Rechner für rechtwinklige Dreiecke

Rechner für rechtwinklige Dreiecke

Unser Rechner für rechtwinklige Dreiecke ist ein benutzerfreundlicher Online-Dreiecksrechner, der speziell für Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck entwickelt wurde. Geben Sie einfach zwei beliebige bekannte Werte als Eingabe an, und unser Tool ermittelt blitzschnell alle fehlenden Maße. Zu den berechenbaren Größen gehören die Seitenlängen (a, b und c), die spitzen Winkel (α und β), der Umfang (P), der Flächeninhalt (A) sowie die Höhe auf die Hypotenuse (h).

Um den Dreiecksrechner zu nutzen, tragen Sie zwei der genannten Werte in die entsprechenden Felder ein und klicken Sie auf "Calculate" (Berechnen).

Die Eingabe der Winkel ist sowohl in Grad als auch im Bogenmaß (Radiant) möglich. Um einen Wert im Bogenmaß mit π einzugeben, verwenden Sie einfach die Schreibweise "pi". Entspricht der Winkel beispielsweise π/3, tippen Sie "pi/3" ein.

Als Ergebnis liefert der Rechner nicht nur alle fehlenden Werte, sondern zeigt auch die detaillierten Berechnungsschritte auf. Zusätzlich erhalten Sie eine maßstabsgetreue grafische Darstellung Ihres Dreiecks sowie die exakten Werte für den Inkreisradius und den Umkreisradius.

Einschränkungen bei den Eingabewerten des Dreiecksrechners

1. Sie müssen genau zwei Werte eingeben, um die Berechnung zu starten.
2. Die Werte der spitzen Winkel α und β müssen kleiner als 90° bzw. (π/2) rad sein.
3. Die Höhe auf die Hypotenuse (h) darf nicht länger sein als eine der beiden Katheten (a oder b).
4. Die Länge jeder Dreiecksseite (a, b oder c) muss gemäß der Dreiecksungleichung stets kleiner sein als die Summe der Längen der beiden anderen Seiten.
5. Für jede gegebene Hypotenusenlänge existiert ein maximaler Umfang. Der Rechner akzeptiert keine Eingaben, die diesen Maximalwert überschreiten. Der maximale Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks bei bekannter Hypotenusenlänge wird erreicht, wenn es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt (a=b). In diesem Fall gilt \$a=b=\frac{c}{\sqrt2}\$, und der maximale Umfang beträgt \$P=a+b+c=c+\frac{2c}{\sqrt2}\$.

Rechtwinkliges Dreieck: Definition und hilfreiche Informationen

Ein rechtwinkliges Dreieck zeichnet sich dadurch aus, dass einer seiner Innenwinkel exakt 90° oder \$\frac{π}{2}\ rad\$ beträgt. Die dem rechten Winkel gegenüberliegende, längste Seite nennt man Hypotenuse. Die beiden kürzeren Seiten, die den rechten Winkel einschließen, werden als Katheten bezeichnet.

Oftmals wird die Kathete b als Grundseite (Basis) und die Kathete a als Höhe des rechtwinkligen Dreiecks definiert.

Wichtig zu wissen: Die Katheten sind stets kürzer als die Hypotenuse. Da die Innenwinkelsumme in jedem Dreieck 180° beträgt und der rechte Winkel bereits 90° einnimmt, ergibt die Summe der beiden verbleibenden (spitzen) Winkel ebenfalls genau 90°: α+β=90°. Die Längen der Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck stehen in einer festen mathematischen Beziehung zueinander, die durch den berühmten Satz des Pythagoras beschrieben wird.

Der Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras ist das Fundament zur Berechnung von Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck. Er besagt, dass das Quadrat über der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate über den beiden Katheten ist:

$$c^2=a^2+b²$$

Sind beispielsweise nur die Längen der beiden Katheten bekannt, lässt sich die Länge der Hypotenuse ganz einfach mit dieser Formel berechnen:

$$c=\sqrt{a^2+b²}$$

Kennen wir hingegen die Länge der Hypotenuse sowie einer Kathete, können wir die Länge der jeweils anderen Kathete durch Umstellen der Formel ermitteln:

$$a=\sqrt{c^2-b²}$$

$$b=\sqrt{c^2-a^2}$$

Der Satz des Pythagoras ist nicht nur der essenziellste Lehrsatz für das rechtwinklige Dreieck, sondern auch einer der wichtigsten Grundpfeiler der euklidischen Geometrie.

