حاسبة المتوسط الحسابي والوسيط والمنوال

قياس النزعة المركزية

قد يصعب علينا النظر إلى جداول ورسوم بيانية للبيانات الإحصائية. نحتاج غالبًا إلى تلخيص مجموعات البيانات وتحديد الميزات المهمة للحصول على معلومات أكثر فائدة من الإحصائيات.

في الإحصاء، يتم استخدام مقياس مختلفة لتلخيص البيانات. يصف البعض مركز البيانات؛ يطلق عليهم مقياس النزعة المركزية. يخبرنا البعض الآخر عن مدى تشتت قيم البيانات؛ يطلق عليهم مقياس التشتت. البعض الآخر، يسمى مقياس المركز، يكشف عن نسبة البيانات التي تقل عن قيمة معينة.

الغرض الأساسي من هذه الآلة الحاسبة هو حساب مقياس النزعة المركزية – المتوسط الحسابي والوسيط - والتي يمكن أن تمثل القيمة النموذجية أو المركزية في مجموعة البيانات. الغرض الثانوي من هذه الآلة الحاسبة هو تحديد درجة التباين في مجموعة البيانات عن طريق حساب المدى والشرائح الربعية والمدى بين الشرائح الربعية.

حاسبة المتوسط الحسابي

المتوسط الحسابي هو مجموع القيم مقسومًا على العدد الإجمالي للقيم. من الأسهل فهمها وحسابها باستخدام الصيغة التالية لحساب المتوسط لعينة:

$$\bar{x}=\frac{x₁+x₂+x₃+\ldots+x_n}{n}=\frac{\sum_{}^{}x}{n}$$

معادلة المتوسط الحسابي للمجتمع هي:

$$\mu=\frac{x₁+x₂+x₃+\ldots+x_n}{N}=\frac{\sum_{}^{}x}{N}$$

هنا، يمثل البسط مجموع القيم في مجموعة البيانات. ويمثل المقام عدد القيم في مجموعة البيانات.

الميزة الرئيسية لاستخدام المتوسط الحسابي هي أنه يتضمن جميع نقاط البيانات الموجودة في مجموعة البيانات.

المحدد والعائق الرئيسي للمتوسط هو أنه عرضة للتأثر بالقيم المتطرفة التي تكون إما كبيرة جدًا أو صغيرة جدًا. تُعرف هذه القيم بالقيم المتطرفة، وهي تؤثر بشكل كبير على المتوسط.

لاحظ أيضًا أن متوسط القيمة ليس بالضرورة القيمة النموذجية للبيانات. قد تكون القيمة المتوسطة قيمة غير موجودة في مجموعة البيانات على الإطلاق.

المتوسط الحسابي للعينة والمجتمع

يتكون المجتمع من مجموعة القيم الكاملة التي يتم الحصول على معلومات عنها. أما العينة تتكون من مجموعة أصغر مأخوذة من المجتمع.

طريقة حساب قيمة المتوسط الحسابي هي نفسها لكل من العينة والمجتمع. فقط التسميات تختلف.

إذا كان \$x₁, x₂,..., x_n\$ لعينة، فيُشار إلى المتوسط على أنه متوسط العينة ويتم تمثيله بالرمز x̄. أما المتوسط الحسابي للمجتمع يُرمز إليه بالحرف اليوناني 𝜇.

في الإحصاء، نستخدم الحرف الصغير n للإشارة إلى حجم العينة والحرف الكبير N للإشارة إلى حجم المجتمع.

مثال لحساب المتوسط الحسابي

لنلقِ نظرة على المثال التالي: طلال طباخ من الدرجة الأولى وعاشق للبيتزا. قرر افتتاح مطعم بيتزا خاص به في جزيرة بالي. للعثور على مستثمر، يكتب طلال خطة عمل. إنه يريد تحديد متوسط تكلفة البيتزا في المطاعم المختلفة في الجزيرة لتقييم الأداء المالي المستقبلي.

