Dezimal-zu-Bruch-Rechner

Dezimal-zu-Bruch-Rechner

Der Rechner Dezimal in Bruch ist ein einfach zu bedienendes Online-Tool, das Dezimalzahlen in richtige Brüche oder gemischte Zahlen umwandelt. Der Rechner nimmt abschließende oder wiederkehrende Dezimalzahlen als Eingaben entgegen und gibt die Antwort in Form eines richtigen Bruchs oder einer gemischten Zahl zurück.

Anleitung zur Verwendung des Bruchrechners

Um den Rechner zu benutzen, geben Sie die angegebene Zahl in Dezimalform ein. Geben Sie dann die Anzahl der sich wiederholenden Dezimalstellen ein (siehe Erklärung unten) und drücken Sie "Calculate"(Berechnen).

So geben Sie die Anzahl der sich wiederholenden Nachkommastellen ein

Wiederholende oder wiederkehrende Nachkommastellen sind die Ziffern nach dem Dezimalzeichen, die sich in einer Zahl unendlich oft wiederholen.

Nehmen wir zum Beispiel an, Sie müssen eine sich wiederholende Dezimalstelle \$0,333\ldots=0,\bar{3}\$ eingeben. In diesem Fall sollten Sie zunächst 0,3 in das Feld "Geben Sie eine Dezimalzahl ein" eingeben. Dann geben Sie 1 in das zweite Eingabefeld ein, da diese Zahl nur eine Nachkommastelle hat - 3. (Die Antwort wird \$\frac{1}{3}\$ sein.)

Wenn Sie eine wiederkehrende Dezimalzahl eingeben müssen, wie z.B. \$0,454545\ldots=0,\bar{45}\$, geben Sie zunächst 0,45 in das Feld "Dezimalzahl eingeben" ein. Geben Sie dann 2 in das zweite Eingabefeld ein, da diese Zahl zwei Nachkommastellen hat - 45. (Die Antwort lautet dann \$\frac{5}{11}\$.)

Wenn Sie eine Dezimalzahl eingeben müssen, z.B. \$2,83333333\ldots=2,8\bar{3}\$, geben Sie zunächst 2,83 in das Feld "Dezimalzahl eingeben" ein. Geben Sie dann 1 in das zweite Eingabefeld ein, da diese Zahl nur eine Nachkommastelle hat - 3. (Die Antwort lautet \$2\frac{5}{6}\$.)

Für eine Dezimalzahl wie \$0,285714285714\ldots=0,\bar{285714}\$ geben Sie zunächst 0,285714 in das Feld "Geben Sie eine Dezimalzahl ein" ein. Dann geben Sie in das zweite Eingabefeld 6 ein, da diese Zahl sechs Nachkommastellen hat - 285714. (Die Antwort lautet dann \$\frac{2}{7}\$.)

Der Rechner akzeptiert sowohl positive als auch negative Dezimalzahlen als Eingaben.

Nachdem Sie die Dezimalzahl und die Anzahl der Nachkommastellen eingegeben haben, führt der Rechner die Umwandlung in einen Bruch oder eine gemischte Zahl durch und zeigt die Antwort sowie eine ausführliche Erklärung der Lösung an.

Wichtige Definitionen

Dezimalzahlen

Dezimalzahlen lassen sich in zwei große Gruppen unterteilen: endliche und nicht endliche Dezimalzahlen. Die Dezimalzahlen mit einer endlichen Anzahl von Nachkommastellen sind terminierend, da sie an einem bestimmten Punkt enden oder aufhören. Im Gegensatz dazu werden Dezimalzahlen mit einer unendlichen Anzahl von Nachkommastellen als nicht-terminierend bezeichnet. Diese nicht-terminierenden Zahlen lassen sich in zwei Gruppen einteilen: wiederkehrende und nicht-terminierende Zahlen. Wenn sich einige Ziffern nach dem Komma unendlich oft wiederholen, nennt man diese Zahl eine wiederkehrende Dezimalzahl. Beispiele für solche Dezimalzahlen sind:

$$16,3333333\ldots=16,\bar{3}$$

oder

$$3,961961961\ldots=3,\bar{9}61$$

Nicht endende Dezimalzahlen, bei denen jede Stelle nach dem Komma anders ist, werden als nicht endende Dezimalzahlen bezeichnet. Solche Zahlen können Sie niemals vollständig ausschreiben. Daher ist es unmöglich, sie als Eingabe für die Umwandlung von Dezimalzahlen in Brüche zu verwenden. Ein Beispiel für eine nicht wiederkehrende Dezimalzahl ist:

$$6,7102984637\ldots$$

Brüche und gemischte Zahlen

Dieser Dezimal-zu-Bruch-Konverter schreibt die angegebene Dezimalzahl in die Form von Brüchen oder gemischten Zahlen um. In der Bruchform verwendet der Rechner immer den richtigen Bruch - den Bruch, der eine Zahl kleiner als 1 darstellt - was bedeutet, dass der Zähler kleiner als der Nenner ist. Beispiele für richtige Brüche sind:

$$\frac{4}{9}\ oder \ \frac{3}{7}$$

Wir bezeichnen einen Bruch als unechter Bruch, wenn er eine Zahl größer oder gleich 1 darstellt, was bedeutet, dass der Zähler größer oder gleich dem Nenner ist. Beispiele für unechtere Brüche sind:

$$\frac{11}{7}\ oder \ \frac{13}{2}$$

Wenn eine Zahl aus einer ganzen Zahl und einem richtigen Bruch besteht, nennt man sie eine gemischte Zahl. Beispiele für gemischte Zahlen sind:

$$3\frac{3}{5}\ oder \ 6\frac{17}{31}$$

Der Rechner antwortet entweder mit einem richtigen Bruch oder einer gemischten Zahl.

