Bruchrechner für die Vereinfachung von Brüchen

Mit dem Rechner für die Vereinfachung von Brüchen können Sie schnell richtige und unechte Brüche vereinfachen. Die Ausgabe des Rechners wird entweder durch eine gemischte Zahl oder durch einen echten Bruch in seiner einfachsten Form dargestellt.

Bedienungsanleitung

• Um einen Bruch mit diesem Bruchvereinfacher zu reduzieren, geben Sie einfach den Zähler und den Nenner des gegebenen Bruchs ein und drücken Sie "Calculate" (Berechnen).
• Wenn der eingegebene Bruch richtig ist, gibt der Rechner die einfachste Form des Bruchs als Antwort zurück.
• Wenn der eingegebene Bruch nicht korrekt ist, wird eine gemischte Zahl in ihrer einfachsten Form als Antwort zurückgegeben. Der Rechner zeigt auch die detaillierte Lösung an.

Definitionen

Bruch

Ein Bruch ist definiert als ein Teil oder ein Anteil eines Ganzen. Das Ganze kann durch eine beliebige Zahl, einen Wert oder sogar ein Objekt dargestellt werden. Wenn zum Beispiel "das Ganze" durch eine ganze Torte dargestellt wird, dann werden beim Zerschneiden dieser Torte in 6 Stücke 6 Brüche erzeugt, wobei jedes Stück ein Sechstel oder \$\frac{1}{6}\$ der ganzen Torte darstellt.

Jeder Bruch besteht aus zwei Teilen - dem Zähler und dem Nenner, die durch eine horizontale Linie, den sogenannten Bruchstrich, getrennt sind. Der Nenner steht unter dem Bruchstrich und beschreibt die Anzahl der Teile, in die das Ganze geteilt wurde. In dem oben beschriebenen Bruch ist der Nenner 6, und die Torte wurde in 6 Stücke geschnitten. Der Zähler steht oberhalb des Bruchstrichs und beschreibt die Anzahl der Teile, die uns interessieren. In dem obigen Beispiel war der Zähler 1, da es sich um 1 der 6 Stücke handelte. Wenn wir 2 Teile nehmen wollten, wäre der resultierende Bruch \$\frac{2}{6}\$.

Brüche können auch mit Hilfe einer diagonalen Linie geschrieben werden. Zum Beispiel beschreiben 1/3 und \$\frac{1}{3}\$ denselben Bruch.

Richtige und unrichtige Brüche

Ein Bruch wird als richtig bezeichnet, wenn sein Nenner größer ist als sein Zähler.

\$\frac{1}{3}\$, \$\frac{2}{50}\$, \$\frac{56}{125}\$ sind Beispiele für richtige Brüche.

Ebenso wird ein Bruch als unechter Bruch bezeichnet, wenn sein Zähler größer ist als sein Nenner. Zum Beispiel sind \$\frac{33}{15}\$, \$\frac{17}{8}\$, \$\frac{3}{2}\$ allesamt unzulässige Brüche.

Jeder unechter Bruch kann als gemischte Zahl geschrieben werden - eine Zahl, die aus einer ganzen Zahl und einem richtigen Bruch besteht, zum Beispiel \$5 \frac{1}{3}\$, \$12 \frac{132}{256}\$.

Einfachste Form eines Bruchs

Ein Bruch liegt in seiner einfachsten Form vor, wenn Zähler und Nenner außer 1 keine gemeinsamen Faktoren haben. \$\frac{1}{3}\$ ist zum Beispiel ein Bruch in seiner einfachsten Form, \$\frac{4}{6}\$ jedoch nicht. 4 und 6 haben einen weiteren gemeinsamen Faktor - 2. Daher ist dieser Bruch nicht in seiner einfachsten Form geschrieben worden.

Berechnungsalgorithmen

Vereinfachen eines echten Bruchs

Um einen Bruch zu vereinfachen, führen Sie die folgenden Schritte aus:

• Ermitteln Sie den größten gemeinsamen Faktor (GCF) des Zählers und des Nenners des Bruchs.
• Teilen Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner des Bruchs durch den GCF.
• Der resultierende Bruch hat die einfachste Form.

Lassen Sie uns zum Beispiel den folgenden Bruch vereinfachen: \$\frac{70}{236}\$.

• Alle Faktoren von 70 sind: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70.
• Alle Faktoren von 236 sind: 1, 2, 4, 59, 118, 236.

Der größte gemeinsame Faktor von 70 und 236 ist: 2.

