Rechner für quadratische Gleichungen

Der Rechner für quadratische Gleichungen

Quadratische Gleichungen sind ein wichtiger Bestandteil des Mathematikunterrichts in Schulen und Universitäten. So liefert die Lösung einer quadratischen Gleichung verschiedene Informationen, wie z.B. die Änderungsraten, Aufwärts- und Abwärtsbewegungen der Funktion. Um die Lösung einer quadratischen Gleichung zu finden, müssen eine Reihe von algebraischen und arithmetischen Operationen durchgeführt werden. Obwohl die Lösung eine Standardform hat, dauert es einige Zeit, die Mathematik manuell durchzuführen.

Der Online-Rechner für quadratische Formeln ist ein einfach zu bedienendes Tool, das dem Benutzer sofort die Lösung einer quadratischen Gleichung liefert. Dieses kostenlose Tool liefert die Antworten und stellt die Schritte dar, die beim Lösen der Gleichung angewandt werden. Auf diese Weise erhält der Benutzer ein Konzept für die Problemlösung, numerische Ergebnisse und eine Schritt-für-Schritt-Anleitung für die Lösung.

Quadratische Gleichungen

Eine quadratische Gleichung, die auch als quadratische Funktion oder Polynom zweiten Grades bezeichnet wird, ist eine algebraische Gleichung mit der allgemeinen Form ax²+bx+c=0, wobei x eine unbekannte Variable ist, die gefunden werden muss. Die Terme a und b sind die Koeffizienten von x² bzw. x, während C eine Konstante ist. Das Wort "quad" oder "zweiter Grad" kommt von der Tatsache, dass der höchste Exponent der Variablen x 2 ist, wie in x². Im Folgenden finden Sie einige Beispiele für quadratische Gleichungen.

$$2x²-4x+0,5=0$$

$$-3x²+\frac{1}{3}x+6=0$$

Die Gleichung 2x²=0 ist ebenfalls eine quadratische Gleichung, mit b=0 und c=0. 2x+3=0 stellt jedoch keine quadratische Gleichung dar, da der quadratische Term ax² nicht in der Gleichung vorkommt. Wie in den vorherigen Beispielen gezeigt, können die Werte von A, B und C positive/negative ganze Zahlen oder Dezimalzahlen (Brüche) sein, so dass a≠0.

Lösen von quadratischen Gleichungen

Die Anzahl der möglichen Lösungen einer Gleichung ist gleich dem höchsten Exponentenwert in der Gleichung. Eine quadratische Gleichung kann in diesem Zusammenhang maximal zwei Lösungen haben. Eine Möglichkeit, eine quadratische Funktion zu lösen, ist die Verwendung der quadratischen Formel, die in Gleichung (1) angegeben ist.

$$x₁=\frac{-b+\sqrt{b²-4ac}}{2a}\ \ \ \ \ \ \ ;\ \ \ x₂=\frac{-b-\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$ (1)

Sie können die kompakte Form für die quadratische Formel schreiben als:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

Dies ist eine einfache Lösung, bei der der Benutzer die Werte A, B und C einsetzen kann, um den Wert von x₁ und x₂ zu erhalten. Je nach Wert der Diskriminante, die durch den Term unter der Quadratwurzel b²-4ac bezeichnet wird, ändert sich die Anzahl und Art der Lösung. Wir können drei Fälle diskutieren:

• Wenn die Diskriminante positiv ist; b²-4ac>0, dann existieren zwei reelle Lösungen (x₁≠x₂)
• Wenn die Diskriminante Null ist; b²-4ac=0, dann existiert eine reelle Lösung (x₁=x₂)
• Wenn die Diskriminante negativ ist; b²-4ac<0, dann existieren zwei komplexe Lösungen (x₁≠x₂)

Im Abschnitt Beispiele werden wir für jeden Fall ein Beispiel anführen.

