Binärrechner

Mit diesem Rechner können Sie verschiedene Arten von Operationen mit Binärzahlen durchführen. Er kombiniert den Binär-Additionsrechner, den Binär-Subtraktionsrechner, den Binär-Divisionsrechner, den Binär-Multiplikationsrechner und den Binär-Umrechner. Der Binärumwandlungsrechner kann binäre Werte in dezimale Werte umwandeln und umgekehrt.

Bedienungsanleitung

Binäre Berechnungen

Verwenden Sie den ersten Teil des Rechners, um binäre Berechnungen durchzuführen - Addition, Subtraktion, Division oder Multiplikation von zwei binären Zahlen. Um eine Berechnung durchzuführen, geben Sie die angegebenen Binärzahlen ein und wählen das Vorzeichen der erforderlichen mathematischen Operation (+, -, ×, ÷). Drücken Sie dann auf "Calculate" (Berechnen). Der Rechner zeigt das Ergebnis sowohl in binären als auch in dezimalen Werten an.

Binären Wert in dezimalen Wert umwandeln

Um einen binären Wert in einen dezimalen Wert umzuwandeln, verwenden Sie den zweiten Teil des Rechners. Geben Sie einfach den angegebenen Binärwert ein und drücken Sie "Calculate" (Berechnen).

Dezimalwert in Binärwert umwandeln

Verwenden Sie den dritten Teil des Rechners, um Umrechnungen von Dezimal- in Binärzahlen durchzuführen. Geben Sie den angegebenen Dezimalwert ein und drücken Sie auf "Calculate" (Berechnen). Drücken Sie in jedem Unterabschnitt des Rechners auf "Clear" (Löschen), um alle Felder zu leeren. Alle Teile des Rechners arbeiten mit ganzen Zahlen.

Binäre Zahlen

Eine Binärzahl besteht nur aus Einsen und Nullen, zum Beispiel wäre 10001110101010 eine Binärzahl. Ein binäres Zahlensystem wird manchmal auch als Basis-2-Zahlensystem bezeichnet, daher ist ein binärer Rechner ein Basis-2-Rechner.

Eine Binärzahl im Basis-2-System wird auf die gleiche Weise gebildet wie eine Dezimalzahl im "normalen" Basis-10-System. Im Dezimalsystem zählen wir 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ... und dann gehen wir zurück zu 0, fügen aber eine 1 davor und erhalten 10. Im binären System machen wir das Gleiche, aber wir erreichen 10 viel früher. Wir zählen 0, 1 ... und jetzt haben wir keine Ziffern mehr, also gehen wir sofort zu 10.

Daher ist 2 im Dezimalsystem gleich 10 im Binärsystem. Um 3 in binärer Form zu schreiben, gehen wir von 10 zu 11. Aber um 4 zu schreiben, müssen wir zu 00 gehen und eine 1 voranstellen. Daher entspricht 4 im Dezimalsystem 100 im Binärsystem. Die dezimal-binären Entsprechungen einiger Zahlen sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.

Beachten Sie, dass das Hinzufügen von Nullen vor einer Zahl, genau wie im Dezimalsystem, den Wert nicht ändert. Zum Beispiel wäre es technisch korrekt, 6 als 06 zu schreiben. Ähnlich könnte 6 im Binärsystem als 110 oder 0110 geschrieben werden.

Binäre Konvertierungen

Umwandlung von Dezimalzahlen in Binärzahlen

Der einfachste Weg, eine Dezimalzahl in eine Binärzahl umzuwandeln, besteht darin, die gegebene Dezimalzahl fortlaufend durch 2 zu dividieren und die Reste zu notieren. Sobald Sie 0 als Quotient erhalten, schreiben Sie alle Reste in umgekehrter Reihenfolge auf, um die Binärzahl zu erhalten. Lassen Sie uns zum Beispiel 17 in eine Binärzahl umwandeln:

1. 17 ÷ 2 = 8 R1
2. 8 ÷ 2 = 4 R0
3. 4 ÷ 2 = 2 R0
4. 2 ÷ 2 = 1 R0
5. 1 ÷ 2 = 0 R1

Wenn wir alle Reste in umgekehrter Reihenfolge aufschreiben, erhalten wir die folgende Zahl: 10001. 17₁₀ = 10001₂. (Beachten Sie, wie die Reihenfolge des Zahlensystems als tiefgestelltes Zeichen hinter der Zahl hinzugefügt wird).

Umwandlung von Binärzahlen in Dezimalzahlen

Um einen binären Wert in einen dezimalen Wert umzuwandeln, folgen Sie den nachstehenden Schritten. Zur Verdeutlichung enthalten die Schritte ein Konvertierungsbeispiel. Lassen Sie uns 100101₂ in eine Dezimalzahl konvertieren.