• \$\frac{70}{2} = 35\$
• \$\frac{236}{2} = 118\$
• \$\frac{70}{236} = \frac{35}{118}\$

Antwort: \$\frac{70}{236} = \frac{35}{118}\$

Umwandlung eines unechter Bruchs in eine gemischte Zahl

Um einen falschen Bruch in eine gemischte Zahl umzuwandeln, führen Sie die folgenden Schritte aus:

• Prüfen Sie, ob der Bruch vereinfacht werden kann, indem Sie feststellen, ob es gemeinsame Faktoren gibt. Wenn ja, vereinfachen Sie den Bruch, indem Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner durch den GCF teilen.
• Um den ganzzahligen Anteil der endgültigen gemischten Zahl zu ermitteln, dividieren Sie den Zähler durch den Nenner und schreiben Sie nur den ganzzahligen Anteil des Divisionsergebnisses auf.
• Schreiben Sie den richtigen Bruchteil der gemischten Zahl auf, indem Sie den Rest der Division aus Schritt 2 als Zähler und Nenner des ursprünglichen (vereinfachten) Bruchs verwenden.

Vereinfachen wir zum Beispiel den Kehrwert des vorherigen Bruchs: \$\frac{236}{70}\$.

Zunächst vereinfachen wir den gegebenen Bruch, indem wir den Zähler und den Nenner durch den GCF dividieren.

• Alle Faktoren von 236 sind: 1, 2, 4, 59, 118, 236.
• Alle Faktoren von 70 sind: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70.

Der größte gemeinsame Faktor von 70 und 236 ist: 2.

• \$\frac{236}{2} = 118\$
• \$\frac{70}{2} = 35\$
• \$\frac{236}{70} = \frac{118}{35}\$

Dividieren wir nun den Zähler des resultierenden Bruchs durch den Nenner des resultierenden Bruchs und schreiben wir die ganze Zahl der Division auf:

$$\frac{118}{35} = 3 + Rest\ von\ 13$$

Der eigentliche Bruchteil der gemischten Zahl hat den Rest der Division als Zähler, der Zähler ist also 13. Der Nenner ist derselbe wie der des ursprünglichen Bruchs, also ist der Nenner 35.

Die resultierende gemischte Zahl ist \$3\frac{13}{35}\$.

Antwort: \$\frac{236}{70} = 3\frac{13}{35}\$

Berechnungsbeispiel

Brüche werden häufig in Rezepten verwendet, und sehr oft müssen Sie falsche Brüche in gemischte Zahlen umwandeln, wenn Sie ein Rezept an eine größere Anzahl von Personen anpassen möchten.

Stellen Sie sich vor, Sie möchten ein paar Muffins für eine Party backen. Im Rezept steht, dass die angegebenen Zutaten für 4 Personen ausreichen. Sie haben jedoch 12 Gäste eingeladen. Wenn im Rezept steht, dass Sie \$\frac{3}{4}\$ Tassen Mehl für die Muffins für 4 Personen benötigen, wie viel Mehl brauchen Sie dann, um das Rezept für 12 Gäste anzupassen?

Lösung

Um die Mehlmenge anzupassen, müssen Sie die angegebene Menge \$\frac{3}{4}\$ mit 3 multiplizieren, denn \$\frac{12}{4}\$ = 3, und Sie benötigen die 3-fache Menge Mehl:

$$\frac{3}{4} × 3 = \frac{9}{4}$$

Um herauszufinden, wie viele Tassen Mehl Sie benötigen, müssen Sie den unregelmäßigen Bruch \$\frac{9}{4}\$ in eine gemischte Zahl umwandeln. Folgen wir den oben beschriebenen Schritten.

Prüfen Sie, ob sich der Bruch vereinfachen lässt.

• Die Faktoren von 9 sind: 1, 3, 9.
• Die Faktoren von 4 sind: 1, 2, 4.

Der größte gemeinsame Faktor ist 1, daher kann dieser Bruch nicht vereinfacht werden.

Um den ganzzahligen Anteil der gemischten Zahl zu ermitteln, dividieren Sie den Zähler durch den Nenner:

$$\frac{9}{4} = 2 + Rest\ von\ 1$$

Der eigentliche Bruchteil der gemischten Zahl hat den Rest der Division aus Schritt 2 im Zähler, der Zähler ist also 1. Der Nenner ist derselbe wie im ursprünglichen Bruch, der Nenner ist also 4.

Die resultierende gemischte Zahl ist \$2\frac{1}{4}\$.

Antwort

Um das Rezept für 12 Personen anzupassen, müssen Sie die Zutaten verdreifachen.

$$\frac{3}{4} × 3 = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$$

Sie benötigen 2 und eine Viertel Tasse Mehl.