Andere wichtige Formeln

Neben dem Satz des Pythagoras kommen in der Geometrie weitere wichtige Formeln zum Einsatz, um die fehlenden Werte eines rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen:

Der Umfang eines Dreiecks entspricht der Summe aller Seitenlängen und ergibt sich aus:

$$P = a + b + c$$

Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks wird berechnet mit:

$$A=\left(\frac{1}{2}\right)ab$$

Um die spitzen Winkel des Dreiecks zu bestimmen, greifen wir auf die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens zurück. Zunächst müssen wir dafür Ankathete und Gegenkathete des jeweiligen Winkels identifizieren. Die Hypotenuse und eine Kathete bilden zusammen einen der spitzen Winkel. Diese Kathete ist die Ankathete (die anliegende Seite) des Winkels. Die verbleibende Kathete wird als Gegenkathete (die gegenüberliegende Seite) bezeichnet. In der folgenden Abbildung ist beispielsweise a die Gegenkathete des Winkels α und b die Ankathete.

Der Sinus eines jeden spitzen Winkels im rechtwinkligen Dreieck entspricht dem Quotienten aus der Länge der Gegenkathete und der Länge der Hypotenuse:

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}, \sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

Der Kosinus eines spitzen Winkels berechnet sich aus dem Quotienten der Länge der Ankathete und der Länge der Hypotenuse:

$$\cos{\alpha}=\frac{b}{c}, \cos{\beta}=\frac{a}{c}$$

Der Tangens eines spitzen Winkels ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete:

$$\tan{\alpha}=\frac{a}{b}, \tan{\beta}=\frac{b}{a}$$

Die Höhe auf die Hypotenuse (h) wird durch folgende Formel ermittelt:

$$h=\frac{ab}{c}$$

Zusätzlich berechnet unser Online-Rechner den Inkreisradius (in der Formel Inradius genannt) und den Umkreisradius (Zirkumradius) eines gegebenen Dreiecks mithilfe der folgenden Formeln:

$$Inradius=\frac{ab}{a+b+c}$$

$$Zirkumradius=\frac{c}{2}$$

Berechnungsbeispiel

Nehmen wir als Berechnungsbeispiel ein Dreieck, bei dem die Längen der beiden Katheten bekannt sind: a = 3 und b = 4. Im Folgenden ermitteln wir schrittweise alle fehlenden Werte des Dreiecks.

Zunächst berechnen wir die Länge der Hypotenuse c mithilfe des Satzes des Pythagoras:

$$c=\sqrt{a^2+b²}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}+\sqrt{25}=5$$

$$c=5$$

Als Nächstes ermitteln wir die Winkel des Dreiecks. Wie bereits erwähnt, gilt:

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}$$

Daraus folgt:

$$\alpha=arcsin\left(\frac{a}{c}\right)$$

$$\alpha=arcsin\left(\frac{3}{5}\right)=arcsin(0,6)=0,6435\ rad\ =\ 36,87° = 36°52'12"$$

Auf ähnliche Weise verfahren wir für den zweiten Winkel:

$$\sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

Daraus folgt:

$$\beta=arcsin\left(\frac{b}{c}\right)$$

$$\beta=arcsin\left(\frac{4}{5}\right)=arcsin(0,8)=0,9273\ rad\ =\ 53,13° = 53°7'48"$$

Nun bestimmen wir die Höhe auf die Hypotenuse (h):

$$h=\frac{ab}{c}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}=2,4$$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich:

$$A=\frac{1}{2}ab=\frac{a× b}{2}=\frac{3×4}{2}=6$$

Der Umfang dieses Dreiecks berechnet sich wie folgt:

$$P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12$$

Der Inkreisradius (Inradius) wird mit dieser Formel berechnet:

$$Inradius=\frac{ab}{a+b+c}=\frac{3×4}{3+4+5}=\frac{12}{12}=1$$

Und schließlich ermitteln wir den Umkreisradius (Zirkumradius):

$$Zirkumradius=\frac{c}{2}=\frac{5}{2}=2.5$$

Besondere rechtwinklige Dreiecke

Es gibt zwei spezielle Formen von rechtwinkligen Dreiecken, die in der Geometrie besonders häufig vorkommen: das 45-45-90-Dreieck und das 30-60-90-Dreieck. Die Seitenlängen dieser Dreiecke weisen feste, leicht zu merkende Verhältnisse auf.

Das gleichschenklige rechtwinklige Dreieck

Ein rechtwinkliges Dreieck mit zwei spitzen Winkeln von jeweils 45° besitzt zwei gleich große Winkel. Folglich sind auch die beiden Katheten exakt gleich lang, weshalb man von einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck spricht. Die Längen seiner Seiten stehen in folgendem Verhältnis zueinander:

$$a : b : c = 1 : 1 : \sqrt{2}$$

Das 30-60-90-Dreieck

Bei diesem Dreieck messen die spitzen Winkel 30° und 60°. Die Längen der Seiten verhalten sich wie folgt:

$$a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$$

Dabei ist "a" die Kathete, die dem 30°-Winkel gegenüberliegt, "b" die Kathete gegenüber dem 60°-Winkel und "c" ist die Hypotenuse.