Mathematischer Gleichungslöser

Dieser Solver kann als Operationsreihenfolge- oder PEMDAS-Rechner verwendet werden. Er löst mathematische Probleme nach dem PEMDAS-Algorithmus, wobei die Operationen wie folgt priorisiert werden:

• Parenthesen, Klammern, Gruppierungen
• Exponenten, Wurzeln
• Multiplikation, Division
• Addition, Subtraktion

Gebrauchsanweisung

Um diesen PEMDAS-Löser zu verwenden, geben Sie die gegebene Gleichung unter Verwendung der folgenden Symbole ein:

• "+" Zusatz
• "-" Subtraktion
• "*" Multiplikation
• "/" Abteilung
• "^" hoch (z. B. 12^2 bedeutet 12 hoch 2: 12² = 144. 49^(1/2) bedeutet 49 hoch 1/2: 49¹/² = 7).
• "root"(x[n])
• Sie können (), {}, [] für Klammern und Gruppierungen verwenden.

Kopieren von Gleichungen aus anderen Quellen

Sie können Gleichungen aus anderen Quellen in diesen Gleichungsrechner kopieren und einfügen. Der Rechner funktioniert in der Regel auch dann, wenn in der Quelldatei andere Symbole für Operationen verwendet werden, z. B. × statt * oder ÷ statt /. In einigen Fällen müssen Sie jedoch die unterschiedlichen Symbole durch die von diesem Rechner erkannten ersetzen.

Arbeiten mit Brüchen

Dieser Rechner funktioniert auch mit Brüchen. Verwenden Sie die Bruchleiste /, um einen Bruch einzugeben, und schließen Sie den angegebenen Bruch in Klammern ein. Andernfalls wird die Bruchteilung gemäß der PEMDAS-Operationsreihenfolge durchgeführt. Geben Sie zum Beispiel 25^(1/2) ein, um 25 hoch 1/2 zu erhalten: 25^(1/2) = 5. Wenn Sie 25^1/2 eingeben, erhalten Sie 12,5 als Antwort, da der Rechner 25^1/2 als (25^1)/2 = 25/2 = 12,5 interpretiert, entsprechend der PEMDAS-Reihenfolge.

PEMDAS-Operationsreihenfolge

Wenn in einem mathematischen Ausdruck nur eine Operation vorkommt, ist die Antwort normalerweise klar. Zum Beispiel: 12 + 4 = 16.

Aber was macht man mit einem Ausdruck wie diesem? 3 × 4 - 4? Welche Operation sollte man zuerst durchführen? Wenn du zuerst die Multiplikation durchführst, erhältst du 3 × 4 - 4 = 12 - 4 = 8. Wenn du aber zuerst die Subtraktion durchführst, erhältst du eine andere Antwort: 3 × 4 - 4 = 3 × 0 = 0.

Um dieses Problem zu lösen, weisen Mathematiker allen Operationen Prioritäten zu und führen sie IMMER in einer bestimmten Reihenfolge durch. Diese Reihenfolge wird durch das Akronym PEMDAS beschrieben, wobei P für Klammern (oder Klammern, oder Gruppierung) steht, E - bedeutet Exponenten (und Wurzeln), M - bedeutet Multiplikation, D - Division, A - Addition, S - Subtraktion.

Beachten Sie, dass verschiedene Länder unterschiedliche Akronyme verwenden, die jedoch alle dieselbe Reihenfolge der Operationen beschreiben. Zum Beispiel steht BEDMAS für Klammern, Exponenten, Division, Multiplikation, Addition, Subtraktion; GEMDAS ist ein Akronym für Gruppierung, Exponenten, Multiplikation, Division, Addition, Subtraktion; BODMAS bedeutet Klammern, Ordnung, Division, Multiplikation, Addition, Subtraktion.

