حاسبة التباديل

تحسب حاسبة التباديل عدد الطرق التي يمكنك من خلالها ترتيب عناصر n، مع أخذ عينة من عناصر r في كل مرة. يخبرنا عدد الترتيبات الممكنة للعناصر في مجموعات حيث يكون الترتيب مهمًا. يُشار إلى العدد الإجمالي للأشياء المراد ترتيبها بالرمز n، بينما يُشار إلى عدد العناصر في كل مجموعة بالرمز r.

على سبيل المثال، إذا أردنا ترتيب الأحرف XYZ في مجموعات من حرفين لكل منهما، فسنحصل على طرق XY و XZ و YZ و YX و ZX و ZY: أي هناك 6 طرق

لاستخدام هذه الحاسبة، أدخل n ، العدد الإجمالي للعناصر التي سيتم ترتيبها بترتيب ما ، وأدخل r ، وعدد العناصر في كل مجموعة ، ثم انقر فوق "احسب". باستخدام الزر "مسح" ، يمكنك أيضًا مسح الحاسبة لإدخال مجموعة مختلفة من الأرقام.

التباديل

التقليب للمجموعة هو ترتيب أعضائها في تسلسل أو ترتيب معين. إذا تم طلب المجموعة بالفعل، فهي عبارة عن تبديل لعناصرها. بالنسبة للتباديل، فإن ترتيب العناصر مهم. على سبيل المثال، التباديل AB و BA هما تباديلان مختلفان. يُرمز إلى عدد التباديل للكائنات n في عينات كائنات r بالرمز nPr.

يعتمد حساب عدد التباديل على العناصر التي يتم ترتيبها. يعتمد أيضًا على ما إذا كان التكرار مسموحًا به أم لا. ما لم يُنص على خلاف ذلك، نفترض أنه لا يُسمح بالتكرار عند حساب التباديل.

في هذه المقالة سوف ننظر في أمثلة على التباديل دون التكرار.

التباديل تتبع المبدأ الأساسي للعد. تنص على أنه إذا كانت التجربة تتكون من أحداث k حيث يقع الحدث الأول n₁ مرة، فإن الحدث الثاني يقع n₂. وهكذا حتى يقع الحدث nₖ مرة. يتم تحديد عدد الطرق التي يمكن أن تحدث بها التجربة بالتتابع من خلال حاصل ضرب عدد مرات وقوع الأحداث الفردية \$n_1× n_2×\ldots× n_k\$.

لنفترض أننا نريد معرفة عدد الترتيبات الممكنة للأحرف ABC بدون تكرار في التباديل. يمكن أن يأتي أي من الأحرف أولاً، لذلك هناك 3 طرق لتعيين الحرف الأول.

بعد تعيين الحرف الأول، يتبقى حرفان، ويمكن تعيين أي من الحرفين كحرف ثان، لذلك هناك طريقتان لتعيين الحرف الثاني. بعد تعيين الحرف الثاني، سيتبقى بعد ذلك حرف واحد فقط. وبالتالي، هناك طريقة واحدة فقط لتعيين الحرف الثالث.

وبالتالي، وفقًا لمبدأ العد الأساسي، هناك \$3×2×1=6\$ طرق لترتيب الحروف ABC هم ABC و ACB و BCA و BAC و CAB وCBA.

المضروب

أعلاه، توصلنا إلى أن عدد التباديل لثلاثة كائنات مميزة يتم الحصول عليه بمقدار \$3×2×1=6\$. بشكل عام، يتم إعطاء عدد التباديل لـ n من الكائنات (بالإجمال) بمقدار \$n×\left(n-1\right)×\left(n-2\right)×\ldots×1\$.

هذا هو ضرب جميع الأعداد الصحيحة من n إلى 1. إن ضرب جميع الأعداد الصحيحة من عدد صحيح، لنقل n ، وصولاً إلى 1 يسمى المضروب ويُرمز إليه بالرمز (!) (علامة التعجب).

وبالتالي، \$n!=n×\left(n-1\right)×\left(n-2\right)×\ldots×1\$ ويسمى مضروب n.

لاحظ أن \$0!=1\$ و \$1!=1\$.

