Kubikwurzel-Rechner

Mit diesem Rechner können Sie alle Kubikwurzeln der angegebenen Zahl finden. Er findet sowohl reale als auch imaginäre Wurzeln.

Gebrauchsanweisung

Um die Kubikwurzel einer Zahl zu ermitteln, geben Sie diese Zahl in das Eingabefeld ein und drücken Sie auf "Berechnen". Der Rechner zeigt die Antwort in zwei Teilen an: die "Hauptwurzel (real)" und "alle Wurzeln", wobei "alle Wurzeln" die Hauptwurzel und die imaginären Wurzeln umfassen.

Der Taschenrechner akzeptiert positive und negative ganze Zahlen als Eingaben. Brüche und imaginäre Zahlen werden nicht akzeptiert. Beachten Sie, dass der Kubikwurzelrechner bei der Eingabe eines Bruchs oder einer imaginären Zahl automatisch alles ignoriert, was auf das erste Nicht-Zahlensymbol folgt. Wenn Sie zum Beispiel 8/15 eingeben, berechnet der Rechner die Kubikwurzel aus 8; wenn Sie 5 + 3i eingeben, wird die Kubikwurzel aus 5 berechnet.

Definition der Würfelwurzel

Die Kubikwurzel einer Zahl ist definiert als die Zahl, die dreimal multipliziert werden muss, um die ursprüngliche Zahl zu erhalten. Die Kubikwurzel von x wird üblicherweise als ∛x bezeichnet. Gemäß der Definition ist y die Kubikwurzel aus x:

$$y=\sqrt[3]{x}$$

wenn

$$y \times y \times y = x$$

Das Ziehen der Kubikwurzel aus einer Zahl ∛x ist gleichbedeutend mit dem Erhöhen dieser Zahl auf eine Potenz von 1/3:

$$\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$$

Die Kubikwurzeloperation ist die Umkehrung der Würfeloperation. Um die Kubikwurzel einer Zahl zu finden, muss diese Zahl 3 Mal multipliziert werden:

$$y^3 = y \times y \times y = x$$

Und andersherum,

$$\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{y×y×y}=y$$

Perfekte Würfel

Ein perfekter Würfel ist eine Zahl, deren Kubikwurzel eine ganze Zahl ist. Zum Beispiel ist 8 ein perfekter Würfel, da:

$$\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2×2×2}=2$$

Da ganze Zahlen sowohl positiv als auch negativ sein können, können perfekte Würfel sowohl positiv als auch negativ sein. Zum Beispiel ist -8 ein perfekter Würfel, da:

$$\sqrt[3]{-8}=\sqrt[3]{-2×-2×-2}=-2$$

0 ist ebenfalls eine ganze Zahl und

$$\sqrt[3]{0}=\sqrt[3]{0×0×0}=0$$

Daher ist 0 auch ein perfekter Würfel.

Andererseits ist 4 kein perfekter Würfel, da die reale Kubikwurzel aus 4:

∛4 ≈ 1,58740105

die keine ganze Zahl ist.

Eigenschaften der Würfelwurzel

Eine Kubikwurzel aus einer negativen Zahl ist definiert als das Negativ der Kubikwurzel aus einer positiven Zahl, d.h.,

$$\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}$$

Zum Beispiel,

$$\sqrt[3]{-27}=-\sqrt[3]{27}=-3$$

Multiplikationseigenschaft von Kubikwurzeln:

$$\sqrt[3]{x}×\sqrt[3]{y} =\sqrt[3]{x×y}$$

Wie man die Kubikwurzel berechnet

Berechnung der reellen Kubikwurzel eines perfekten Würfels

Um die Kubikwurzel einer Zahl zu finden, verwenden Sie die Methode der Primfaktorzerlegung:

1. Finde die Primfaktoren der Zahl.
2. Unterteilen Sie die Primfaktoren in Gruppen mit drei gleichen Faktoren.
3. Nimm einen Faktor aus jeder der Gruppen und multipliziere sie, um die endgültige Antwort zu erhalten.

