائص وقيمتها الفعلية. غالبًا ما يشار إلى هذا على أنه الحد الأقصى للخطأ في التقدير.

فترة الثقة

يمثل فترة الثقة نطاق التقديرات. يشير نطاق التقديرات أو فترات الثقة إلى أنه تم تقدير المعلمة ضمن هامش خطأ معين. لتحديد الحد الأدنى لفترة الثقة، يتم طرح هامش الخطأ من تقدير النقاط. لتحديد الحد العلوي لفترة الثقة، يتم إضافة هامش الخطأ إلى تقدير النقاط.

الترابط بين العينة في الإحصاء وهامش الخطأ وفترة الثقة

بدلاً من البحث عن المجتمع بالكامل، نقوم بدراسة عينة لتقدير خصائص المجتمع. ومن ثم قد يكون هناك اختلاف بين الخصائص المقدرة للمجتمع والخصائص الفعلية للمجتمع. هامش الخطأ هو أقصى فرق محتمل بين تقدير نقطة الخصائص وقيمتها الفعلية. علاوة على ذلك، هناك ارتباط عكسي بين حجم العينة وهامش الخطأ. سيؤدي حجم العينة الأكبر إلى تمثيل أكثر دقة للمجتمع، مما يقلل من هامش الخطأ. وبالمثل، يؤدي تقليل حجم العينة إلى زيادة هامش الخطأ.

سيتم الحصول على فترة الثقة عند تطبيق هامش الخطأ هذا على تقدير النقاط.

معادلة لحساب حجم العينة

تتوفر صيغ مختلفة لحساب حجم العينة بناءً على معلوماتك.

يحدد مستوى الثقة المطلوب درجة الدقة، بينما يحدد النطاق الأقصى على هامش الخطأ درجة الدقة التي نريد تحقيقها من خلال تقدير النطاق الخاص بنا.

يمكننا حساب الحد الأدنى لحجم العينة المطلوب للحصول على فترة الثقة المطلوب إذا عرفنا أيضًا الانحراف المعياري المجتمع باستخدام المعادلة أدناه.

$$n=\left(\frac{z_{\alpha/2}×\sigma}{E}\right)^2$$

يجب تقريب النتيجة النهائية n إلى أقرب عدد صحيح.

تمكّنك معادلة كوكران من تحديد الحد الأدنى لحجم العينة بناءً على المستوى المطلوب لهامش الخطأ، ومستوى الثقة المطلوب، والنسبة المتوقعة للسمة الموجودة في المجتمع. معادلة كوكران هي

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{E^2}$$

• z = قيمة Z من جدول z بناءً على مستوى الثقة المطلوب
• p = النسبة المتوقعة للسمة الموجودة في المجتمع
• E = هامش الخطأ

مثال 1

تخيل أننا نبحث عن الطلاب الدوليين المسجلين في دورات البكالوريوس في كندا. في البداية، ليس لدينا الكثير من المعلومات. لذلك، نفترض أن الطلاب الدوليين يشكلون 60% من جميع الطلاب الجامعيين في كندا. نتيجة لذلك، فإن النسبة المقدرة للسمة في المجتمع هي 60%. نريد مستوى ثقة 95% وهامش خطأ 4%. كم عدد الطلاب الذين يجب تضمينهم في الحد الأدنى لحجم عينة الدراسة؟

$$(1-\alpha)=95\%$$

$$z_{α/2}=z_{{95\%}/2}=1.96$$

$$p=60\%$$

$$E=4\%$$

$$n₀=\frac{z²p(1-p)}{E²}=\frac{1.96²×60\%×(1-60\%)}{4\%²}=576.24≈577$$

لذلك، يجب تضمين ما لا يقل عن 577 طالبًا في الدراسة للحصول على مستوى ثقة بنسبة 95% وهامش خطأ بنسبة 4%.

يتم استخدام المعادلة أعلاه عندما يكون حجم المجتمع كبيرًا أو غير محدود. إذا كان حجم المجتمع صغيرًا أو محدودًا، فعلينا تعديل حجم العينة. يتم تعديل حجم العينة باستخدام المعادلة أدناه.