مثال على التباديل

عادةً ما يحتوي المسار القياسي للسباقات في الأولمبياد على 9 حارات. ومع ذلك، بالنسبة لسباق الـ 100 متر، لا يتم استخدام الحارة 1 عادة. يتم وضع 8 متسابقين في الحارات من 2 إلى 9 على التوالي. كم عدد الطرق الممكنة التي يمكن ترتيب المتسابقين الثمانية بها في الحارات من 2 إلى 9؟

وفقًا لمبدأ العد الأساسي:

• يحصل أي من المتسابقين الثمانية على الحارة 2 ،
• يمكن لأي من المتسابقين السبعة المتبقين الحصول على الحارة 3 ،
• يمكن لأي من المتسابقين الستة المتبقين الحصول على الحارة 4 ،
• يمكن لأي من المتسابقين الخمسة المتبقين الحصول على الحارة رقم 5 ،
• يمكن لأي من المتسابقين الأربعة المتبقين الحصول على الحارة 6 ،
• يمكن لأي من المتسابقين الثلاثة المتبقين الحصول على الحارة 7 ،
• يمكن أن يحصل أي من المتسابقين المتبقيين على الحارة 8 ،
• عداء واحد متبقٍ يستقبل الحارة 9.

لذلك، فإن إجمالي التبديلات الممكنة للعدائين الثمانية التي يمكن ترتيبها على المسارات الثمانية هو \$8!=8×7×6×\ldots×2×1=40,320\$ مرة

في حاسبة التباديل، أدخل 8 في كل من المربعين n (الكائنات) و r (العينة) وانقر فوق "احسب" للحصول على 40,320.

التباديل من المجموعات الفرعية

في الأمثلة السابقة، نظرنا إلى تباديل العناصر عندما يتم أخذ جميع العناصر في الاعتبار في الترتيبات. ومع ذلك، هناك حالات يتم فيها ترتيب الأشياء في مجموعات فرعية أصغر.

في هذه الحالات، فإن العدد الإجمالي للكائنات يرمز بـ n، ويتم الإشارة إلى عدد العناصر في المجموعات (العينة) بالرمز r ، وتعطي المعادلة عدد التباديل:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

تُستخدم هذه المعادلة لحساب التباديل بدون تكرار. وإذا احتجنا إلى تنظيم ترتيب معين، فإن عينة r مأخوذة من المجموعة n.

إذا قمنا بحساب عدد الاختيارات التي يمكننا من خلالها ترتيب جميع عناصر المجموعة بترتيب معين وبدون تكرار، فيمكننا استخدام المعادلة التالية:

$$ₙPᵣ=n!$$

مثال

في المثال أعلاه، نظرنا في عدد الطرق الممكنة لترتيب المتسابقين الثمانية في سباق 100 متر. الآن، في نفس السباق، هناك ثلاث ميداليات جاهزة للاستيلاء عليها. المركز الأول في السباق يفوز بالميدالية الذهبية، بينما يفوز المركزان الثاني والثالث بالميداليتين الفضية والبرونزية على التوالي. من بين المتسابقين الثمانية في السباق، كم عدد الطرق الممكنة التي يمكننا بها الحصول على الميداليات الذهبية والفضية والبرونزية؟

وفقًا لمبدأ العد الأساسي، يمكن لأي من المتسابقين الثمانية أن يأخذ المركز الأول. بعد شغل المركز الأول، سيكون هناك سبعة متسابقين متبقيين للتنافس على المركز الثاني. وبعد المركز الثاني، سيتنافس ستة متسابقين على المركز الثالث. لذلك، فإن العدد الإجمالي للتبديلات الممكنة للمراكز من الأول إلى الثالث من المتسابقين الثمانية هو: 8×7×6=336

نستخدم المعادلة:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

ونحصل على

$$₈P₃=\frac{8!}{\left(8-3\right)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8×7×6×5×4×\ldots×1}{5×4×\ldots×1}=8×7×6=336$$

وفي حاسبة التباديل، أدخل 8 في مربع n (كائنات) و 3 في مربع r (عينة) وانقر على "احسب" للحصول على 336.

الفرق بين التباديل والتوافيق:

طريقة أخرى أساسية للعد هي التوافيق. التوافيق هي الطرق المختلفة التي يمكن من خلالها تحديد عدد أصغر من الكائنات (عينة)، r، من عدد أكبر من الكائنات n. يتم الإشارة إلى عدد مجموعات كائنات r من كائنات n ببساطة بواسطة ₙCᵣ.

في تعريف التباديل، ذكرنا أن الترتيب مهم. حسنًا، هذا هو الفرق بين التباديل والتوافيق لأن الترتيب في التوافيق ليس مهمًا.

لذلك، على سبيل المثال، ذكرنا أن تباديل الأحرف XYZ في مجموعات من حرفين كل منها ستكون XY, XZ, YZ, YX, ZX و ZY التالية. لذلك نحصل على ستة تباديل.

ومع ذلك، فإن مجموعات الأحرف XYZ في مجموعات من حرفين لكل منهما هي XY, XZ و YZ ؛ ثلاث مجموعات. هذا لأنه، في التوافيق، تعتبر XY و YX نفس التوافيق؛ نفس الشيء مع XZ و ZX ، ونفس الشيء مع YZ و ZY. ومن ثم، فإن الترتيب لا يهم في حساب التوافيق.