Wir wollen zum Beispiel alle reellen Kubikwurzeln von 3375, ∛3375, finden:

1. Sucht man die Primfaktoren von 3375, so ergibt sich 3375 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5.
2. Teilt man sie in Gruppen von drei gleichen Faktoren, erhält man 3375 = (3 × 3 × 3) × ( 5 × 5 × 5).
3. Nimmt man schließlich einen Faktor aus jeder Gruppe und multipliziert sie, erhält man 3 × 5 = 15.

Daher ist ∛3375 = 15.

Wenn die Primfaktoren einer Zahl keine Dreiergruppen bilden, ist die Zahl kein perfekter Würfel, und wir können diese Methode nicht verwenden, um die Kubikwurzel zu finden.

Berechnung der reellen Kubikwurzel aus einer Zahl größer als -1 und kleiner als 1 (außer 0)

Wenn die gegebene Zahl größer als -1 und kleiner als 1 ist, kann es sich nicht um einen perfekten Würfel handeln, da ein perfekter Würfel per Definition eine Zahl ist, deren Kubikwurzel eine ganze Zahl ist. Jede Zahl y aus dem Intervall -1 < y < 1, die nicht 0 ist, kann kein perfekter Würfel sein. Manchmal kann es jedoch relativ einfach sein, die reelle Kubikwurzel einer solchen Zahl zu finden.

Wir wollen zum Beispiel alle reellen Kubikwurzeln von -0,000125 finden. Diese Zahl ist keine ganze Zahl. Daher können wir die oben beschriebene Methode der Primfaktorzerlegung nicht anwenden.

Aber wir können leicht feststellen, dass -0,000125 = -125 × 10-⁶. Daher,

$$\sqrt[3]{-0,000125}=\sqrt[3]{(-125)×10⁻⁶}$$

Wendet man die Multiplikationseigenschaft der Kubikwurzel an, erhält man:

$$\sqrt[3]{-0,000125}=\sqrt[3]{(-125)×10⁻⁶}=\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}$$

Schreibt man die Kubikwurzel der negativen Zahl als das Negativ der Kubikwurzel der positiven Zahl um, erhält man:

$$\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}=-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}$$

Es ist leicht zu erkennen, dass 125 = 5 × 5 × 5 und 10-⁶ = 10-² × 10-² × 10-². Daher,

$$\sqrt[3]{(125)}=\sqrt[3]{(5×5×5)}=5$$

und

$$\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=\sqrt[3]{(10⁻²)×(10⁻²)×(10⁻²)=10⁻²}$$

Schließlich erhalten wir:

$$\sqrt[3]{(-0,000125)}=\sqrt[3]{((-125) × 10⁻⁶)}=\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}$$

$$\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}$$

$$-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=-\sqrt[3]{(5×5×5)}×\sqrt[3]{(10⁻²)×(10⁻²)×(10⁻²)}=(-5)×10⁻²=-0,05$$

Beispiele aus dem wirklichen Leben

Würfelwurzeln werden im wirklichen Leben verwendet, um die Seitenlänge eines beliebigen kubischen Objekts zu bestimmen. Wenn man zum Beispiel das Volumen einer Schachtel kennt und wissen will, wie hoch sie ist, muss man prüfen, ob sie irgendwo hineinpasst. Oder wenn Sie die Menge an Farbe schätzen müssen, die Sie benötigen, um die Wände eines kubischen Raums zu streichen. Oder wenn man die Anzahl der Fliesen zählen will, muss man den Boden eines kubischen Raums mit bekanntem Volumen bedecken.

Das Kubikvolumen von Holz

Stellen Sie sich vor, Sie bauen ein Haus und finden eine Anzeige, in der 64 Kubikmeter Holz zum Verkauf angeboten werden. Welche Abmessungen hätte dieses Holzvolumen in Länge, Breite und Höhe?

Um diese Aufgabe zu lösen, müssen Sie die Kubikwurzel aus 64 finden. Die Länge der Seite des imaginären Würfels, mit der man dieses Volumen beschreiben kann, wäre ∛64 = 4. Ausgehend von den ursprünglichen Daten über das kubische Volumen von Holz haben wir also eine andere Vorstellung von der Größe eines solchen Volumens.