حاسبة الاحتمالات

حاسبة احتمال حدثين

عندما تعرف احتمال وقوع حدثين مستقلين، يمكنك استخدام حاسبة احتمال حدثين لتحديد حدوثهما معًا. يجب عليك إدخال احتمالية حدثين مستقلين مثل احتمال a و b في الآلة الحاسبة. ثم ستُظهر الآلة الحاسبة الاتحاد والتقاطع والاحتمالات الأخرى ذات الصلة لحدثين مستقلين إلى جانب مخططات Venn.

حل الاحتمالات لحدثين (Probability Solver for Two Events)

يمكنك حساب احتمالية أحداث مختلفة لحدثين مستقلين إذا كنت تعرف أي قيمتين من قيم الإدخال الخاصة بحاسبة حل الاحتمالات لحدثين (Probability Solver for Two Events) مهم عندما لا يكون لديك احتمال واحد أو كلا الاحتمالين لحدثين. ستظهر النتائج الجواب بخطوات الحساب.

احتمالية سلسلة من الأحداث المستقلة

يمكنك استخدام "احتمال" سلسلة من حاسبة الأحداث المستقلة لتحديد احتمال احتواء كل تجربة على حدثين مستقلين يحدثان واحدًا تلو الآخر. في هذه الآلة الحاسبة، يجب عليك تعيين عدد مرات حدوث الحدث.

احتمالية التوزيع الطبيعي

تعد حاسبة احتمالية التوزيع العادية مفيدة عند تحديد احتمالية وجود منحنى عادي. يجب إدخال المتوسط μ والانحراف المعياري σ والحدود. ستنشئ حاسبة الاحتمالات العادية احتمالية الحدود المحددة وفترات الثقة لمجموعة من مستويات الثقة.

مقدمة في الاحتمالات

الاحتمال هو فرصة وقوع حدث ما. عندما يقع حدث ما مما لا شك فيه، فإن احتماله هو 1. عندما لا يقع حدث ما، فإن احتماله هو 0. نتيجة لذلك، يكون احتمال حدث معين دائمًا بين 0 و1. تقوم حاسبة الاحتمالات بحساب الاحتمالات لـ أحداث مختلفة بسيطة بشكل لا يصدق.

قواعد عمليات الحدث

يُشار إلى أي مجموعة لنتائج التجربة على أنها حدث. إنه حدث يمكن أن يكون أي مجموعة فرعية من مساحة العينة. يمكن تحديد التكامل والتقاطع والاتحاد كقواعد لعمليات الحدث. دعنا نتعلم كل من هذه القواعد باستخدام المثال أدناه.

مثال

تضم جامعتك كليات مختلفة، بما في ذلك كلية إدارة الأعمال. الطلاب الأجانب مسجلون أيضًا في هذه الكلية. يجب عليك إجراء مقابلات مع طلاب كليتك كجزء من مشروعك. اخترت أن تبدأ بأول طالب يمر عبر البوابة. أنت على علم بالاحتمالات التالية. دعنا نقول،

A = الطالب الأول من كلية الأعمال.

B = الطالب الأول طالب دولي.

P(A) = 0.6

P(B) = 0.3

متمم الحدث

متمم الحدث هي مجموعة جميع النتائج في مساحة العينة التي لم يتم تضمينها في هذا الحدث.

على سبيل المثال، يعني تكملة الحدث "A" أن الطالب الأول من مكان آخر غير كلية إدارة الأعمال. يمكن الإشارة إلى هذا بواسطة \$A\prime\$ أو Aᶜ

لنعرض متمم الحدث A في مخطط Venn.

في مخطط Venn أعلاه، تمثل المنطقة الملونة متمم الحدث A.

تمثل المساحة الإجمالية للمستطيل الاحتمالية الإجمالية لمساحة العينة. إنه بالتحديد واحد. تُظهر المساحة الموجودة خارج الدائرة A احتمالية متمم الحدث A. يسمح لنا مخطط Venn بإنشاء العلاقة التالية:

$$P\left(A\right)+P\left(A^\prime\right)=1$$

وبالتالي،

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)$$

لنجد الاحتمالات التالية.

