حاسبة المثلث

حاسبة المثلث

حاسبة المثلث هي أداة حل مثلث أونلاين تتيح لك حل جميع قياسات المثلث بناءً على ثلاث قياسات معروفة بسرعة. تأخذ الآلة الحاسبة في المدخلات أطوال ضلعي المثلث وزوايا المثلث وتحسب القياسات التالية:

• أطوال الأضلاع المجهولة ،
• زوايا المثلث المجهولة ،
• المساحة،
• المحيط،
• نصف المحيط،
• الارتفاعات من جميع جوانب المثلث ،
• المتوسطات على جميع جوانب المثلث ،
• نصف قطر الدائرة الداخلية للمثلث،
• نصف الدائرة الخارجية للمثلث.

توفر الآلة الحاسبة أيضًا إحداثيات الرؤوس، والنقطة الوسطى، ومركز الدائرة الداخلية والخارجية للمثلث، بافتراض أن إحداثيات الرأس A are [0, 0].

تعليمات الاستخدام

لاستخدام حاسبة المثلث هذه، أدخل أي ثلاث قيم في حقول الإدخال. يمكنك إدخال قيم أي زوايا أو أي أطوال أضلاع. لاحظ أن واحدة على الأقل من القيم يجب أن تمثل طول الضلع؛ خلاف ذلك، سيكون للمثلث حلول لا نهائية.

بعد إدخال القيم، حدد وحدات زوايا المثلث. يمكنك الاختيار بين طريقة الدرجات أو الراديان. عند تحديد الراديان، استخدم "pi" لتمثيل π على سبيل المثال، إذا كانت قيمة الزاوية هي \$\frac{π}{3}\$ ، فأدخل "pi/3" بعد إدخال القيم المعروفة ، اضغط على "احسب". ستعيد الآلة الحاسبة جميع القيم المجهولة من القائمة أعلاه والعرض التخطيطي للمثلث ، مما سيساعدك على تصور ذلك بشكل أفضل.

بعد الحل، يمكنك توسيع الحقل التالي - إظهار خطوات الحل - للتعرف على خوارزمية ونظرية الحل والمعادلات المستخدمة لإيجاد الحل.

لحذف جميع المدخلات، اضغط على "مسح".

شروط قيم الإدخال

يجب أن تكون إحدى القيم المعروفة على الأقل طول ضلع.

عند إدخال مجموعة القيم التالية - زاويتان وطول ضلع واحد - لاحظ أن مجموع قيم الزاوية يجب أن يكون أقل من 180° أو π.

عند إدخال ثلاثة أطوال أضلاع، لاحظ أن مجموع أي ضلعين يجب أن يكون أكبر من طول الضلع المتبقي.

مثال

تخيل أنك تتحرك وتريد استعارة شاحنة من صديق. ستحتاج إلى تحميل وتفريغ الشاحنة، لكنها لا تحتوي على منحدر مدمج. لديك منحدر محمول، لكن يجب عليك التأكد من أن أبعاده تناسب ارتفاع الشاحنة. المنحدر الخاص بك غير قابل للضبط، وقد قمت بقياس قياس ضلعيه على أنهما 1 م و0.8 م، والزاوية المقابلة لضلع 1 م تساوي 85 درجة (انظر الصورة). أنت تعلم أنه يمكنك ضبط ارتفاع الشاحنة من 0.5 متر إلى 1 متر. هل يناسب المنحدر الخاص بك؟

المعطيات

• الضلع b = 1 ؛
• الضلع c = 0.8 ؛
• الزاوية B = 85 درجة.

الحل

لتحديد ما إذا كان المنحدر الخاص بك يناسب الشاحنة، تحتاج إلى حل المثلث أعلاه وتقدير ما إذا كان طول الضلع A يناسب النطاق المحدد لارتفاع الشاحنة: 0.5 < a < 1.

بإدخال القيم المعروضة أعلاه في حاسبة المثلث، تحصل على الإجابة التالية في المهمة، سنحتاج فقط إلى طول الضلع المجهول.

لذلك لم يتم توضيح بقية الإجابات في هذا المثال العملي، بينما لا تزال حاسبة المثلث يمكنها حلها:

الحل

• الضلع a=0.67376

• الضلع b=1

• الضلع c=0.8

• الزاوية \$\angle\ A\ =\ 42.16° = 42°9'35" = 0.73582 rad\$

• الزاوية \$\angle\ B\ =\ 85° = 1.48353 rad\$

• الزاوية \$\angle\ C\ =\ 52.84° = 52°50'25" = 0.92224 rad\$

يبدو المنحدر مثل هذا:

نرى أن a≈0.674، ونعلم أنه يمكن تعديل ارتفاع الشاحنة في النطاق 0.5 < a < 1 هذا يعني أن ارتفاع المنحدر يناسب ارتفاع الشاحنة القابل للتعديل، ويمكنك استعارة الشاحنة من صديقك بدلاً من استئجار واحدة!