تعطي المعادلة عدد مجموعات كائنات r من كائنات n:

$$ₙСᵣ=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$$

مثال على حساب التوافيق

في المثال أعلاه مع المتسابقين، حصلنا على عدد الطرق التي يمكننا من خلالها اختيار المراكز الأولى والثانية والثالثة من مجموعة من 8 متسابقين. لنفترض أننا نريد معرفة عدد الطرق التي يمكن من خلالها اختيار 3 أصحاب ميداليات من مجموعة المتسابقين الثمانية دون مراعاة مواقعهم. لا يهم ما إذا كان الشخص يأتي في المرتبة الأولى أو الثانية أو الثالثة، طالما أن العداء يفوز بميدالية.

في هذه الحالة، يتم استخدام التوافيق لأن ترتيب الميداليات غير مهم. وهكذا نحل هذا باستخدام معادلة التوافيق.

$$ₙСᵣ = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

يتم تحديد عدد الطرق التي يمكن من خلالها اختيار 3 ميداليات من 8 متسابقين من خلال:

$$₈C₃=\frac{8!}{3! × \left(8-3\right)!}=\frac{8!}{3! × 5!}=\frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1}=8×7=56$$

أمثلة على حساب التباديل

1. يمكن لمنتج الأخبار اختيار 3 من 5 متحدثين ضيوف لبرنامجهم التحليلي. ترتيب الضيوف مهم. كم عدد الطرق المختلفة التي يمكن للمنتج أن يرتب بها العروض التقديمية للضيوف؟ الطلب مهم ولن يتم استخدام التكرار لأن الضيف نفسه لا يمكنه الظهور مرتين في نفس البرنامج الإخباري. لذلك، يمكننا استخدام معادلة التباديل.

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₅P₃ = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60$$

وبالتالي يمكننا أن نرى أن المنتج لديه 60 طريقة لتنظيم السماعات.

2. اختار ناقد مطعم 10 مؤسسات جيدة في المدينة تقدم السوشي لترتيب أفضل 3 مطاعم سوشي. يجب تقديم المؤسسات بترتيب يوضح مكانها في التصنيف. أيضًا، لا يمكن أن يظهر نفس المكان في الترتيب عدة مرات. وبالتالي، فإننا نلبي متطلبات معادلة التباديل - الترتيب مهم ويجب ألا يكون هناك تكرار. نستخدم معادلة التباديل:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₁₀P₃ = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 × 9 × 8 = 720$$

3. عندما نقول أن هذا الترتيب مهم للتباديل، فهذا لا يعني أن الترتيب يجب أن يكون رقميًا من 1 إلى 10 مثلاً، أو أي رقم آخر. يمكن تشكيل الترتيب بواسطة كائنات معينة نخصص بينها عناصر المجموعة الخاصة بنا.

على سبيل المثال، مدير شركة إصلاح المنازل. لديه أربع طلبات لطلاء الغرف اليوم. هم مكتب وكالة التأشيرات، ومستودع في مصنع، ومتجر للملابس، وغرفة في منزل خاص. الشركة لديها ستة رسامين. يمكن لكل واحد منهم الذهاب إلى مرفق واحد خلال يوم واحد. الرسامان المتبقيان سيحصلان على يوم عطلة.

هذه الأشياء هي مكتب وكالة التأشيرات، ومستودع في مصنع، ومتجر للملابس، وغرفة في منزل خاص، وهي نظائر للوضع 1 و 2 و 3 و 4.

سيكون لدى المدير الآتي:

• 6 متقدمين يمكن تعيينهم في المكتب ،
• 5 متقدمين متبقين ليتم تعيينهم في المستودع ،
• إرسال 4 متقدمين متبقين إلى المتجر،
• 3 متقدمين متبقين يمكن تعيينهم في غرفة المنزل الخاص.

لذلك، بشكل حدسي، يمكننا وصف عدد الخيارات على أنها \$6 × 5 × 4 × 3 = 360\$.

لقد حصلنا على شرط أن الترتيب الذي يتم به توزيع الرسامين على الأشياء مهم بالنسبة لنا. لا يجوز التكرار أي الرسام الذي يعمل على أكثر من شيء في نفس اليوم. لذا يمكننا تطبيق معادلة التباديل التي استخدمناها بالفعل.

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 × 5 × 4 × 3 = 360$$

يتضح أن هناك 360 طريقة مختلفة يمكن لمدير شركة إصلاح المنازل من خلالها تخصيص الطلبات بين الرسامين المتاحين في ظروف معينة.