لقد أجرى بحثًا بسيطًا حول سعر بيتزا مارغريتا في مطاعم في الجزيرة وحصل على مجموعة بيانات عن أسعار البيتزا. لسهولة الحساب، دعنا نتجاهل آخر ثلاثة أصفار ونستخدم عدد الآلاف في السعر. أي أن 60 في حساباتنا تعني 60 ألف روبية إندونيسية.

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

لم يتجول طلال في كل مطاعم البيتزا في الجزيرة. فقد اختار 20 مطعم عشوائي منهم. وبالتالي، نحن نتعامل مع عينة.

دعنا نحسب متوسط القيمة لمجموعة البيانات هذه باستخدام الصيغة:

$$\bar{x}=\frac{x₁+x₂+x₃+\ldots+x_n}{n}=\frac{\sum_{}^{}x}{n}$$

نحصل على متوسط السعر x̄=71.9.

تظهر أبحاث طلال أن 71,900 روبية إندونيسية هو متوسط سعر بيتزا مارغريتا في بالي. يمكنه الآن بناء حساباته على هذا السعر.

حاسبة الوسيط

الوسيط هو مقياس موضعي يمثل متوسط قيمة مجموعة بيانات مرتبة بترتيب تصاعدي أو تنازلي.

بحساب الوسيط، نحاول إيجاد رقم يقسم مجموعة البيانات إلى النصف. نصف قيم البيانات أقل من المتوسط، والنصف الآخر أكبر من المتوسط. هذا هو السبب في أننا عندما نحدد الوسيط يدويًا بدون آلة حاسبة وسيطة، نحتاج إلى فرز القيم بترتيب تصاعدي أو تنازلي.

يختلف حساب الوسيط اعتمادًا على ما إذا كان عدد القيم في مجموعة البيانات زوجيًا أم فرديًا.

إذا كان العدد الإجمالي للعناصر فرديًا، أي أن n أو N رقم فردي، فتطبق المعادلة التالية:

$$الوسيط =(\frac{n+1}{2}) \ عنصر$$

ومع ذلك، إذا كان عدد الوسيط زوجيًا، مما يعني أن n هو رقم زوجي ، فتطبق المعادلة التالية:

$$الوسيط =\frac{\left[(\frac{n}{2}) \ عنصر + (\frac{n}{2}+1) \ عنصر \right]}{2}$$

الميزة الرئيسية لاستخدام الوسيط هي أنه أقل تأثراً بالقيم العالية للغاية أو المنخفضة للغاية.

مثال على حساب الوسيط

لمجموعة بيانات معينة من عشرين قيمة،

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

يمكننا حساب الوسيط على النحو التالي:

1. قم بفرز مجموعة البيانات إما تصاعديًا أو تنازليًا. هنا الترتيب على النحو التالي:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 95, 120, 160

2. نحدد عدد القيم في مجموعة البيانات. لدينا n = 20.

3. إذا كانت قيمة n رقم فردي، فإننا نختار القيمة المركزية للبيانات كمتوسط. وإذا كان n رقم زوجي، فسنوجد المتوسط الحسابي للقيمتين الوسيطتين. نجمعهم واقسم المجموع على 2.

20 عدد زوجي.

القيم المركزية في العينة هي 69 و70. ونجد الوسيط بهذه الطريقة:

$$الوسيط = \frac{69 + 70}{2} = 69.5$$

إذا كان لدى طلال مجموعة من 21 قيمة، على سبيل المثال،

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 90, 55, 72, 70

يمكنه ترتيب القيم:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 90, 95, 120, 160

وحدد القيمة في المركز في الموضع الحادي عشر، أي 70.

الفرق بين المتوسط والمتوسط

يتم استخدام كل من المتوسط والوسيط كمقياس للنزعة المركزية. لكن من الضروري معرفة كيف يختلفون.