Umrechnung von Dezimalzahlen in Brüche

Um eine Dezimalzahl in einen Bruch oder eine gemischte Zahl umzuwandeln, sollten Sie die folgenden Schritte befolgen.

Jede Dezimalzahl x kann als Bruch mit 1 im Nenner \$\frac{x}{1}\$ dargestellt werden. Schreiben Sie in einem ersten Schritt die angegebene Zahl als Bruch um, wobei die Zahl selbst im Zähler und 1 im Nenner steht.

Zählen Sie dann die Anzahl der Nachkommastellen und multiplizieren Sie den Zähler und den Nenner mit 10 in einer entsprechenden Potenz. Wenn Ihre Zahl n Nachkommastellen hat, müssen der Zähler und der Nenner des Bruchs mit \${10}^n\$ multipliziert werden.

Ermitteln Sie den größten gemeinsamen Faktor (GCF) des Zählers und den Nenner des resultierenden Bruchs. Verringern Sie den Bruch, indem Sie den Zähler und den Nenner durch den GCF dividieren.

Wenn Sie nach der Vereinfachung einen unechten Bruch haben, wandeln Sie ihn in eine gemischte Zahl um.

Rechenbeispiel (abschließende Dezimalzahlen)

Wandeln wir die Dezimalzahl 0,125 in einen Bruch um. Wenn wir die obigen Schritte befolgen, erhalten wir:

Stellen Sie die Zahl als einen Bruch mit 1 im Nenner dar:

$$0,125=\frac{0,125}{1}$$

Diese Zahl hat 3 Ziffern nach dem Komma: 125. Daher müssen wir sowohl den Zähler als auch den Nenner mit \${10}^3\$ multiplizieren:

$$\frac{0,125}{1}×\frac{1000}{1000}=\frac{125}{1000}$$

Der größte gemeinsame Faktor des Zählers und des Nenners ist 125. Um diesen Bruch zu vereinfachen, müssen wir also sowohl den Zähler als auch den Nenner durch 125 dividieren:

$$\frac{125\div125}{1000\div125}=\frac{1}{8}$$

Dies ist bereits ein richtiger Bruch. Daher ist keine weitere Vereinfachung erforderlich.

Antwort: \$0,125=\frac{1}{8}\$

Umwandlung von Dezimalzahlen in Brüche (wiederkehrende Dezimalzahlen)

Um eine wiederkehrende Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, sollten Sie die folgenden Schritte befolgen.

Schreiben Sie eine Gleichung, in der die Variable (z.B. x) gleich der Dezimalzahl ist, wobei die wiederkehrenden Ziffern nur einmal enthalten sind. Wenn Sie zum Beispiel eine Dezimalzahl \$5,61111\ldots=5,6\bar{1}\$ haben, sollte die Gleichung wie folgt aussehen:

$$x=5,6\bar{1}$$

Bestimmen Sie die Anzahl der Ziffern in der sich wiederholenden Dezimalgruppe n und multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \${10}^n\$. In unserem Fall gibt es nur eine sich wiederholende Ziffer: 1. Daher müssen beide Seiten der Gleichung mit \${10}^1=10\$ multipliziert werden:

$$10x=56,1\bar{1}$$

Ziehen Sie die erste Gleichung von der zweiten Gleichung ab. In unserem Beispiel erhalten wir:

$$10x=56,1\bar{1}$$

$$x=5,6\bar{1}$$

$$9x=50,5$$

Lösen wir x, erhalten wir:

$$x=\frac{50,5}{9}$$

Um Nachkommastellen zu eliminieren, multiplizieren Sie den Zähler und den Nenner der Zahl mit 10 hoch n, wobei n die Anzahl der Stellen nach dem Komma ist. In unserem Fall gibt es nur eine Stelle nach dem Komma - 5. Daher müssen wir mit 10 multiplizieren:

$$\frac{50,5}{9}×\frac{10}{10}=\frac{505}{90}$$

Ermitteln Sie den größten gemeinsamen Faktor (GCF) des Zählers und den Nenner des resultierenden Bruchs. Verringern Sie den Bruch, indem Sie den Zähler und den Nenner durch den GCF dividieren. In unserem Fall ist der GCF also 5:

$$\frac{505\div5}{90\div5}=\frac{101}{18}$$

Vereinfachen Sie den unechteren Bruch:

$$\frac{101}{18}=5\frac{11}{18}$$

Daraus folgt: \$5,6\bar{1}=5\frac{11}{18}\$.