حاسبة نظرية فيثاغورس

تقوم حاسبة فيثاغورس بإيجاد طول الضلع في المثلث القائم الزاوية إذا كان الضلعين الآخرين للمثلث معروفين. يتم إجراء الحسابات بناءً على نظرية فيثاغورس.

تعليمات الاستخدام

أدخل أطوال الأضلاع المعروفة واضغط على "احسب". سترجع الآلة الحاسبة القيم التالية:

• طول الضلع الثالث.
• قيم الزوايا التي ليست 90° بالدرجات والراديان.
• مساحة المثلث.
• محيط المثلث.
• طول الارتفاع العمودي على الوتر.

ستعرض الآلة الحاسبة أيضًا الحل التفصيلي، والذي يمكنك توسيعه بالضغط على "+ إظهار خطوات الحساب".

لاحظ أن حقول الإدخال لكل جانب تتضمن جزء رقم كامل وجزء جذر تربيعي بحيث يمكنك إدخال قيم بسهولة مثل 2√3، √3، إلخ.

لاحظ أيضًا أن قيم a وb، أضلاع المثلث، يجب أن تكون أقصر من قيمة c، الوتر.

نظرية فيثاغورس

تنص نظرية فيثاغورس على أنه في المثلث القائم الزاوية، يكون مربع طول الوتر مساويًا لمجموع مربعات أطوال الضلعين الآخرين.

يمكن كتابة نظرية فيثاغورس على النحو التالي:

a² + b² = c²,

حيث a وb هما أطوال الأضلاع أو الأضلاع الأقصر لمثلث قائم الزاوية، وc هو طول الضلع الأطول أو الوتر. يمكن وصف المعادلة أعلاه على النحو التالي: a تربيع زائد b تربيع يساوي c تربيع.

إثبات نظرية فيثاغورس

لنثبت نظرية فيثاغورس بجمع المساحات.

في الصورة أعلاه، يتكون المربع الذي يحتوي على ضلعين (a+ b) من مربع مع ضلع c، وأربعة مثلثات قائمة الأضلاع a، b، c. لنجد مساحة هذا المربع باستخدام استراتيجيتين مختلفتين:

1. يمكن حساب مساحة المربع بطول ضلع (a+b) على النحو التالي (a+b) ²:

A = (a + b)²

2. يمكن إيجاد مساحة السطح نفسها كمجموع مساحات سطح الأشكال المكونة للمربع - مساحة المربع مع الضلع c، وأربع مناطق من المثلث بأضلاعه a، b، c. يمكن حساب مساحة المربع مع الضلع c بمعادلة c². يمكن إيجاد مساحة المثلث القائم بأضلاعه aوbوc بالرمز (ab)/2 لذلك،

A = c² + 4 × (ab)/2 = c² + 2ab

نظرًا لأن كلا الحسابين يصفان نفس مساحة السطح، فيمكننا مساواتهما:

(a + b)² = c² + 2ab

بتوسيع المربع على الجانب الأيسر من المعادلة، نحصل على:

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

بطرح 2ab من طرفي المعادلة، نحصل على:

a² + b² = c²

وهي النتيجة المطلوبة.

خوارزميات الحساب

إيجاد أضلاع مثلث قائم الزاوية

إذا تم إعطاء ضلعين من أضلاع مثلث قائم الزاوية، فيمكن إيجاد الضلع الثالث باستخدام نظرية فيثاغورس. على سبيل المثال، إذا تم ذكر الجانبين a وb، فيمكن إيجاد طول الضلع c على النحو التالي:

$$c=\sqrt{a²+b²}$$

وبصورة مماثلة،

$$a=\sqrt{c²-b²}$$

و

$$b=\sqrt{c²-a²}$$

إيجاد زوايا المثلث القائم

إذا كانت الأضلاع الثلاثة للمثلث الأيمن معروفة، فيمكن إيجاد زوايا المثلث غير 90° على النحو التالي:

• ∠α = arcsin(a/c) أو ∠α = arccos(b/c)
• ∠β = arcsin(b/c) أو ∠β = arccos(a/c)

هنا، ∠α هو الزاوية المقابلة للضلع 'a'، و∠β هي الزاوية المقابلة للضلع 'b'، و'c' هو الوتر. الاختيار بين arcsin و arccos يعتمد على أي الضلعين (a أو b) تنظر إليه بالنسبة للزاوية. باستخدام arcsin، تستخدم الضلع المقابل للزاوية، ومع arccos، تستخدم الضلع المجاور للزاوية. كلا النهجين صحيحان وسيعطيانك قياسات الزاوية الصحيحة في المثلث القائم الزاوية.

مساحة المثلث القائم

يمكن حساب مساحة المثلث القائم على أنها 1/2 من حاصل ضرب الساقين:

A = 1/2 × (ab) = (ab)/2

محيط المثلث القائم

يُحسب محيط المثلث القائم على أنه مجموع أضلاعه:

P = a + b + c

الارتفاع إلى الوتر

إذا كانت الأضلاع الثلاثة للمثلث القائم الزاوية معروفة، فيمكن إيجاد الارتفاع إلى الوتر h، على النحو التالي:

h = (a × b)/c

أمثلة من الحياة الواقعية

تستخدم نظرية فيثاغورس على نطاق واسع في الهندسة المعمارية والبناء لحساب أطوال المكون الضروري والتأكد من صحة الزوايا في المباني المشيدة. لنلقِ نظرة على مثال لتطبيق النظرية.

الأشياء الملائمة

تخيل أنك تتحرك واستأجرت شاحنة متحركة بطول 4 أمتار وارتفاع 3 أمتار. ليس لديك الكثير من العناصر الضخمة، لكنك تمتلك سلمًا يبلغ طوله 4.5 متر. هل سلمك يتناسب مع الشاحنة؟

الحل

نظرًا لأن طول السلم، 4.5 متر، يتجاوز طول الشاحنة، 4 أمتار، فإن الطريقة الوحيدة التي يتلاءم بها السلم مع الداخل تكون قطرية. لتحديد ما إذا كان ذلك ممكنًا أم لا، نحتاج إلى استخدام نظرية فيثاغورس لحساب وتر المثلث الذي تساوي أضلاعه طول الشاحنة وارتفاعها. لذلك، في حالتنا a = 4 وb = 3، وعلينا إيجاد c:

$$c=\sqrt{a²+b²}=\sqrt{4²+3²}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$

الوتر في المثلث مع a = 4 وb = 3 هوc = 5. لذلك، أطول جسم يمكن أن يصلح للشاحنة يمكن أن يكون 5 أمتار. طول سلمك 4.5 متر. لذلك، سوف تناسب بسهولة!

الإجابة

نعم، سوف يصلح السلم.

حسابات إضافية

ستعثر هذه الآلة الحاسبة عبر الإنترنت أيضًا على بعض الخصائص الإضافية للمثلث المحدد. احسب هذه الخصائص للمثلث مع العلم a = 4 و b = 3 و c = 5.

مساحة المثلث:

A = (ab)/2 = (3 × 4)/2 = 12/2 = 6

محيط المثلث:

P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12

الارتفاع عن الوتر:

h = (a × b)/c = (3 × 4)/5 = 12/5 = 2.4

الزاوية المقابلة للجانب a:

∠α = arcsin(a/c) = arcsin(4/5) = arcsin(0.8) = 53.13° = 53°7'48" = 0.9273 rad

الزاوية المقابلة للجانب b:

∠β = arcsin(b/c) = arcsin(3/5) =arcsin(0.6) = 36.87° = 36°52'12" = 0.6435 rad