Standardabweichung Rechner

Standardabweichung als statistisches Maß

Die Standardabweichung ist eine der am häufigsten verwendeten Metriken zur Charakterisierung der Statistik eines bestimmten Datensatzes. Die Standardabweichung ist, einfach ausgedrückt, ein Maß dafür, wie stark der Datensatz gestreut ist. Durch die Berechnung der Standardabweichung können Sie herausfinden, ob die Zahlen nahe am Mittelwert liegen oder weit davon entfernt sind. Wenn die Datenpunkte weit vom Mittelwert entfernt sind, liegt eine große Abweichung im Datensatz vor. Je größer die Streuung in den Daten ist, desto höher ist also die Standardabweichung.

Dieser Rechner definiert die Standardabweichung eines gegebenen Datensatzes und zeigt die mathematischen Schritte der Berechnung an.

Die Regeln für die Verwendung dieses Rechners

Der Rechner akzeptiert die Eingabe als eine Liste von Zahlen, die durch ein Trennzeichen getrennt sind. Einige Beispiele für mögliche Eingaben sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.

Die Zahlen können durch ein Komma/Leerzeichen/Zeilenumbruch oder eine Mischung davon getrennt und entweder im Zeilen- oder Spaltenformat eingefügt werden. Für alle in der obigen Tabelle aufgeführten Formate verarbeitet der Rechner die Eingabe als 44, 63, 72, 75, 80, 86, 87 und 89.

Wählen Sie nach der Eingabe der Daten aus, ob es sich um Stichproben- oder Populationsdaten handelt, und drücken Sie die Eingabetaste. Der Rechner zeigt fünf statistische Parameter des Datensatzes an: Anzahl (Anzahl der Beobachtungen), Mittelwert, Summe der quadrierten Abweichungen, Varianz und Standardabweichung.

Die Probleme, die dieser Rechner lösen soll

Der Rechner dient der Berechnung der Standardabweichung eines diskreten Datensatzes und gibt einen Einblick in die Theorie hinter der Berechnung.

Die Daten können aus einer Grundgesamtheit bestehen, die sich aus allen möglichen Beobachtungen in einem Experiment (gleich welcher Art) unter den angegebenen Bedingungen zusammensetzt. In vielen Fällen ist es unmöglich, jedes Mitglied der Grundgesamtheit zu beproben.

In der statistischen Praxis ist es üblich, mit einer Teilmenge einer größeren "Grundgesamtheit" zu arbeiten, die wir als "Stichprobe" bezeichnen. Der Grund dafür ist, dass es oft unpraktisch oder unmöglich ist, Daten von allen Individuen der Grundgesamtheit zu sammeln. Auf der Grundlage der aus der Stichprobe gewonnenen Informationen werden Schätzungen oder Rückschlüsse auf die Grundgesamtheit gezogen.

Bei der Berechnung der Standardabweichung wird die verwendete Formel angepasst, je nachdem, ob es sich um eine Stichprobe oder um die gesamte Grundgesamtheit handelt. Diese Anpassung erfolgt durch einen Faktor, der als "Freiheitsgrade" bezeichnet wird. Bei einer Stichprobe teilen wir bei der Berechnung der Varianz durch n - 1 (wobei n der Stichprobenumfang ist) anstelle von n. Die Varianz wird dann quadriert, um die Standardabweichung zu ermitteln. Diese Korrektur kompensiert die Tatsache, dass wir Stichprobendaten zur Schätzung der Standardabweichung der Grundgesamtheit verwenden, und gewährleistet, dass unsere Schätzung unverzerrt ist.

Die Standardabweichung misst die durchschnittliche Streuung/Abweichung/Variabilität eines Datensatzes im Verhältnis zum Mittelwert. Sie wird häufig mit dem griechischen Buchstaben σ für eine Grundgesamtheit oder s für eine Stichprobe angegeben. Ein größerer Wert von σ oder s impliziert eine größere Streuung der Datenpunkte vom Stichprobenmittelwert und umgekehrt.

Betrachten Sie die folgenden Beispiele für Datensätze.

(Satz I)

11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27

(Satz II)

12, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20

Setzt man diese Datensätze in den Taschenrechner ein, erhält man für den Satz I

• x̄=16 - der Mittelwert
• s=8,3904708 - Standardabweichung

Für Satz II

• x̄=16 - der Mittelwert
• s=2,3664319 - Standardabweichung

In Satz I wichen die Zahlen erheblich vom Stichprobenmittelwert ab (s=8,39), während in Satz II die Variabilität im Vergleich zu Satz I gering ist (s=2,36).

Formeln zur Berechnung der Standardabweichung

Diese Formel wird angewendet, wenn alle Werte der Grundgesamtheit analysiert werden.

$$σ = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-μ)^2}{N}}$$

• σ ist die Standardabweichung der Grundgesamtheit,
• xᵢ ist der Wert eines einzelnen Wertes der Grundgesamtheit,
• μ ist das arithmetische Mittel der Grundgesamtheit,
• n ist die Größe der Grundgesamtheit.

Die nachstehende Formel wird verwendet, wenn die Grundgesamtheit sehr groß ist und nur ihre Stichprobe für die Analyse genommen wird.

$$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}$$

• s ist die Standardabweichung der Stichprobe,
• xᵢ ist der Wert eines einzelnen Stichprobenwertes,
• x̄ ist der Mittelwert der Stichprobe,
• n ist der Stichprobenumfang.