أحد الاختلافات الجوهرية بين المتوسط والمتوسط هو أن معادلة المتوسط تستخدم جميع القيم في مجموعة البيانات. في المقابل، تعتمد معادلة الوسيط فقط على الرقم المركزي أو اثنين من الأرقام المركزية.

هذا مهم بشكل خاص لمجموعات البيانات حيث يكون رقم واحد أو أكثر كبيرًا بشكل غير عادي أو صغير بشكل غير عادي. تسمى هذه الأرقام القيم المتطرفة. في معظم الحالات، ستؤثر هذه القيم المتطرفة بشكل كبير على المتوسط، ولكن سيكون لها تأثير ضئيل أو معدوم على المتوسط.

في الإحصاء، نقول إن المقياس يكون مقاومًا إذا لم تتأثر قيمته بشكل كبير بالقيم القصوى في مجموعة البيانات. لذلك يمكننا القول أن الوسيط مقاوم، والمتوسط ليس مقاوم.

المتوسط والوسيط يقيسان مركز مجموعة البيانات بشكل مختلف. المتوسط هو النقطة التي تتوازن عندها مجموعة البيانات. الوسيط هو المتوسط الذي يفصل 50% من البيانات الموجودة على جانب واحد عن 50% من البيانات الموجودة على الجانب الآخر. عندما تكون مجموعة البيانات متماثلة، يكون المتوسط والوسيط متساويين.

لكن المتوسط والوسيط قد لا يكونا متساويين.

في بعض مجموعات البيانات، قد يكون المتوسط أقل من المتوسط، أو قد يكون المتوسط أقل من المتوسط. في هذه الحالة، نقول أن مجموعة البيانات منحرفة.

إذا تم وضع القيمة المتوسطة على اليسار أو أقل من المتوسط، فإننا نقول إن مجموعة البيانات مائلة إلى اليسار. إذا تم وضع المتوسط على اليمين أو أكبر من الوسيط، فإننا نقول إن مجموعة البيانات تميل إلى اليمين.

لا الوسيط ولا المتوسط أفضل كمقياس للنزعة المركزية. كلاهما يقيس المركز بطرق مختلفة. يفضل بعض الخبراء استخدام الوسيط عندما تكون البيانات شديدة الانحراف أو تحتوي على قيم قصوى لأن الوسيط يمثل أكثر للقيمة النموذجية.

حاسبة المنوال

المنوال هو قيمة مجموعة البيانات التي تحدث الحد الأقصى لعدد المرات في مجموعة البيانات. هذه هي القيمة التي تحدث بشكل متكرر.

يشار إلى مجموعة البيانات التي تحتوي على قيمة واحدة فقط والتي تحدث في أغلب الأحيان على أنها أحادية المنوال.

إذا كانت مجموعة البيانات تحتوي على قيمتين لهما نفس أعلى تردد، فإن كلا القيمتين تعتبران شكليتين، وتعتبر مجموعة البيانات ثنائية المنوال.

إذا كانت مجموعة البيانات تحتوي على أكثر من قيمتين بنفس أعلى تردد، فسيتم استخدام كل قيمة كمنوال، وتعتبر مجموعة البيانات متعددة المنوال.

إذا لم تحدث قيمة بيانات واحدة أكثر من مرة، فسيتم القول إن مجموعة البيانات ليس لها منوال. في هذه الحالة، سيكون من الخطأ القول أن المنوال هو صفر. في الواقع، قد يكون الصفر هو القيمة الفعلية في بعض مجموعات البيانات، مثل قياسات درجة الحرارة.

الميزة الرئيسية لحساب المنوال هو أنه من الأسهل العثور عليه ولا يتأثر بالقيم القصوى. يتمثل عيب حساب المنوال في أنه، في حالات معينة، قد لا توجد قيمة منوال لبعض مجموعات البيانات.

