الصيغة التربيعية حاسبة

استخدام حاسبة معادلة من الدرجة الثانية

هذه الآلة الحاسبة هي أداة سهلة الاستخدام تعمل على حل المعادلات التربيعية. في الجبر، المعادلة التربيعية هي أي معادلة يمكن كتابتها بالشكل التالي:

ax²+bx+c=0

حيث

a≠0

لاستخدام حاسبة المعادلة التربيعية، أدخل قيم a وb وc في الحقول المقابلة واضغط على "احسب". بحيث لا يمكن أن تساوي الـ a صفرًا، بينما بالنسبة إلى b وc، يكون الصفر إدخالًا مقبولاً. لكل من الجذور الحقيقية والمعقدة، ستستخدم الآلة الحاسبة المعادلة التربيعية لتحديد جميع الحلول لمعادلة معينة. بعد استخدام المعادلة التربيعية، ستعمل الآلة الحاسبة أيضًا على تبسيط الجذر الناتج لإيجاد الحلول في أبسط صورة.

حل المعادلات التربيعية باستخدام الصيغة التربيعية

يمكنك حل أي معادلة من الدرجة الثانية بمساعدة المعادلة التربيعية. لاستخدام المعادلة التربيعية، يجب عليك أولاً إحضار المعادلة المعطاة بالصيغة التالية: ax²+bx+c=0 بعد ذلك، يمكن إيجاد الحلول على النحو التالي:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

يسمى جزء المعادلة تحت الجذر التربيعي b²-4ac بالمميز.

• إذا كان المميز موجبًا، , b²-4ac>0، فسيكون للمعادلة جذرين حقيقيين.

• إذا كان المميز سالبًا، ,b²-4ac<0، فسيكون للمعادلة جذران مركبان لأن الجذر التربيعي لعدد سالب هو رقم مركب.

• إذا كان المميز يساوي صفرًا، b²-4ac=0، سيكون للمعادلة جذر واحد فقط.

ستعرض حاسبة المعادلة التربيعية حلول المعادلات المدخلة وطريقة الحل. ستحسب الآلة الحاسبة أيضًا المميز وتوضح ما إذا كان موجبًا أم سالبًا أم يساوي صفرًا.

أمثلة عملية

مثال 1 (بجذور حقيقية)

لنحل المعادلة التربيعية:

2x²+3x-2=0

في هذا المثال a=2,b=3,c=-2.

باستخدام المعادلة التربيعية لهذه القيم، نحصل على:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-3±\sqrt{3^2-4(2)(-2)}}{2(2)}=\frac{-3±\sqrt{9--16}}{4}=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}$$

المميز في هذه المعادلة موجب، b²-4ac=25>0,وبالتالي ، سيكون للمعادلة جذران حقيقيان.

الآن هيا لنبسط الجذر الناتج:

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}=\frac{-3±5}{4}$$

$$x=\frac{-3+5}{4}\ \ \ و\ \ \ x=\ \frac{-3-5}{4}$$

$$x=\frac{2}{4}\ \ \ و\ \ \ x=-\frac{8}{4}$$

$$x=\frac{1}{2}\ \ \ و\ \ \ x=-2$$

وأخيراً

x=0.5

x=-2

مثال 2 (بجذور معقدة)

لنحل المعادلة التربيعية التالية:

x²+2x+5=0

في هذا المثال a=1,b=2,c=5.

باستخدام المعادلة التربيعية لهذه القيم، نحصل على:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-2±\sqrt{2^2-4(1)(5)}}{2(1)}=\frac{-2±\sqrt{4-20}}{2}=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}$$

المميز في هذه المعادلة سالب، b²-4ac=-16<0,وبالتالي، سيكون للمعادلة جذران مركبان.

الآن هيا لنبسط الجذر الناتج:

$$x=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}=\frac{-2±4i}{2}=\frac{-2}{2}±\frac{4i}{2}=-1±2i$$

وأخيراً

x=-1+2i

x=-1-2i

مثال 3 (بجذر واحد)

لنحل المعادلة التربيعية التالية:

3x²+6x+3=0

في هذا المثال a=3,b=6,c=3.

باستخدام المعادلة التربيعية لهذه القيم، نحصل على:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-6±\sqrt{6^2-4(3)(3)}}{2(3)}=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{6}=\frac{-6±\sqrt0}{6}$$

المميز في هذه المعادلة يساوي صفر، $(x₁\neq x₂)$ b²-4ac=0,وبالتالي، سيكون للمعادلة جذر واحد.

$$x=\frac{-6}{6}$$

وأخيراً

x=-1

اشتقاق المعادلة التربيعية

كما هو موضح أعلاه، يمكنك استخدام مُشتق المعادلة التربيعية لحل أي معادلة تربيعية بكل سهولة، بغض النظر عما إذا كان المميز موجبًا أم سالبًا أم يساوي صفر. الآن دعنا نتحرى كيف يمكن اشتقاق المعادلة. يمكن أن تكون معرفة المبادئ الأساسية لاشتقاق المعادلة التربيعية مفيدة للغاية في حالة نسيان المعادلة نفسها.