احتمالية أن يكون الطالب الأول الذي تختاره للمقابلة ليس من كلية إدارة الأعمال:

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)=1-0.6=0.4$$

احتمال ألا يكون أول طالب تختاره للمقابلة طالبًا دوليًا:

$$P\left(B^\prime\right)=1-P\left(B\right)=1-0.3=0.7$$

تقاطع الأحداث

تقاطع الحدثين A و B هو قائمة بجميع العناصر المشتركة في كلا الحدثين A و B كثيرًا ما تُستخدم كلمة "AND" للإشارة إلى تقاطع مجموعتين.

تقاطع الحدث A والحدث B في المثال 1 يعني اختيار طالب دولي ، والطالب من كلية إدارة الأعمال. يمكن الإشارة إلى هذا على النحو التالي:

$$A\cap B$$

لنعرض تقاطع الأحداث A و B في مخطط Venn.

في مخطط Venn أعلاه، تمثل المنطقة الملونة تقاطع الأحداث A و B.

لنفترض أن حدث اختيار طالب محلي للمقابلة هو C الآن، سنعرض الأحداث A و C في مخطط Venn.

لا يمكن اختيار طالب دولي وطالب محلي في وقت واحد. افترض أن أول طالب تختاره هو طالب دولي. في هذه الحالة، فإنه يستبعد أن يكون الطالب الأول طالبًا محليًا. لذلك، الأحداث A و C حدثان متنافيان.

لا تحتوي الأحداث المتنافية على أي عناصر مشتركة بينهما. لذلك، تقاطع حدثين متنافيين فارغ.

$$A\cap C=φ$$

يمكن حساب احتمالية تقاطع الأحداث بطرق مختلفة. يمكن كتابة الأحداث A و B على النحو التالي.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cup B\right)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B/A)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A/B)$$

الأحداث المستقلة

الأحداث المستقلة هي أحداث لا تؤثر على بعضها البعض. في مثالنا، اختيار طالب من كلية إدارة الأعمال لا يؤثر على اختيار طالب دولي أم لا. لذلك، يمكننا القول أن الحدث A والحدث B حدثان مستقلان.

عندما تكون الأحداث مستقلة، فإن احتمال حدوث أي منها لا يعتمد على احتمال حدوث الآخر. وبالتالي،

$$P(B/A)=B \ و \ P(A/B)=A$$

يمكنك استخدام هذه المعدلات لتعديل المعادلة التي تعلمناها مسبقًا لتحديد احتمال حدثين تقاطع.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(\mathrm{B/A}\right)P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(B\right)× P\left(\mathrm{A/B}\right)P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A)$$

لذلك، يمكنك إيجاد تقاطع المستقلين بضرب احتمال هذين الحدثين.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=P(B)× P(A)$$

بالنظر إلى أن الحدثين A و B مستقلان، فلنحدد احتمال أن يكون الطالب الأول الذي تختاره للمقابلة من كلية إدارة الأعمال وأن يكون طالبًا دوليًا.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=0.6× 0.3=0.18$$

اتحاد الأحداث

ينتج عن اتحاد حدثين حدثًا آخر يحتوي على جميع العناصر من أحد الحدثين أو كلاهما. تُستخدم كلمة "OR" عادةً لوصف اتحاد حدثين.

في المثال 1 ، يعني اتحاد الأحداث A و B اختيار طالب دولي أو طالب من كلية إدارة الأعمال. يمكن الإشارة إلى هذا على النحو التالي.

$$A\cup B$$

لنعرض اتحاد الأحداث A و B في مخطط Venn.

تمثل المنطقة الملونة في مخطط Venn أعلاه اتحاد الأحداث A و B.

لحساب احتمال الحدث A أو الحدث B، يجب أن نضيف احتمالية كلا الحدثين ونطرح احتمال التقاطع.

يمكن كتابة احتمال اتحاد الأحداث A و B على النحو التالي.

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$$

يمكننا تعديل المعادلة أعلاه وإنشاء معادلة جديدة لإيجاد احتمال اتحاد حدثين مستقلين عندما يكون احتمال تقاطع حدثين غير معروف ويكون الحدثان مستقلين.