مثال على حساب المنوال

لمجموعة معينة من عشرين قيمة،

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

يمكننا إيجاد المنوال على النحو التالي:

رتب مجموعة البيانات بترتيب تصاعدي أو تنازلي. هنا الترتيب كما يلي:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 95, 120, 160

بعد ذلك، نجد القيمة مكررة لأقصى عدد من المرات. هنا، القيمة الأكثر شيوعًا هي 70. وبالتالي، بالنسبة لمجموعة بيانات معينة ، يكون المنوال 70.

يُعرف المنوال أيضًا باسم مقياس النزعة المركزية. لكن هذا ليس دقيقًا تمامًا. يمكن أن يكون المنوال هو أكبر قيمة في مجموعة البيانات، أو أصغر قيمة، أو أي قيمة أخرى. على سبيل المثال، إذا كانت لدينا الأرقام التالية في مجموعة البيانات:

42, 45, 50, 53, 55, 57, 59, 60, 63, 69, 70, 72, 79, 82, 83, 95, 96, 120, 120, 120

سيكون المنوال 120. على الرغم من أنه في هذه الحالة، لن يعكس النزعة المركزية.

ومن المثير للاهتمام أنه يمكننا فقط حساب الوسيط والمتوسط للبيانات الكمية. ويمكننا حساب المنوال لكل من البيانات الكمية والنوعية.

على سبيل المثال، تأكل فيروز البيتزا بمعدل 12 مرة في الشهر.

• 3 مرات بيتزا نابوليتانا ،
• 3 مرات بيتزا مارغريتا ،
• مرتين بيتزا كالزوني ،
• 1 مرة بيبروني ،
• 1 مرة مارينارا ،
• 1 فورتشيز ،
• 1 كابريزي.

في هذه الحالة، سيكون لدينا وضعان: بيتزا نابوليتانا وبيتزا مارغريتا.

مقياس التشتت

نستخدم مقياس التباين لتحديد التباين في مجموعة البيانات. تعكس عادةً درجة التباين في البيانات من القيمة المركزية. يمكننا فحص التباين في مجموعة البيانات باستخدام المدى والشرائح الربيعة ومدى الشرائح الربيعة.

حاسبة المدى

مدى مجموعة البيانات هو الفرق بين أعلى وأدنى قيمة في مجموعة البيانات. يمكننا حسابه بتحديد القيم القصوى والدنيا لمجموعة البيانات. معادلة حساب المدى هي:

$$نطاق = أكبر \ قيمة - أصغر \ قيمة$$

مثال على حساب المدى

لمجموعة معينة من عشرين قيمة،

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

يمكننا حساب المدى على النحو التالي:

رتب مجموعة البيانات بترتيب تصاعدي أو تنازلي. هنا، يبدو الترتيب كالتالي:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 95, 120, 160

نجد أن أعلى قيمة هي 160، وأقل قيمة هي 42. ومن ثم فإن المدى:

$$نطاق = أكبر \ قيمة - أصغر \ قيمة = 160 - 42 = 118$$

لذلك، بالنسبة لمجموعة البيانات هذه ، يكون المدى 118.

حاسبة الشرائح الربعية

الشرائح الربعية هي القيم التي تقسم مجموعة البيانات إلى أربعة أرباع بثلاث نقاط ، وهي الربع الأول والثاني والثالث.

يمثل الربع الأول، المسمى Q₁، النقطة التي تمثل أول 25% من القيم في مجموعة البيانات الأقل من هذه القيمة. و 75% الأخرى من القيم أكبر.

الربع الثاني المسمى Q₂ هو الوسيط. هذا يعني أن 50% من مجموعة البيانات أقل من هذه القيمة وأن الـ 50% الأخرى أكبر منQ₂.

الربع الثالث، المشار إليه بـ Q₃، هو النقطة التي تمثل 75% من القيم الأقل من هذه القيمة والباقي 25% أكبر.