تعد خوارزمية اشتقاق المعادلة التربيعية واضحة نسبيًا وتستند إلى إجراء إكمال المربع. لاشتقاق حلول المعادلة التربيعية القياسية ax²+bx+c=0، عليك اتباع الخطوات التالية:

1. لدينا معادلة:

ax²+bx+c=0

انقل الثابت C إلى الجانب الأيمن من المعادلة:

ax²+bx=-c

2. تخلص من المعامل A بجوار الحد التربيعي x² للقيام بذلك ، قسّم المعادلة على A:

$$x²+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$

3. أضف

$$(\frac{b}{2a})^2$$

إلى طرفي المعادلة:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

4. أصبح الجانب الأيسر الآن بالمعادلة x²+2dx+d² يمكن إعادة كتابة هذا التعبير بالشكل (x+d)².

في معادلتنا، يتم التعبير عن d كـ

$$\frac{b}{2a}$$

لذا:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 = \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$$

عوض بهذا في الجانب الأيسر من المعادلة، واترك الجانب الأيمن دون تغيير في الوقت الحالي:

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

الآن يظهر الجذر x مرة واحدة فقط في المعادلة.

5. استخرج الجذر التربيعي من جزأي المعادلة:

$$x+\frac{b}{2a}=± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

6. انقل

$$\frac{b}{2a}$$

إلى الجانب الأيمن من المعادلة:

$$x=-\frac{b}{2a}± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

7. اضرب الجانب الأيمن من المعادلة في $\frac{2a}{2a}$.

$$x=\frac{-b ± \sqrt{-\frac{c}{a} × (2a)^2 + (\frac{b}{2a})^2 × (2a)^2}}{2a}$$

8. وأخيراً نقم بتبسيط المعادلة:

$$x=\frac{-b±\sqrt{-4ac+b²}}{2a}$$

9. نتيجة لذلك، نحصل على المعادلة التربيعية:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

حقائق مثيرة للاهتمام حول المعادلة التربيعية من الدرجة الثانية

• م مجموع جذري المعادلة التربيعية هو

$$\frac{-b}{a}$$

وبالتالي، إذا كان مميز المعادلة التربيعية b²-4ac يساوي صفر، فيمكن إيجاد الجذر الوحيد للمعادلة كـ

$$\frac{-b}{2a}$$

• حاصل ضرب جذري المعادلة التربيعية هو

$$\frac{c}{a}$$

• مصطلح "التربيعية" يأتي من الكلمة اللاتينية "quadratus" ، والتي تعني "مربع". كانت تسمى المعادلة من الدرجة الثانية لأن أعلى قوة للمتغير هي 2، أي أن المتغير "تربيع"

• تم وصف المعادلة التربيعية في شكلها الحالي في وقت مبكر من عام 628 بعد الميلاد من قبل عالم الرياضيات الهندي Brahmagupta ، الذي لم يستخدم الرموز ولكن بدلاً من ذلك ناقش الحل باستخدام الكلمات. ومع ذلك، وصف Brahmagupta واحدًا فقط من الحلين المحتملين، مع حذف علامة ± المهمة قبل الجذر التربيعي.

• التمثيل البياني للدالة التربيعية y=ax²+bx+c هو قطع مكافئ. الحلول، أو الجذور، للمعادلة التربيعية هي في الواقع إحداثيات اعتراضات الرسم البياني مع المحور x إذا كانت المعادلة لها جذران حقيقيان، فإن الرسم البياني يتقاطع مع المحور x مرتين. إذا كانت المعادلة لها جذر واحد فقط، فإن الرسم البياني للقطع المكافئ المقابل يلامس فقط المحور x عند الحد الأقصى أو الحد الأدنى. إذا لم يكن للمعادلة جذور حقيقية، فإن الرسم البياني للقطع المكافئ المقابل لا يتقاطع مع المحور x على الإطلاق.

• عندما تقترب قيمة المعامل بالمصطلح التربيعي a، من الصفر، يصبح الرسم البياني للقطع المكافئ المقابل أكثر تسطحًا، ويميل في النهاية إلى أن يصبح خطًا مستقيمًا. عندما تكون a=0، تصبح المعادلة خطية ومن الواضح أن التمثيل البياني لها هو خط مستقيم!

• وبالمثل، عندما يكون a>0 ، فإن القطع المكافئ سوف يكون متجهًا لأعلى، وإذا كان a<0 ، فإن القطع المكافئ المقابل سيفتح لأسفل وإذا كان a=0 ، فإن "القطع المكافئ" يكون مسطحًا، أي أنه خط مستقيم.

تستخدم المعادلات التربيعية على نطاق واسع في جميع مجالات العلوم. على سبيل المثال، في الفيزياء تستخدم المعادلات التربيعية لوصف حركة المقذوفات.