المثلث: التعريفات والمعادلات المهمة

في الهندسة، المثلث هو شكل مستوٍ يتكون من تقاطع ثلاثة خطوط مستقيمة غير متوازية. يمكن أيضًا وصف المثلث بأنه مضلع له ثلاثة رؤوس وثلاثة أضلاع. عادة ما تسمى حواف المثلث بالأضلاع.

شروط وجود المثلث

شرطان يحددان وجود المثلث؛ يتم تطبيق شرط واحد على الضلعين، والآخر - على الزوايا. الشرط على الضلعين مبني على متباينة المثلث. تنص على أن مجموع أطوال أي ضلع من ضلعي المثلث يجب أن يكون أكبر من أو يساوي طول الضلع الثالث المتبقي. إذا كان مجموع أطوال الضلعين يساوي طول الضلع الثالث، يسمى المثلث متدهورًا.

المثلث المتدهور هو مثلث تقع فيه الرؤوس الثلاثة على نفس الخط المستقيم. إنها حالة مثلث خاصة جدًا، لا تتم مناقشتها عادةً في الهندسة الأولية، وبالتالي لا يتم النظر فيها هنا.

ينص الشرط على الزوايا على أن مجموع الزوايا الثلاث لأي مثلث يساوي دائمًا 180 درجة أو π راديان.

قياسات المثلث

دعنا نحدد قياسات المثلث الأكثر أهمية ونلقي نظرة على معادلات حساب قيمها.

محيط المثلث هو مجموع أطوال أضلاعه ويمكن إيجاده على النحو التالي:

$$p=a+b+c$$

نصف محيط المثلث - هو نصف طول محيط المثلث:

$$s=\frac{p}{2}=\frac{a+b+c}{2}$$

مساحة المثلث - هي خاصية تصف مقدار المساحة التي يشغلها المثلث على المستوى. إذا كانت أطوال ضلعي المثلث والزاوية بين هذين الضلعين معروفة، فيمكن حساب مساحة المثلث على النحو التالي:

$$A=\frac{1}{2}a× b×\sin{C}$$

ارتفاع المثلث أو ارتفاعه عمودي من إحدى الزوايا إلى الضلع المقابل. بما أن أي مثلث له ثلاثة أضلاع، فإن أي مثلث سيكون له أيضًا ثلاثة أعمدة متعامدة. عادةً ما يُشار إلى الارتفاع المتعامد مع الضلع A على أنه hₐ وبالمثل، يُشار إلى الارتفاعين الآخرين على أنهما \$h_b\$ و h꜀ أسهل طريقة لمعرفة ارتفاع المثلث هي من خلال مساحته:

$$A=\frac{1}{2}× a× h_a=\frac{1}{2}× b× h_b=\frac{1}{2}× c× h_c$$

$$h_a=\frac{2A}{a}, h_b=\frac{2A}{b}, h_c=\frac{2A}{c}$$

متوسط ضلع المثلث - هو الخط الممتد من رأس المثلث إلى منتصف الضلع المقابل. أي مثلث له ثلاث متوسطات.

عادةً ما يُشار إلى الوسيط إلى الضلع A على أنه mₐ وبالمثل، يتم الإشارة إلى المتوسطين الأخريين على أنهما \$m_b\$ و m꜀ يمكننا إيجاد أطوال المتوسطات بالصيغة التالية:

$$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b²+2c^2-a^2}$$

نصف قطر الدائرة الداخلية للمثلث - هو نصف قطر الدائرة المدرجة داخل المثلث وتلامس جميع أضلاعها.

يمكن العثور على طول نصف قطر الدائرة الداخلية r كما يلي:

$$r=\frac{A}{s}$$

نصف قطر الدائرة الخارجية للمثلث - هو نصف قطر الدائرة التي تمر عبر الرؤوس الثلاثة للمثلث.

يمكننا إيجاد طول نصف القطر r من قاعدة جيب الزاوية:

$$2R=\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}$$

قاعدة جيب الزاوية مفيدة أيضًا في إيجاد القيم المجهولة لأطوال أضلاع أو زوايا المثلث. قاعدة أخرى مفيدة هي قاعدة جيب التمام:

$$a=\sqrt{b²+c^2-2bc\cos{A}}$$

$$b=\sqrt{a^2+c^2-2ac\cos{B}}$$

$$c=\sqrt{a^2+b²-2ab\cos{C}}$$

تسمح المعادلات المذكورة أعلاه بحساب جميع قياسات المثلث. تستخدم حاسبة المثلث هذه الصيغ للعثور على القيم المجهولة.