طريقة حساب الشرائح الربعية

إجراء حساب الشرائح الربعية لمجموعة البيانات:

1. رتب البيانات بترتيب تصاعدي.

2. لحساب الربع الثاني، احسب الوسيط.

3. بالنسبة للربيعين الأول والثالث، تابع ما يلي. حدد n - عدد القيم في مجموعة البيانات.

4. للربع الأول، احسب L = 0.25n. للربع الثالث، احسب L = 0.75n.

5. إذا كانت L عددًا صحيحًا، فإن الربع هو متوسط الرقم في الموضع L والرقم في الموضع L + 1.

6. إذا لم تكن L عددًا صحيحًا، فقربها إلى العدد الصحيح الأعلى التالي. الربع هو الرقم الموجود في الموضع المقابل للقيمة المقربة.

مثال على الحساب الشرائح الربعية

لمجموعة معينة من عشرين قيمة،

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

يمكننا حساب الشرائح الربعية على النحو التالي:

1. قم بفرز مجموعة البيانات إما تصاعديًا أو تنازليًا. هنا، يبدو الترتيب كالتالي:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 95, 120, 160

2. من الحسابات السابقة، نعلم بالفعل أن

الوسيط = 70

3. L للربع الأول: 0.25 × 20 = 5. و L للربع الثالث: 0.75 × 20 = 15.

4. 5 عدد صحيح، لذا فإن Q₁ في حالتنا هو:

$$Q₁=\frac{55+59}{2}=57$$

5. 15 هو أيضًا عدد صحيح، لذا فإن Q₃ في حالتنا هو

$$Q₃=\frac{72+75}{2}=73.5$$

إذن، بالنسبة لمجموعة البيانات هذه، الربع الأول هو 57، والربع الثاني 70 ، والثالث 73.5.

حاسبة الشرائح الربعية

حاسبة مدى الشرائح الربعية (IQR) هو الفرق بين الربع Q₃ الثالث والربع الأول Q₁ لمجموعة البيانات. وهو مقياس لمتوسط التشتت الذي يمكن حسابه على النحو التالي:

IQR = Q₃ - Q₁

مثال لحساب IQR

في القسم السابق، قمنا بالفعل بحساب الربعين الأول والثالث. هم 57 و73.5. كل ما علينا فعله هو ببساطة تطبيق المعادلة.

IQR = Q₃ - Q₁ = 73.5 - 57 = 16.5

وبالتالي، بالنسبة لمجموعة البيانات هذه، فإن المدى الربعي هو 16.5.

النتائج

في حالتنا، من خلال المسح المصغر الذي أجراه طلال لأسعار بيتزا مارغريتا، كان بإمكانه استخلاص الاستنتاجات التالية: المتوسط والوسيط غير متطابقين؛ تم تشكيل انحراف طفيف في البيانات. لكنها ليست ملحوظة للغاية. لذلك يمكن استخدام كل من المتوسط والوسيط لقياس النزعة المركزية.

إذا أراد طلال أن يتماشى مع متوسط سعر بيتزا مارغريتا، كان يجب أن يأخذ المتوسط أو المتوسط. ولكن لن يكون 71,900 روبية إندونيسية أو 69,500 روبية إندونيسية مناسبين للغاية كسعر بيتزا لا يُنسى. لحسن الحظ، فإن سعر المنوال بيتزا Margherita هو فقط في هذا المدى، وهو 70,000 روبية إندونيسية. لذلك، كان من الممكن أن يستخدم طلال هذا السعر الدقيق في حساباته.

إذا أراد إنشاء مطعم بيتزا لمجموعة مستهدفة أكثر اقتصادا، فيمكنه التركيز على الأرقام الأقرب إلى الربع الأول. هذا هو سعر حوالي 57,000 روبية إندونيسية. ليس من الملائم جدًا التركيز على الربع الثالث لتحديد السعر للعملاء الأكثر تطلبًا لأن الربع الثالث ليس تمثيليًا للغاية.