Rechner für quadratische Formeln

Verwenden eines Rechners für quadratische Formeln

Dieser Rechner ist ein einfach zu bedienendes Tool, das quadratische Gleichungen löst. In der Algebra ist eine quadratische Gleichung jede Gleichung, die in der folgenden Form geschrieben werden kann:

ax²+bx+c=0

wobei

a≠0

Um den Rechner für quadratische Formeln zu verwenden, geben Sie die Werte für A, B und C in die entsprechenden Felder ein und drücken Sie auf "Berechnen". Der Wert von A kann nicht gleich Null sein, während Null eine akzeptable Eingabe für B und C ist. Für reelle und komplexe Wurzeln verwendet der Rechner die quadratische Formel, um alle Lösungen für eine gegebene Gleichung zu ermitteln. Nachdem Sie die quadratische Formel verwendet haben, vereinfacht der Rechner auch das resultierende Radikal, um die Lösungen in ihrer einfachsten Form zu finden.

Lösen von quadratischen Gleichungen mit der quadratischen Formel

Sie können jede quadratische Gleichung mit der quadratischen Formel lösen. Um die quadratische Formel zu verwenden, sollten Sie die gegebene Gleichung zunächst in die folgende Form bringen: ax²+bx+c=0. Dann lassen sich die Lösungen wie folgt finden:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

Der Teil der Gleichung unter der Quadratwurzel, b²-4ac, wird als Diskriminante bezeichnet.

• Wenn die Diskriminante positiv ist, b²-4ac>0, hat die Gleichung zwei reelle Wurzeln.
• Wenn die Diskriminante negativ ist, b²-4ac<0, hat die Gleichung zwei komplexe Wurzeln, da die Quadratwurzel einer negativen Zahl eine komplexe Zahl ist.
• Wenn die Diskriminante gleich Null ist, b²-4ac=0, hat die Gleichung nur eine Wurzel.

Der Rechner für quadratische Gleichungen zeigt die Lösungen der eingegebenen Gleichungen und den Arbeitsablauf beim Finden dieser Lösungen an. Der Rechner berechnet auch die Diskriminante und zeigt an, ob sie positiv, negativ oder gleich Null ist.

Praktische Beispiele

Beispiel 1 (mit reellen Wurzeln)

Wir wollen die quadratische Gleichung lösen:

2x²+3x-2=0

In diesem Beispiel ist a=2,b=3,c=-2.

Wenn wir die quadratische Formel für diese Werte verwenden, erhalten wir:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-3±\sqrt{3^2-4(2)(-2)}}{2(2)}=\frac{-3±\sqrt{9--16}}{4}=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}$$

Die Diskriminante dieser Gleichung ist positiv, b²-4ac=25>0. Daher hat die Gleichung zwei reelle Wurzeln.

Vereinfachen wir nun das resultierende Radikal:

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}=\frac{-3±5}{4}$$

$$x=\frac{-3+5}{4}\ \ \ und\ \ \ x= \frac{-3-5}{4}$$

$$x=\frac{2}{4}\ \ \ und\ \ \ x=-\frac{8}{4}$$

$$x=\frac{1}{2}\ \ \ und\ \ \ x=-2$$

Schließlich

x=0,5

x=-2

Beispiel 2 (mit komplexen Wurzeln)

Lösen wir die folgende quadratische Gleichung:

x²+2x+5=0

In diesem Beispiel ist a=1,b=2,c=5.

Wenn wir die quadratische Formel für diese Werte verwenden, erhalten wir:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-2±\sqrt{2^2-4(1)(5)}}{2(1)}=\frac{-2±\sqrt{4-20}}{2}=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}$$

Die Diskriminante dieser Gleichung ist negativ, b²-4ac=-16<0. Daher hat die Gleichung zwei komplexe Wurzeln.

Vereinfachen wir nun das resultierende Radikal:

$$x=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}=\frac{-2±4i}{2}=\frac{-2}{2}±\frac{4i}{2}=-1±2i$$

Schließlich,

x=-1+2i

x=-1-2i

Beispiel 3 (mit einer Wurzel)

Lösen wir die folgende quadratische Gleichung:

3x²+6x+3=0

In diesem Beispiel ist a=3,b=6,c=3.

Wenn wir die quadratische Formel für diese Werte verwenden, erhalten wir:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-6±\sqrt{6^2-4(3)(3)}}{2(3)}=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{6}=\frac{-6±\sqrt0}{6}$$

Die Diskriminante dieser Gleichung ist gleich Null, $(x₁\neq x₂)$ b²-4ac=0. Daher hat die Gleichung nur eine Wurzel.

$$x=\frac{-6}{6}$$

Schließlich,

x=-1

Ableitung der quadratischen Formel

Wie oben gezeigt, können Sie mit der quadratischen Formel absolut jede quadratische Gleichung lösen, unabhängig davon, ob die Diskriminante positiv, negativ oder gleich Null ist. Lassen Sie uns nun untersuchen, wie die Formel abgeleitet werden kann. Die Kenntnis der grundlegenden Prinzipien der Formelableitung kann sehr nützlich sein, falls Sie die Formel selbst vergessen.