Auf einer x-y-Koordinatenebene, in der y eine Funktion von x ist, kann der Leser die Lösung(en) einer quadratischen Funktion visuell als die x-coordinate(s) des Punktes/der Punkte erkennen, an dem/denen die Funktion y die x-axis kreuzt.

Benutzen Sie den Rechner für quadratische Formeln

Der Rechner für quadratische Gleichungen kann alle quadratischen Gleichungen lösen, unabhängig von der Art der Lösung (reell oder komplex). Der Rechner benötigt drei Eingaben: die Werte von A, B und C. In einigen Fällen muss der Benutzer vor der Verwendung des Rechners einige Manipulationen an der Gleichung vornehmen.

In 2x² = x + 3 muss der Benutzer einfach die Terme von der rechten Seite auf die linke Seite verschieben. Als Ergebnis erhalten wir 2x²-x-3=0, wobei a = 2, b = -1 und c - 3.

Wenn Sie außerdem 4(x²-0.2x)=1 betrachten, müssen Sie die Klammer erweitern, indem Sie 4x²-0,8x=1 schreiben und dann die Terme auf der linken Seite auf die rechte Seite verschieben, um die Gleichung in die allgemeine Form 4x²-0.8x-1=0 zu bringen, wobei a = 4, b=-0.8 und c=-1.

Beispiele

In diesem Abschnitt können Sie anhand von drei Beispielen die drei möglichen Fälle der Lösung einer quadratischen Gleichung mit dem Rechner für quadratische Gleichungen erläutern.

Beispiel 1: Zwei reelle Lösungen

Es geht darum, die Lösung(en) der quadratischen Funktion y₁ zu finden, die als y₁=x²-8x+12 gegeben ist und in Abbildung 1 dargestellt ist.

Intuitiv geht es darum, die x-Koordinate(n) des Punktes/der Punkte zu finden, an dem/denen die Funktion y₁ die x-axis kreuzt - falls es sie gibt.

Abbildung 1: Diagramm von y₁=x²-8x+12

Zunächst wird die Funktion mit Null gleichgesetzt ( y₁ wird durch 0 ersetzt), was zu x²-8x+12=0 führt. Man sieht, dass die letzte Gleichung in der Standardform einer quadratischen Gleichung vorliegt, bei der a=1, b=-8 und c=12. Wir können direkt den Rechner für quadratische Gleichungen verwenden.

Wenn Sie den Wert der Diskriminante b²-4ac=(-8)²-4(1)(12)=16>0 überprüfen, sollte die quadratische Funktion zwei reelle Lösungen haben. Nachdem Sie auf die Schaltfläche Berechnen geklickt haben, liefert der Rechner die numerische Lösung und die Lösungsschritte unter Verwendung der quadratischen Formel der Gleichung (1).

Es ist wichtig hervorzuheben, dass der Rechner nach der Eingabe der Werte für A, B und C die Gleichung anzeigt. Um Eingabefehler zu vermeiden, sollten Sie überprüfen, ob die angezeigte Gleichung mit der Gleichung übereinstimmt, die Sie in der Hand halten.

• Gleichung: x²-8x+12=0

• Lösung: x₁=2 und x₂=6

• Schritte:

$$x = \frac {-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a}=\frac{-(-8) ±\sqrt{(-8)^2-4×1×12}}{2×1}=\frac{8 ±\sqrt{16}}{2}=4 ±2=6 \ oder \ 2$$

Die Lösung ist also x₁=2 und x₂=6. Wir können die Ergebnisse grafisch überprüfen, indem wir uns den Schnittpunkt der Funktion mit der x-axis ansehen. Abbildung 2 zeigt, dass die Funktion die x-axis an den zuvor genannten Punkten schneidet.

