Modulo-Rechner

Die Modulo-Operation ist eine Methode, um den Rest der Divisionsoperation zu ermitteln. Die Besonderheit der Modulo-Operation ist, dass sie den Rest als ganze Zahl zurückgibt.

Stellen Sie sich vor, Sie haben drei Kinder. Sie kaufen eine Schachtel mit Süßigkeiten, die 20 von ihnen enthält. Sie möchten alle Bonbons gleichmäßig und gerecht unter Ihren Kindern aufteilen. Und die übrig gebliebenen Bonbons selbst essen, ohne sie zerschneiden oder zerbrechen zu müssen. Ihre Kinder sind noch in der Schule. Sie können also zuerst den nach der Teilung verbleibenden Rest bestimmen und dann die Anzahl der Bonbons essen.

Dies ist der Fall, wenn Sie den Modulo-Operator verwenden können. Er kann auch als % Zeichen oder mod dargestellt werden. Bei Operationen mit kleinen Zahlen können Sie Berechnungen im Kopf durchführen. Wenn Sie mit großen Zahlen arbeiten, werden Sie sich mit einem Modulo-Rechner wohler fühlen.

Die Gleichung kann wie folgt dargestellt werden:

Dividende = (Quotient × Divisor) + Restbetrag

In unserem Fall:

• der Dividend ist 20 (die Gesamtmenge der Bonbons);
• der Divisor ist 3 (die Anzahl der Kinder);
• der Quotient ist 6 (die Anzahl der Bonbons für jedes Kind);
• der Rest ist 2 (die Anzahl der Bonbons, die Sie für sich selbst nehmen können).

Wenn Sie die Modulo-Operation verwenden, können Sie sie in der folgenden Form niederschreiben:

x % y = r

oder

x mod y = r

Dabei ist x der Dividend, y der Divisor und r die Erinnerung.

In unserem Fall,

20 % 3 = 2

Berechnungen ohne Modulus-Rechner

Lassen Sie uns einen speziellen Fall als Beispiel nehmen.

Beispiel

Wayan lebt auf Bali und baut ein kleines Gästehaus mit sechs Wohneinheiten. Er wird die Badezimmer verfliesen. Sein Nachbar Gede, der den Bau seines Hotels bereits abgeschlossen hat, bietet Wayan einen beträchtlichen Preisnachlass für den Kauf der restlichen Fliesen an.

Der Nachbar hat in seinem Lagerhaus 15 Kisten gezählt, die jeweils 4 Fliesen (60 × 60 cm) und zwei einzelne Fliesen enthalten. Das sind also insgesamt 62 Fliesen. Und Gede möchte alle Fliesen auf einmal verkaufen.

Jetzt muss Wayan ausrechnen, wie viele Badezimmer er mit diesen Fliesen wird verlegen können. Und wie viele Fliesen werden möglicherweise ungenutzt bleiben?

Wie kann man den Modulus manuell ermitteln, ohne einen Modulus-Operator-Rechner zu benutzen?

Wayan hat die Größe eines Standardbads in seinem Gästehaus gemessen und festgestellt, dass er etwa 14 Fliesen pro Zimmer benötigt.

Lassen Sie uns die manuellen Berechnungen durchführen!

1. Entscheiden Sie sich für eine Startzahl oder eine Dividende In unserem Fall ist das 62, oder die Anzahl der Fliesen, die ein Nachbar anbietet.
2. Bestimmen Sie den Divisor. Das ist 14 - die durchschnittliche Anzahl von Fliesen für ein Standardbad.
3. Dividieren Sie den Dividenden durch den Divisor und runden Sie das Ergebnis auf eine ganze Zahl. 62 / 14 = 4.428571428571429 oder 4. Wayan kann also die Fliesen für vier Badezimmer verwenden.
4. Multiplizieren Sie das gerundete Ergebnis der Division mit dem Divisor. Und das ist 4 × 14 = 56. Dies ist die Anzahl der Fliesen für vier Zimmer.
5. Subtrahieren Sie dieses Multiplikationsergebnis von der ursprünglichen Dividende. Das ist 62 - 56 = 6. Damit hat Wayan sechs zusätzliche Spielsteine.

Vereinfacht und verkürzt können wir diese Operation wie folgt schreiben:

62 % 14 = 6

oder

62 mod 14 = 6

Wayan beschließt, dass dies eine gute Option ist, denn er sollte eine Fliesenreserve von etwa 10 % für die Fliesenarbeiten einplanen, für den Fall, dass es zu Beschneidungen oder Missverständnissen kommt. Und die Fliesen für die beiden anderen Bäder wird er in einem örtlichen Baumarkt kaufen.

Ein Modul-Rechner könnte dieses Ergebnis in wenigen Sekunden liefern.

