حاسبة المسافة ثنائية الأبعاد

تحدد هذه الحاسبة المسافة بين نقطتين على مستوى إذا كانت إحداثيات النقاط معروفة. تعمل الآلة الحاسبة في مساحة ثنائية الأبعاد.

نظرًا لأن الخط المستقيم يمثل أقصر مسافة بين نقطتين، يمكن استخدام هذه الآلة الحاسبة كآلة حاسبة لطول الخط.

تعليمات الاستخدام

تحدد الآلة الحاسبة المسافة بين النقطة 1 ذات الإحداثيات (X₁، Y₁) والنقطة 2 بالإحداثيات (X₂، Y₂).

لإيجاد المسافة بين نقطتين، أدخل إحداثياتهما في الحقول المقابلة. يجب إدخال إحداثيات الإدخال على النحو التالي:

• يجب أن تفصل الفاصلة إحداثيات كل نقطة ؛ على سبيل المثال، أدخل "4،5" في الحقل (X₁، Y₁) للحصول على النقطة 1 بإحداثيات x للرقم 4 وإحداثي y للرقم 5. إذا تم تمثيل أي من الإحداثيات بواسطة علامة عشرية، فاستخدم العلامة العشرية أشر لفصل جزء العدد الصحيح عن الجزء العشري؛ على سبيل المثال، أدخل "4.5،7" للحصول على نقطة ذات إحداثي x 4.5 وإحداثي y قيمته 7.
• يمكنك فقط استخدام الأعداد الصحيحة والأرقام العشرية كإحداثيات نقطية. الكسور غير مقبولة.
• المسافات بين الإحداثيات ليست ضرورية، ولكن يمكنك استخدامها لراحتك

بعد إدخال الإحداثيات، اضغط على "حساب". ستعيد الآلة الحاسبة الإجابة النهائية وخوارزمية الحل التفصيلية.

معادلة المسافة

على مستوى ثنائي الأبعاد، يمكن إيجاد المسافة d بين النقطة 1 ذات الإحداثيات (X₁، Y₁) والنقطة 2 بالإحداثيات (X₂، Y₂) بمساعدة المعادلة التالية:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

أو بعبارة أخرى: يمكن إيجاد المسافة بين نقطتين في فضاء ثنائي الأبعاد كجذر تربيعي لمجموع تربيع الفروق للإحداثيات المقابلة. تُعرف هذه المعادلة باسم معادلة المسافة الإقليدية. لذلك، يمكن أيضًا تسمية هذه الآلة الحاسبة بآلة حاسبة للمسافة الإقليدية.

اشتقاق معادلة المسافة الإقليدية

لاشتقاق المعادلة، دعنا نلقي نظرة على النقطتين المحددتين على المستوى الإحداثي (x، y):

لإيجاد المسافة بين النقطة 1 والنقطة 2، دعنا نرسم خطًا رأسيًا لأسفل من النقطة 2، وخطًا أفقيًا إلى اليمين من النقطة 1. سيشكل الخطان المرسومان والمسافة اللازمة مثلثًا قائمًا. سيتم تشكيل الضلع الرأسي لهذا المثلث من خلال المسافة العمودية بين النقطة 1 والنقطة 2: Y₂ - Y₁. سيتم تشكيل الضلع الأفقي للمثلث من خلال المسافة الأفقية بين النقطتين: X₂ - X₁ يمثل وتر هذا المثلث المسافة اللازمة بين النقطتين. عندما تكون أطوال أرجل المثلث القائم معروفة، يمكن إيجاد طول الوتر بمساعدة نظرية فيثاغورس:

$$d^2=(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2$$

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

أمثلة حسابية

مثال 1

لنجد المسافة بين النقطة 1 مع (X₁، Y₁) = (3، 1) والنقطة 2 مع (X₂، Y₂) = (5، 7). باستبدال قيم X₁ و Y₁ و X₂ و Y₂ في معادلة المسافة الإقليدية، سنحصل على:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(5-3)^2+(7-1)^2}=\sqrt{2^2+6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6.32$$