Der Algorithmus für die Ableitung quadratischer Formeln ist relativ einfach und basiert auf dem Verfahren der Vervollständigung des Quadrats. Um die Lösungen der quadratischen Standardgleichung ax²+bx+c=0 abzuleiten, müssen Sie die folgenden Schritte befolgen:

1. Wir haben eine Gleichung:

ax²+bx+c=0

Verschieben Sie die Konstante C auf die rechte Seite der Gleichung:

ax²+bx=-c

2. Entfernen Sie den Koeffizienten A neben dem quadratischen Term x². Teilen Sie dazu die Gleichung durch A:

$$x²+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$

3. Addieren Sie $(\frac{b}{2a})^2$ zu beiden Seiten der Gleichung:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

4. Die linke Seite hat nun die Form x²+2dx+d². Dieser Ausdruck kann als (x+d)² umgeschrieben werden.

In unserer Gleichung wird d als

$$\frac{b}{2a}$$

ausgedrückt.

Also:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 = \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$$

Setzen Sie dies in die linke Seite unserer Formel ein und lassen Sie die rechte Seite vorerst unangetastet:

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

Jetzt erscheint die Wurzel x nur noch einmal in der Gleichung.

5. Ziehen Sie die Quadratwurzel aus beiden Teilen der Gleichung:

$$x+\frac{b}{2a}=± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

6. Verschieben Sie $\frac{b}{2a}$ auf die rechte Seite der Gleichung:

$$x=-\frac{b}{2a}± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

7. Multiplizieren Sie die rechte Seite der Gleichung mit

$$\frac{2a}{2a}$$

$$x=\frac{-b ± \sqrt{-\frac{c}{a} × (2a)^2 + (\frac{b}{2a})^2 × (2a)^2}}{2a}$$

8. Vereinfachen Sie die Gleichung:

$$x=\frac{-b±\sqrt{-4ac+b²}}{2a}$$

9. Als Ergebnis erhalten wir eine quadratische Formel:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

Interessante Fakten über die quadratische Gleichung

• Die Summe der beiden Wurzeln der quadratischen Gleichung ist

$$\frac{-b}{a}$$

Wenn also die Diskriminante der quadratischen Gleichung b²-4ac gleich Null ist, können Sie die einzige Wurzel der Gleichung als

$$\frac{-b}{2a}$$

finden.

• Das Produkt der beiden Wurzeln der quadratischen Gleichung ist

$$\frac{c}{a}$$

• Der Begriff "quadratisch" stammt von dem lateinischen Wort "quadratus", was "Quadrat" bedeutet. Die Gleichung wurde quadratisch genannt, weil die höchste Potenz der Variablen 2 ist, d.h. die Variable ist "quadriert".

• Die quadratische Formel in ihrer heutigen Form wurde bereits 628 n. Chr. von dem indischen Mathematiker Brahmagupta beschrieben, der keine Symbole verwendete, sondern die Lösung mit Worten erörterte. Brahmagupta beschrieb jedoch nur eine der beiden möglichen Lösungen und ließ das wichtige ±-Zeichen vor der Quadratwurzel weg.

• Der Graph einer quadratischen Funktion y=ax²+bx+c ist eine Parabel. Die Lösungen oder Wurzeln der quadratischen Gleichung sind eigentlich die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse. Wenn die Gleichung zwei reelle Wurzeln hat, schneidet der Graph die x-Achse zweimal. Wenn die Gleichung nur eine Wurzel hat, berührt der Graph der entsprechenden Parabel die x-Achse nur in ihrem Maximum oder Minimum. Wenn die Gleichung keine reellen Wurzeln hat, schneidet der Graph der entsprechenden Parabel die x-Achse überhaupt nicht.

• Wenn der Wert des Koeffizienten des quadrierten Terms A gegen Null geht, wird der Graph der entsprechenden Parabel flacher und tendiert schließlich zu einer Geraden. Wenn a=0 ist, wird die Gleichung linear, und die grafische Darstellung ist offensichtlich eine Gerade!

• Ähnlich verhält es sich, wenn a>0, die Parabel nach oben gerichtet ist. Wenn a<0, öffnet sich die entsprechende Parabel nach unten. Wenn a=0, ist die "Parabel" flach, d.h. sie ist eine gerade Linie.

Quadratische Gleichungen sind in allen Bereichen der Wissenschaft weit verbreitet. In der Physik zum Beispiel werden quadratische Gleichungen verwendet, um die Bewegung von Geschossen zu beschreiben.