Uhr Demonstration des Modulo-Prinzips

Eine Art der Mathematik, die "modulare Arithmetik" genannt wird, beschäftigt sich mit zyklischen Strukturen. Die einfachste Art, dies darzustellen, ist ein Zifferblatt mit einem Zyklus von 12. Für einen Mathematiker hat das Zifferblatt mod 12.

Wenn Sie herausfinden möchten, ob Sie 251 Stunden durch Tage teilen können, ohne dass ein Rest übrig bleibt, können Sie die folgende Operation anwenden

251 mod 24

Das Ergebnis ist 11, also lautet die Antwort nein! Wir können nur mit "Ja" antworten, wenn das Ergebnis 0 ist.

Beispiel

Daniel möchte einen Bus von Atlanta nach Miami nehmen. Der Bus fährt um 1 p.m. ab und die Fahrt dauert 15 Stunden. Wie spät wird es sein, wenn er ankommt? Das wäre dann

1 + 15 mod 12

das ist 4. In seinem Fall wird es 4 Uhr morgens sein.

Modulo verwenden

Gerade und ungerade Zahlen bestimmen

Eine der grundlegendsten Anwendungen des Modulo-Operators besteht darin, festzustellen, ob eine Zahl gerade oder ungerade ist. Dies ist möglich, weil x % 2 immer entweder 0 oder 1 zurückgibt. Gerade Zahlen geben immer 0 zurück, da sie gleichmäßig durch 2 geteilt werden, während ungerade Zahlen immer einen Rest von 1 zurückgeben.

Der häufigste Fall, in dem Modulo in der Programmierung verwendet wird, ist, wenn Sie in Ihrer Anwendung eine Tabelle ausdrucken und die Farben in den Zeilen abwechseln wollen. Vielleicht möchten Sie sie hellblau und hellgrau einfärben, also prüfen Sie mit modulo, ob Sie sich in einer geraden oder ungeraden Zeile befinden.

Einheitenumrechnung

Die Umrechnung von Einheiten ist ein typisches Beispiel für die praktische Anwendung der Modulo-Operation. Sie wird normalerweise verwendet, wenn wir eine kleinere Einheit wie Minuten, Zoll oder Zentimeter in eine größere Einheit wie Stunden, Meilen oder Kilometer umrechnen möchten. Dezimal- oder Bruchzahlen sind in solchen Situationen nicht immer hilfreich.

Wenn wir z.B. die Anzahl der Stunden in 373 Minuten wissen wollen, ist ein Ergebnis, das als 6 Stunden und 13 Minuten ausgedrückt wird, vielleicht wertvoller als 6,2166666666666666667 Stunden.

Die Standarddivision (mit Rundung auf die nächste ganze Zahl) bestimmt die Anzahl der Stunden, und die Modulo-Operation wird verwendet, um die restlichen Minuten zu berücksichtigen. Unabhängig davon, ob es um Zeit, Entfernung, Druck, Energie oder Datenspeicherung geht, können Sie diesen allgemeinen Ansatz zur Umrechnung von Einheiten verwenden.

Bestimmung eines Schaltjahres

Ein weiteres Beispiel für die Verwendung des Modulo-Operators ist die Feststellung, ob ein Jahr ein Schaltjahr ist.

Ein Schaltjahr ist ein Kalenderjahr, das einen zusätzlichen Tag im Sonnenkalender enthält. Der zusätzliche Tag in einem Schaltjahr ist der 29. Februar.

Am 1. Januar 45 v. Chr. führte der römische Diktator Gaius Julius Caesar den in Rom von alexandrinischen Astronomen entwickelten Kalender ein. Der Kalender basierte auf der Berechnung, dass ein astronomisches Jahr ungefähr 365,25 Tage (365 Tage und 6 Stunden) dauert. Dieser Kalender wurde der Julianische Kalender genannt.

Um die Sechs-Stunden-Verschiebung auszugleichen, führte Caesar ein Schaltjahr ein. In drei aufeinander folgenden Jahren hatte ein Jahr 365 Tage. Und jedes Jahr, ein Vielfaches von vier, wurde ein zusätzlicher Tag im Februar hinzugefügt.

Im Laufe der Zeit stellte sich jedoch heraus, dass diese Regel allein nicht ausreichte.

Das durchschnittliche tropische Jahr (die Zeit zwischen den beiden Frühlings-Tagundnachtgleichen) beträgt genauer gesagt 365 Tage und 5 Stunden und 49 Minuten. Der Unterschied zwischen dem durchschnittlichen Jahr und dem julianischen Kalenderjahr (365 Tage und 6 Stunden) beträgt etwa 11 Minuten. In etwa 128 Jahren könnten sich diese 11 Minuten also zu einem ganzen zusätzlichen Tag summieren.

Um die aufgelaufenen Fehler auszugleichen und eine ähnliche Verschiebung in der Zukunft zu vermeiden, reformierte Papst Gregor XIII. den Kalender im Jahr 1582. Er fügte zusätzliche Regeln für Schaltjahre hinzu. Schaltjahre waren immer noch ein Vielfaches von vier, aber es wurden Ausnahmen für die Jahre gemacht, die ein Vielfaches von 100 waren. Solche Jahre waren nur dann Schaltjahre, wenn sie auch durch 400 teilbar waren.