إذا كانت الأحداث مستقلة ،

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

وبالتالي،

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A)× P(B)$$

دعنا نحسب ما هو احتمال الجمع بين الأحداث A و B، أي مع أي احتمال نختار طالبًا متخصصًا في الأعمال، أو طالبًا دوليًا، أو كليهما في نفس الوقت؟

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0.6+0.3-0.18=0.72$$

بفضل حاسبة احتمال حدثين أو أداة حل الاحتمالات لحدثين (Probability Solver for Two Events)، يمكنك إكمال جميع العمليات الحسابية أعلاه بسرعة. يمكنك استخدام أداة حل الاحتمالات لحلين حتى إذا كنت ترغب في التحقق من خطوات حساب الاحتمالات لأنها تعرض أيضًا خطوات الحساب.

التوزيع الطبيعي

التوزيع الطبيعي متماثل وله شكل جرس. التوزيع الطبيعي له متوسط ومتوسط وصيغة متطابقة بالإضافة إلى 50% من البيانات أعلى من المتوسط و 50% أقل من المتوسط. يذهب منحنى التوزيع الطبيعي بعيدًا عن المتوسط في كلا الاتجاهين ولكنه لا يلمس المحور X مطلقًا. المساحة الكلية تحت المنحنى هي 1.

إذا كان للمتغير العشوائي X توزيع عادي مع الخصائص μ و σ2 ، نكتب \$X ~ N(\mu,\sigma^2)\$.

احتمالية التوزيع الطبيعي

تم توضيح دالة الكثافة الاحتمالية للتوزيع العادي أدناه:

$$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}}× e^\frac{-{(x-\mu)}^2}{2\sigma^2}$$

في هذه الوظيفة:

• μ هو متوسط التوزيع؛
• σ² هو تباين التوزيع؛
• π تساوي3.14 ؛
• e تساوي 2.7182.

من المستحيل توفير جدول احتمالية لكل مجموعة من الانحراف المتوسط والانحراف المعياري نظرًا لوجود عدد لا حصر له من المنحنيات العادية المختلفة. نتيجة لذلك، يتم استخدام التوزيع الطبيعي القياسي. يُشار إلى التوزيع الطبيعي بمتوسط 0 وانحراف معياري قدره 1 بالتوزيع العادي القياسي.

لحساب احتمال التوزيع الطبيعي، يجب علينا أولاً تحويل التوزيع الفعلي إلى توزيع عادي قياسي باستخدام درجة z ثم استخدام جدول z لحساب الاحتمال. تعمل حاسبة الاحتمالات العادية كحاسبة احتمالية عادية من خلال تقديم احتمالات لمستويات ثقة مختلفة.

$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$$

يمكن استخدام منحنى التوزيع العادي القياسي لحل مجموعة متنوعة من مشكلات العالم الحقيقي. لتحديد احتمال المتغيرات المستمرة، يتم استخدام التوزيع الطبيعي. المتغير المستمر هو متغير يمكنه افتراض أي عدد من القيم، حتى لو كان عددًا عشريًا. بعض الأمثلة على المتغيرات المستمرة هي الطول والوزن ودرجة الحرارة.

لنتعلم كيفية إيجاد احتمالية التوزيع الطبيعي باستخدام المثال أدناه.

مثال

عادةً ما يتم توزيع نتائج دورة إحصائيات الدفعة الخاصة بك، بمتوسط 65 وانحراف معياري 10. حدد احتمالية السيناريوهات التالية إذا تم اختيار الطالب عشوائيًا:

• درجة الطالب 70 أو أعلى ،
• درجة الطالب أقل من 70 ،
• درجة الطالب ما بين 50 و 70.

الحل

$$P\left(X≥70\right)=P\left(Z≥\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z≥0.5\right)=1-0.6915=0.3085$$

$$P\left(X<70\right)=P\left(Z<\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z<0.5\right)=0.6915$$

$$P\left(50>X>70\right)=P\left(\frac{50-65}{10}>Z>\frac{70-65}{10}\right)=P\left(1.5>Z>0.5\right)=0.4332+0.1915=0.6247$$

يتضمن حساب احتمال وجود منحنى عادي خطوات عديدة ويتطلب استخدام جداول z. من ناحية أخرى، تساعدك حاسبة احتمالية التوزيع العادية في حساب الاحتمال ببساطة عن طريق إدخال أربعة أرقام في الآلة الحاسبة. لاستخدام حاسبة التوزيع العادية، ما عليك سوى إدخال المتوسط والانحراف المعياري والحدود اليمنى واليسرى.