لاحظ أن تغيير ترتيب النقاط لا يغير النتيجة النهائية حيث يتم تربيع الفروق بين الإحداثيات. دعنا نكرر الحساب أعلاه، بافتراض أن (X₁، Y₁) = (5، 7) و (X₂، Y₂) = (3، 1)

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-5)^2+(1-7)^2}=\sqrt{-2^2+-6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6.32$$

مثال 2

لنلقِ نظرة على مثال ذي إحداثيات سالبة ونجد المسافة بين النقطة 1 مع (X₁، Y₁) = (-4، 2) والنقطة 2 مع (X₂، Y₂) = (6، -6). باستبدال قيم X₁ و Y₁ و X₂ و Y₂ في معادلة المسافة الإقليدية، سنحصل على:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(6-(-4))^2+(-6-2)^2}=\sqrt{10^2+(-8)^2}$$

$$\sqrt{10^2+(-8)^2}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\approx 12.8$$

أمثلة من الحياة الواقعية

كما هو موضح أعلاه، فإن معادلة المسافة الإقليدية مبنية على نظرية فيثاغورس. ومع ذلك، فإنه يكيف النظرية مع المواقف التي لا يُعرف فيها سوى إحداثيات النقاط (بدلاً من أطوال أضلاع المثلث التي تستخدمها نظرية فيثاغورس). المعادلة مفيدة عندما يجب حساب المسافات من الإحداثيات الموجودة على الخريطة أو الرسم البياني. كما أنها تستخدم لحساب مقادير الأعداد المركبة والمتجهات.

مثال 3

تخيل سلمًا متكئًا على الحائط. في هذه الحالة، تمثل الأرضية المحور السيني للمستوى ثنائي الأبعاد، ويمثل الجدار المحور الصادي، كما هو موضح في الصورة أدناه. إذا لامس السلم الحائط عند النقطة (0، 2)، ولمس الأرض عند النقطة (3، 0)، فأوجد طول السلم.

الحل

لإيجاد طول السلم في مستوى ثنائي الأبعاد يتكون من الجدار والأرض، دعنا أولاً نحدد إحداثيات نقاط نهاية السلم: X₁ و Y₁ و X₂ و Y₂. دعنا نسمي النقطة التي يلامس فيها السلم الجدار - النقطة 1 (X₁، Y₁)، والنقطة التي يلامس فيها السلم الأرض - النقطة 2 (X₂، Y₂). نعلم أن السلم يلامس الجدار عند النقطة ذات الإحداثيات (0، 2). لذلك، (X₁، Y₁) = (0، 2)

X₁ = 0, Y₁ = 2

لاحظ كيف أن X₁ = 0، والذي تم توضيحه بوضوح من خلال الصورة أعلاه، حيث تتوافق النقطة (0، 0) مع النقطة المادية حيث يلتقي الجدار بالأرض، مما يجعل القيم السالبة لـ X و Y مستحيلة.

علاوة على ذلك، نعلم أن السلم يلامس الأرض عند النقطة ذات الإحداثيات (3، 0). لذلك، (X₂، Y₂) = (3، 0)

X₂ = 3, Y₂ = 0

وأيضًا، Y₂ = 0 لأن هذه الإحداثيات تتوافق مع النقطة الموجودة على الأرض مباشرةً. دعنا الآن نستخدم معادلة المسافة لحساب طول السلم:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2}$$

$$\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\approx 3.6$$

الإجابة

طول السلم 3.6

المسافة في الفضاء ثلاثي الأبعاد

المسافة الإقليدية هي ما يشير إليه معظم الناس باسم "المسافة". عندما نقول أن جسمًا ما على بعد 5 أمتار منا، فهذه هي المسافة الإقليدية التي نضعها في الاعتبار. يمكن بسهولة استقراء معادلة المسافة الموصوفة أعلاه إلى 3 أبعاد (أو حتى أكثر!).

في مساحة ثلاثية الأبعاد، يمكن حساب المسافة بين النقطة 1 ذات الإحداثيات (X، Y₁، Z₁) والنقطة 2 ذات الإحداثيات (X₂، Y₂، Z₂) كجذر تربيعي لمجموع تربيع الاختلافات بين المقابل إحداثيات:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2+(Z₂-Z₁)^2}$$