Abbildung 2: Diagramm von y₁=x²-8x+12

Beispiel 2: Eine reelle Lösung

Betrachten wir eine andere Funktion, y₂-3x²+25=-4x²+10x. Bevor Sie den Taschenrechner benutzen, sollten Sie zunächst y₂ auf einer Seite isolieren und alle anderen Terme auf der anderen Seite als y₂=-4x²+10x+3x²-25 sammeln. Wenn man y₂ mit Null gleichsetzt und die Rechenoperationen durchführt, erhält man die allgemeine Form als -x²+10x-25=0 mit a=-1, b=10 und c=-25.

Die Diskriminante ist gleich Null b²-4ac=(10)²-4(-1)(-25)=0, so dass der Benutzer eine einzige Lösung erwarten würde. Dann können wir den Rechner für quadratische Formeln verwenden, um x₁=x₂=5 zu finden.

• Gleichung: -x²+10x-25=0

• Lösung: x = 5

• Schritte:

$$x = \frac{-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a} = \frac{-10±{\sqrt{10^2 – 4 × (-1) × (-25)}}}{2×-1}=\frac{-10± \sqrt{0}}{-2} = 5$$

Abbildung 3 zeigt das Diagramm von y₂, in dem zu sehen ist, dass die Funktion die x-axis in einem Punkt kreuzt.

Abbildung 3: y₂=-x²+10x-25

Beispiel 3: Zwei komplexe Lösungen

Schließlich wird y₃=x²-4x+8 untersucht, um zu zeigen, wie eine quadratische Funktion zwei komplexe Lösungen haben kann. Abbildung 4 zeigt, dass y₃ die x-axis nicht kreuzt.

Abbildung 4: y₃=x²-4x+8

Betrachten wir b²-4ac=(-4)²-4(1)(8)=-16<0, was auf die Existenz zweier komplexer Lösungen hinweist, aber was sind komplexe Zahlen?

Eine komplexe Zahl ist eine Zahl, die in Form einer Kombination aus realen und imaginären Zahlen ausgedrückt wird und die Form a+ib hat.

In diesem Fall steht 'i' bei komplexen Zahlen für die imaginäre Einheit, die die Quadratwurzel von -1 repräsentiert.

Der Ausdruck A bezeichnet den Realteil der komplexen Zahl (Re). Andererseits ist ib die imaginäre Zahl (Im) mit i=√-1.

Die Quadratwurzel enthält eine negative Zahl, wenn der Term b²-4ac kleiner als Null ist. Um die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen, müssen Sie also komplexe Zahlen verwenden.

Zurück zur Lösung von x²-4x+8=0; der Taschenrechner löst die Gleichung und findet x₁=2+2i und x₂=2-2i.

• Gleichung: x²-4x+8=0

• Es gibt zwei mögliche Lösungen: x=2±2i

• Schritte:

$$x = \frac{-b ± \sqrt{b² – 4ac}}{2a} = \frac{-(-4) ± \sqrt{(-4)^2 – 4 × 1 × 8}}{2 × 1} = \frac{4 ± \sqrt{-16}}{2} = 2 ± 2i$$

Anwendungsbereich und Tipps

Der Rechner für quadratische Formeln ist für Studenten in Schulen und Universitäten oder für alle, die eine schnelle Lösung für eine quadratische Funktion suchen, gedacht. Quadratische Funktionen kommen in den Bereichen Technik, Wirtschaft, Landwirtschaft usw. vor.

Die Verwendung des Tools ist zwar einfach, aber der Benutzer sollte in der Lage sein, grundlegende arithmetische Operationen durchzuführen, um die Gleichung in die quadratische Standardform ax²+bx+c=0 zu bringen, um das Tool zu verwenden. Darüber hinaus ist es von Vorteil (aber keine Voraussetzung), mit komplexen Zahlen vertraut zu sein, da die Lösung einer quadratischen Gleichung aus einem Paar komplexer Zahlen bestehen kann.

Der Benutzer könnte auch daran interessiert sein, einige Plot-Tools zu verwenden, um die Funktion und ihre Lösungen zu visualisieren.