1. Beginnen Sie mit der äußersten linken Ziffer der Binärzahl. Multiplizieren Sie die im vorherigen Schritt erhaltene Zahl mit 2 und addieren Sie die aktuelle Ziffer. Im Beispiel von 100101 ist die äußerste linke Stelle 1. Wir hatten noch keinen vorherigen Schritt, also ist die vorherige Zahl 0: (0 × 2) + 1 = 0 + 1 = 1.
2. Wiederholen Sie Schritt 1 für die zweite Ziffer. Im Beispiel von 100101 ist die zweite Ziffer von links 0. Die Zahl aus dem vorherigen Schritt ist 1. (1 × 2) + 0 = 2.
3. Wiederholen Sie Schritt 1 für jede nachfolgende Ziffer. Die endgültige Summe ist die dezimale Darstellung der gegebenen Binärzahl.

Und schließlich,, 100101₂ = 37₁₀

Binäre Berechnungen

Binäre Additionsrechnung

Die Additionsregeln im Binärsystem entsprechen den Additionsregeln im Dezimalsystem. Der einzige Unterschied besteht darin, dass die Zahl bereits auf die nächste Stelle übertragen wird, wenn die Summe 2 erreicht (im Gegensatz zu 10 im Dezimalsystem). Die Regeln der binären Addition lauten:

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 0, und 1 wird übertragen.

Zum Beispiel,

1001 + 1011 = 10100

Binäre Subtraktion

Die binäre Subtraktion folgt ebenfalls den Regeln der dezimalen Subtraktion, wobei die Entlehnung von der nächsthöheren Ziffer erfolgt, wenn 1 von 1 subtrahiert werden muss. Die Regeln der binären Subtraktion lauten:

• 0 – 0 = 0
• 1 – 0 = 1
• 1 – 1 = 0
• 0 – 1 = 1, 1 ist geliehen.

Wenn Sie sich eine Zahl von der nächsthöheren Ziffer leihen, wird sie im Wesentlichen zu 2 für die betreffende Ziffer, und 2 - 1 = 1. Zum Beispiel,

1100 – 1001 = 0011 = 11

In diesem Beispiel können wir uns keine 1 von der nächsthöheren Stelle leihen, also müssen wir eine Stelle weiter springen. Dann wird die zweitletzte Ziffer im Grunde zu 2, und wenn wir von ihr leihen, reduziert sie sich auf 1. Die blauen Zahlen auf dem Bild stellen die Ziffernänderungen beim Leihen dar.

Binäre Multiplikation

Die Regeln für die binäre Multiplikation lauten:

• 0 × 0 = 0
• 0 × 1 = 0
• 1 × 0 = 0
• 1 × 1 = 1

Zum Beispiel,

Binäre Division

Die binäre Division folgt den gleichen Regeln wie die lange Division für Dezimalzahlen. Ähnlich wie im Dezimalsystem kann im binären Zahlensystem keine Division durch 0 durchgeführt werden. Die Regeln für die binäre Division lauten:

• 0 ÷ 0 kann nicht ausgeführt werden
• 0 ÷ 1 = 0
• 1 ÷ 0 kann nicht ausgeführt werden
• 1 ÷ 1 = 1

Zum Beispiel: 1111 ÷ 10 = 111 R1:

Die Kurzgeschichte der Binärzahlen

Die Geschichte der Binärzahlen ist eine faszinierende Reise, die Mathematik, Philosophie und die Entwicklung der modernen Computertechnik miteinander verwebt. Zurückgehend auf das späte 17. Jahrhundert, wurde das binäre System erstmals vom deutschen Mathematiker und Philosophen Gottfried Wilhelm Leibniz konzeptualisiert. In seinem Manuskript "Erklärung der binären Arithmetik" schlug Leibniz ein System vor, das nur zwei Ziffern, 0 und 1, zur Darstellung von Zahlen verwendete. Dieses binäre System, obwohl es eine bedeutende mathematische Entwicklung war, erlangte nicht sofort weite Anerkennung oder Anwendung.

Trotz seiner frühen Einführung dauerte es Jahrhunderte, bis die praktische Nutzung von Binärzahlen sich entwickelte. Erst im 19. Jahrhundert wurden bedeutende Fortschritte erzielt, die größtenteils auf die Arbeit von George Boole zurückzuführen sind. Boole, ein englischer Mathematiker, entwickelte eine Form der Algebra, die die Grundlage für das legte, was als Boolesche Algebra bekannt werden sollte. Diese Algebra verwendete binäre Variablen und wurde zu einem entscheidenden Bestandteil in der Entwicklung von elektronischen Schaltkreisen und digitaler Logik.

Der wirkliche Durchbruch für Binärzahlen kam mit dem Aufkommen der elektronischen Datenverarbeitung im 20. Jahrhundert. Die Entwicklung der ersten elektronischen Computer in den 1940er und 1950er Jahren, wie der Electronic Numerical Integrator and Computer (ENIAC) und der Universal Automatic Computer (UNIVAC), markierte einen entscheidenden Wendepunkt. Diese frühen Computer nutzten Binärzahlen zur Datenverarbeitung und -speicherung und etablierten das binäre System als integralen Bestandteil der Computertechnologie.