Die Reihenfolge der Multiplikation und Division

Im PEMDAS-Algorithmus sind Multiplikation und Division gleichwertige Prioritätsoperationen, d. h. sie werden einfach von links nach rechts ausgeführt (es sei denn, eine der beiden Operationen steht in Klammern). Bei dem Ausdruck 12 / 2 × 3 führen Sie beispielsweise zuerst die Division 12 / 2 durch, um 6 zu erhalten, und multiplizieren dann 6 mit 3, um 18 zu erhalten.

Deshalb steht in einigen Akronymen M - Multiplikation vor D - Division (PEMDAS), während in anderen das D vor dem M steht (BODMAS).

Die Reihenfolge von Addition und Subtraktion

Addition und Subtraktion haben ebenfalls die gleiche Priorität. Diese Operationen werden ausgeführt, sobald sie im Ausdruck vorkommen, und zwar von links nach rechts. In dem Ausdruck 10 - 7 + 3 müssen Sie zum Beispiel zuerst die Subtraktion 10 - 7 = 3 und dann die Addition 3 + 3 = 6 ausführen. 10 - 7 + 3 = 6.

Die Reihenfolge von Wurzeln und Exponenten

Wie oben beschrieben, werden die Operationen der Multiplikation und Division sowie die Addition und Subtraktion von links nach rechts durchgeführt. Diese Operationen werden als links-assoziativ bezeichnet. Wurzeln und Exponenten hingegen sind rechts-assoziativ, das heißt, sie werden von rechts nach links ausgeführt.

Lösen wir zum Beispiel den folgenden Ausdruck: 2^3^1^2 oder \$2^{3^{1^{2}}}\$.

Der Exponent ist eine rechts-assoziative Operation, so dass wir die Lösung auf der rechten Seite beginnen.

Wir berechnen zuerst 1^2=1, dann 3^1=3 und schließlich 2^3=8. Diese Reihenfolge wird manchmal als "von oben nach unten" bezeichnet, da man mit dem obersten Exponenten beginnt und sich dann "nach unten" vorarbeitet.

Der Ausdruck kann wie folgt umgeschrieben werden:

2^3^1^2 = 2^(3^(1^2) = 2^(3^1) = 2^3 = 8

$$2^{3^{1^{2}}} = 2^{3^{1}} = 2^{3} = 8$$

Mehrere Klammern

Wenn ein Ausdruck mehrere Klammern enthält, beginnt die Lösung mit der innersten Klammer und geht dann zu den äußeren Klammern über. Wenn der Ausdruck innerhalb der Klammern mehrere Operationen enthält, werden diese trotzdem in der PEMDAS-Reihenfolge ausgeführt.

Beispiel aus dem wirklichen Leben

Auf den ersten Blick scheint die Reihenfolge der Operationen ein rein mathematisches Konzept zu sein. Wir verwenden sie jedoch sehr oft im täglichen Leben, ohne es zu merken! Stellen Sie sich zum Beispiel vor, Sie bestellen mit einer Gruppe von Freunden eine Pizza. Nehmen wir an, Sie bestellen eine Pizza Margherita für 15 $, eine Pizza quattro formaggi für 16,50 $ und eine neapolitanische Pizza für 14,50 $. Ihr seid eine Gruppe von 8 Personen, und ihr müsst berechnen, wie viel jeder von euch zahlen muss. Dazu müssen Sie im Wesentlichen den folgenden Ausdruck mit dem PEMDAS-Algorithmus lösen:

(15 + 16,50 + 14,50)/8 = (31,50 + 14,50)/8 = (46)/8 = 46/8 = 5,75

Jeder von Ihnen muss 5,75 $ bezahlen.

Erinnerung an das Akronym

Viele Phrasen werden verwendet, um sich an das Akronym PEMDAS zu erinnern, die häufigste davon ist "Please Excuse My Dear Aunt Sally". Nimmt man den ersten Buchstaben jedes der Wörter, erhält man PEMDAS. Verwenden Sie diesen Satz oder denken Sie sich einen eigenen aus, z. B. "Purple Elves Make Dull Affordable Sausages!"