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}$$

• n₀ = حجم العينة المحسوب من معادلة كوكران
• N = حجم المجتمع
• n = حجم العينة المعدل المجتمع المحدودين

مثال 2

تخيل أننا نبحث عن الطلاب الدوليين المسجلين في دورات البكالوريوس في الكلية التي تدرسها في كندا. في البداية، ليس لدينا الكثير من المعلومات. لذلك، نفترض أن الطلاب الدوليين يشكلون 60% من جميع الطلاب الجامعيين في كليتك. نتيجة لذلك، فإن النسبة المقدرة للسمة في المجتمع هي 60%. إجمالي عدد الطلاب في كليتك هو 12000. نريد مستوى ثقة 95% وهامش خطأ 4%. كم عدد الطلاب الذين يجب تضمينهم في الحد الأدنى لحجم عينة الدراسة؟

في هذه الحالة، يجب عليك أولاً حساب n₀ باستخدام معادلة Cochran ثم ضبط حجم العينة لأن عدد المجتمع محدود.

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{{E}^2}=\frac{1.96^2×{60\%}×(1-{60\%})}{{4\%}^2}=576.24$$

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}=\frac{576.24}{1+\left(\frac{576.24-1}{12,000}\right)}=549.88\approx550$$

باستخدام حاسبة حجم العينة الأدنى، يمكنك إكمال العمليات الحسابية المعقدة المذكورة أعلاه في أقل من ثانية.

معادلة لحساب هامش الخطأ

يمكنك إعادة ترتيب معادلة حجم العينة للعثور على معادلة هامش الخطأ.

أنت تعلم أن معادلة الحد الأدنى لحجم العينة هي،

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

لنجعل E أو هامش الخطأ موضوع المعادلة أعلاه.

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

$${n₀}×{E}^2=z^2p\left(1-p\right)$$

$$E^2=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}$$

$$E=\sqrt{\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

مثال 3

تخيل أننا نبحث عن الطلاب الدوليين المسجلين في دورات البكالوريوس في كندا. في البداية، ليس لدينا الكثير من المعلومات. لذلك، نفترض أن الطلاب الدوليين يشكلون 60% من جميع الطلاب الجامعيين في كندا. نتيجة لذلك، فإن النسبة المقدرة للسمة في المجتمع هي 60%. لنفترض أننا نرغب في مستوى ثقة بنسبة 95%، وقمت باختيار 577 طالبًا لبحثك. ما هو هامش الخطأ في دراستك؟

$$z_{{95\%}/2}=1.96$$

$$p=60\%$$

$$n₀=577$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n_0}}=1.96 \times \sqrt{\frac{60\% \times \left(1-60\%\right)}{577}}=4\%$$

إذا كان عدد المجتمع محددًا، فيجب أولاً العثور على n₀ باستخدام المعادلة أدناه.

$$n₀=\frac{n-nN}{n-N}$$

بعد ذلك، قم بتطبيق الإجابة في المعادلة التالية للعثور على هامش الخطأ:

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

يساعدك المكون الثاني من حاسبة الحد الأدنى لحجم العينة على تخطي كل هذه الخطوات وحساب هامش الخطأ في أقل من ثانية.

معادلة لحساب فترة الثقة

فترة الثقة بسيطة لتحديد ما إذا كنت تعرف هامش الخطأ. تُستخدم المعادلة الموضحة أدناه لحساب فترة الثقة.

فترة الثقة = تقدير النقاط ± هامش الخطأ

الحد الأعلى لفترة الثقة = تقدير النقاط + هامش الخطأ

الحد الأدنى لفترة الثقة = تقدير النقاط - هامش الخطأ

فترة الثقة للمتوسط μ هي،

x̄-E < μ < x̄+E

x̄ - E هو الحد الأدنى ، x̄ + E هو الحد الأعلى.

فترة الثقة لـ P هو،

p-E < P < p+E

مثال 4

أنت تبحث عن متوسط تكلفة البرنامج للطلاب الدوليين الذين يدرسون في كندا. لقد اخترت 1,000 طالب لعينتك، وبناءً على عينتك، تقدر أن متوسط تكلفة البرنامج للطلاب الدوليين الذين يدرسون في كندا هو 20,000 دولار كندي. هامش الخطأ 5,000 دولار كندي. ابحث عن فترة الثقة لمتوسط تكلفة البرنامج للطلاب الدوليين الذين يدرسون في كندا.

الحد الأعلى = x̄ + E = 20,000 دولار كندي + 5,000 دولار كندي = 25,000 دولار كندي

الحد الأدنى = x̄ - E = 20,000 دولار كندي - 5,000 دولار كندي = 15,000 دولار كندي

لذلك، فترة الثقة هي،

x̄ - E < μ < x̄ + E

15,000 دولار كندي < μ< 25,000 دولار كندي