Ein weiterer Meilenstein in der Geschichte der Binärzahlen war der Atanasoff-Berry-Computer (ABC), der Ende der 1930er Jahre von John Atanasoff und Clifford Berry entwickelt wurde. Der ABC war einer der ersten elektronischen Computer, der Binärziffern zur Berechnung nutzte, obwohl er nicht ein voll funktionsfähiger digitaler Computer im modernen Sinne war.

Mit der raschen Erweiterung des Computings wurde die Nutzung von Binärzahlen allgegenwärtig in der digitalen Technologie. Heute sind Binärzahlen die grundlegenden Bausteine digitaler Systeme, von den einfachsten Taschenrechnern bis zu den komplexesten Supercomputern. Sie sind integral in verschiedenen Anwendungen, einschließlich der Datenkodierung, Telekommunikation und digitalen Signalverarbeitung.

Die Reise von Leibniz' frühen theoretischen Arbeiten bis zur weit verbreiteten praktischen Anwendung von Binärzahlen in der modernen Technologie ist ein Zeugnis für die anhaltende Wirkung dieses einfachen, aber leistungsstarken Zahlensystems. Das Binärsystem, mit seiner Fähigkeit, komplexe Daten und Anweisungen mit nur zwei Symbolen darzustellen, bleibt weiterhin ein Eckpfeiler der digitalen Technologie und prägt die Art und Weise, wie wir rechnen, kommunizieren und mit der digitalen Welt interagieren.

Anwendungen aus dem wirklichen Leben

Binäre Zahlen werden nicht nur in Informatik und Technik, sondern auch in vielen anderen Bereichen menschlicher Tätigkeit verwendet.

Der Speicher eines Computers besteht aus Transistoren, die sich entweder im Zustand "an" oder "aus" befinden. In einem binären System wird "an" durch die Zahl 1 und "aus" durch die Zahl 0 dargestellt. Dies ermöglicht die Speicherung von Daten im Binärcode, wobei jeder "Ein"- oder "Aus"-Zustand eine 1 oder 0 in einer Folge von Binärziffern darstellt. Eine Folge von acht Binärziffern, z. B. "01101001", könnte im ASCII-Code des Computers den Buchstaben "i" darstellen.

Jedes Pixel in einem digitalen Bild kann durch eine binäre Zahlenkombination dargestellt werden, die die Intensität einer bestimmten Farbe (rot, grün, blau) repräsentiert. Im RGB-Farbmodell kann die Farbe Weiß durch den Binärwert "111" (7 in Dezimalzahlen) dargestellt werden, was bedeutet, dass alle drei Farbkanäle (Rot, Grün und Blau) ihre maximale Intensität erreicht haben. Analog dazu kann die Farbe Schwarz durch den Binärwert "000" (0 dezimal) dargestellt werden, was bedeutet, dass alle drei Farbkanäle ihre minimale Intensität haben.

Im Bereich der digitalen Kommunikation können Daten über einen Kanal übertragen werden, indem jedes Zeichen einer Nachricht auf binäre Zahlen abgebildet und dann als Bitstrom gesendet wird. Der Empfänger kann die Bits dann wieder in die ursprüngliche Nachricht umwandeln.

Digitale Geräte wie Computer, Smartphones und Fernseher verwenden Binärcodes, um Daten darzustellen und Berechnungen durchzuführen. Dadurch können sie große Informationsmengen effizient verarbeiten und speichern.

Binäre Zahlen werden in der Telekommunikation verwendet. Der Binärcode ermöglicht die Übertragung von Daten über große Entfernungen über Telefonleitungen, Kabel und Satelliten. Dies ermöglicht eine schnellere und effizientere Kommunikation, so dass wir auf der ganzen Welt in Kontakt bleiben können.

Binäre Zahlen steuern automatisierte Maschinen wie Roboter und CNC-Maschinen in der Produktion. Diese Maschinen verwenden Binärcodes, um Anweisungen zu interpretieren, damit sie präzise Aufgaben wie Bohren, Schneiden und Schweißen ausführen können.

Binäre Zahlen werden auch in der Medizin verwendet. Medizinische Geräte wie Computertomographen, Kernspintomographen und Röntgengeräte verwenden Binärcodes, um medizinische Bilder zu verarbeiten und zu analysieren.

Binäre Zahlen werden auch im Transportwesen verwendet. Moderne Autos verwenden Binärcodes, um verschiedene Funktionen wie Motormanagement, Klimaanlage und Navigation zu steuern.

Das Konzept der Binärzahlen, das erstmals von Leibniz eingeführt wurde, ist aus unserem täglichen Leben nicht mehr wegzudenken. Heute ist die Verwendung von Binärzahlen für das Funktionieren der modernen Technik unerlässlich und spielt auch weiterhin eine wichtige Rolle bei der Entwicklung neuer Technologien.