Die Regeln zur Bestimmung des Schaltjahres lauteten wie folgt:

• Ein Jahr, dessen Zahl ein Vielfaches von 400 ist, ist ein Schaltjahr.
• Die übrigen Jahre, deren Summe ein Vielfaches von 100 ist, sind keine Schaltjahre (zum Beispiel die Jahre 1700, 1800, 1900, 2100, 2200, 2300);
• Der Rest der Jahre, deren Zahl ein Vielfaches von 4 ist, sind Schaltjahre.
• Alle anderen Jahre sind keine Schaltjahre.

So sind die Jahre 1700, 1800 und 1900 keine Schaltjahre, da sie ein Vielfaches von 100 und nicht ein Vielfaches von 400 sind. Die Jahre 1600 und 2000 sind Schaltjahre, da sie ein Vielfaches von 400 sind.

Kehren wir zu unserem Problem zurück.

Wir wissen das:

• Wenn eine Jahreszahl mod 4 = 0 und eine Jahreszahl mod 100 ≠ 0 ist, dann ist es ein Schaltjahr.
• Wenn eine Jahreszahl mod 400 = 0 ist, dann handelt es sich um ein Schaltjahr.
• In allen anderen Fällen handelt es sich nicht um ein Schaltjahr.

Mit einem einfachen Python-Skript können Sie feststellen, ob ein Jahr ein Schaltjahr ist oder nicht. Es sieht wie folgt aus:

year = int(input('Enter year: '))

if (year%4 == 0 and year%100 != 0) or (year%400 == 0) :

	print(year, "is a leap year.")

else:

	print(year, "is not a leap year.")

Beliebte Anwendungen des Modulo-Operators in der Programmierung sind unter anderem:

• die Feststellung, ob etwas gerade oder ungerade ist;
• die Durchführung einer bestimmten Operation für jedes N-te Element in einer Liste;
• Einschränkung einer Zahl auf einen Bereich;
• Rotieren durch begrenzte Optionen (kreisförmige Anordnung);
• Umkehrung einer Zahl;
• Konvertierung linearer Daten in eine Matrix;
• Feststellen, ob Arrays gedrehte Versionen voneinander sind;
• Paginierung.

Zufallszahlengeneratoren

Die Modulo-Methode wird häufig in Computerhardware und Telekommunikationsgeräten verwendet, um Kontrollzahlen zu erzeugen und Zufallszahlen in einem begrenzten Bereich zu erhalten, wie z.B. einen kongruenten Zufallszahlengenerator. Derrick Henry Lemer schlug 1949 die linear kongruente Methode vor.

Die linear kongruente Methode funktioniert nach der Formel:

$$X_{n+1} = (a × X_n + c)\mod m$$

Wobei:

• m ist der Modulo,
• a der Multiplikator ist,
• c die Schrittweite ist und
• X₀ ist der Anfangswert.

Zum Beispiel erhalten wir für m = 11, X₀ = 9, a = 9, c = 9 die folgende Reihe von Zufallszahlen:

9, 2, 5, 10, 0, 9, 2, 5, 10, 0, 9

Kryptographie

Kryptographen lieben modulo. Denn wenn Sie mit wirklich großen Zahlen arbeiten, können Sie mit modulo so genannte "Einwegfunktionen" erstellen. Diese speziellen Funktionen machen es einfach, etwas in eine Richtung zu berechnen, aber nicht in die andere Richtung.

Wenn 9 das Ergebnis der Quadrierung ist, können Sie schnell feststellen, dass die Eingabe 3 war. Sie können sich den gesamten Prozess von Anfang bis Ende vorstellen. Wenn ich Ihnen sage, dass 9 das Ergebnis von mod 29 ist, ist es schwieriger, herauszufinden, was in der Eingabe enthalten ist.

Kryptographen mögen diese Idee, denn sie können die Division mit dem Rest verwenden, um riesige Primzahlen zu erzeugen, mit denen sie kryptographische Schlüssel erstellen können.

Fazit

Ganz gleich, ob Sie versuchen, Objekte gleichmäßig in einer Aufbewahrungsbox zu verteilen, ob Sie wissen wollen, ob eine Zahl durch eine andere Zahl teilbar ist, oder ob Sie einfach nur versuchen, die Zeit zu berechnen, modulo ist immer dabei. In all diesen Fällen ist der Rest genauso wichtig wie der Quotient bei der Divisionsoperation.

Manchmal ist das Problem, um das es geht, ganz einfach und intuitiv. Es ist jedoch immer besser, den Modulo-Rechner online zu verwenden, um die Lösung zu finden, wenn die Dinge kompliziert sind.