Berechnung der Standardabweichung

Zur Berechnung der Standardabweichung sind folgende Schritte erforderlich.

Schritt 1: Berechnen Sie den Stichproben-/Bevölkerungsmittelwert. Er ist die Summe aller Datenpunkte geteilt durch die Anzahl der Zählungen N oder n, d. h.

Mittelwert der Stichprobe:

$$\bar{x}=\frac{x₁+x₂+x_3+........+x_n}{n}$$

Durchschnitt der Bevölkerung

$$\mu=\frac{x₁+x₂+x_3+........+x_N}{N}$$

Schritt 2: Berechnen Sie die Abweichungen, indem Sie den Stichproben-/Populationsmittelwert von jedem Datenpunkt abziehen, d. h.

Stichprobenabweichungen:

$$(x₁-\bar{x}), (x₂-\bar{x}), (x_3-\bar{x})........................ (x_n-\bar{x})$$

Abweichungen in der Bevölkerung:

$$(x₁-\ \mu), (x₂-\ \mu), (x_3-\ \mu).................... (x_N-\ \mu)$$

Schritt 3: Berechnen Sie die quadrierten Abweichungen für jeden Datenpunkt.

Quadratische Stichprobenabweichungen:

$$(x₁-\bar{x})^2, (x₂-\bar{x})^2, (x_3-\bar{x})^2........................ (x_n-\bar{x})^2$$

Quadratische Abweichungen der Bevölkerung:

$$(x₁-\ \mu)^2, (x₂-\ \mu)^2, (x_3-\ \mu)^2.................... (x_N-\ \mu)^2$$

Schritt 4: Berechnen Sie die Summe der quadratischen Abweichungen, indem Sie alle einzelnen quadratischen Abweichungen addieren.

Summe der quadrierten Stichprobenabweichungen:

$$SS=(x₁-\bar{x})^2+ (x₂-\bar{x})^2+(x_3-\bar{x})^2……………………+(x_n-\bar{x})^2$$

Summe der quadrierten Abweichungen der Bevölkerung:

$$SS=(x₁-\ \mu)^2+ (x₂-\ \mu)^2+ (x_3-\ \mu)^2...................+ (x_N-\ \mu)^2$$

Schritt 5: Teilen Sie die Summe der quadrierten Abweichungen durch die Anzahl der Freiheitsgrade, um die Varianz zu erhalten. Bei einer Grundgesamtheit dividiert man durch N, bei einer Stichprobe durch n-1.

Stichprobenvarianz

$$ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(xᵢ - \bar{x})^2}{n - 1} $$

Varianz der Bevölkerung

$$ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(xᵢ - \mu)^2}{N} $$

Bei der Berechnung der Varianz einer Stichprobe können wir davon ausgehen, dass wir den Ausdruck für die Berechnungen verwenden werden:

$$\frac{(x-\bar{x})^2}{n}$$

wobei

x̄ ist der Stichprobenmittelwert und n ist der Stichprobenumfang. Eine solche Formel wird jedoch nicht verwendet.

Ein solcher Ausdruck würde keinen guten Schätzwert für die Varianz der Grundgesamtheit liefern. Wenn die Grundgesamtheit sehr groß und die Stichprobe sehr klein ist, würde die mit dieser Formel berechnete Varianz die Varianz der Grundgesamtheit unterschätzen. Dies würde eine zu geringe Varianz aufgrund fehlender Daten ergeben. Durch die Verwendung des Ausdrucks n-1 erhöhen wir also den potenziellen Varianzwert.

Anstatt durch n zu dividieren, wird die Varianz der Stichprobe durch n-1 geteilt. Diese Operation ergibt einen etwas größeren Varianzwert, der näher am tatsächlichen Wert liegt.

Schritt 6: Ziehen Sie die Quadratwurzel aus der resultierenden Zahl. Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel aus der Varianz.

Standardabweichung der Stichprobe

$$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}}$$

Standardabweichung der Bevölkerung

$$\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\frac{\sum_{i}^{N}{{(x_i-\ \mu)}^2\ }}{N}}$$

Beispiel für die Berechnung der Standardabweichung einer Stichprobe

Betrachten wir die folgenden Ergebnisse von n=8 Schülern in der Abschlussprüfung in Physik:

45, 67, 70, 75, 80, 81, 82 und 84.

Der Rechner berechnet die Standardabweichung der Stichprobe anhand der folgenden Schritte:

Schritt 1: Berechnen Sie den Mittelwert.

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i} x_i}{n}=\frac{45+\ 67+\ 70+\ 75+\ 80+\ 81+\ 82+\ 84}{8}=73$$

Schritt 2: Berechnen Sie die Abweichungen

Schritt 3: Berechnen Sie die Quadrate der Abweichungen

Schritt 4: Summieren Sie die quadrierten Abweichungen.

$$SS=\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2=784+36+9+4+49+64+81+121}=1148$$

Schritt 5: Berechnen Sie die Varianz, indem Sie die Summe der quadrierten Abweichungen durch die Freiheitsgrade (n-1) dividieren. Bei einer Grundgesamtheit würde die Varianz in diesem Schritt durch N und nicht durch N-1 geteilt werden. In diesem Fall handelt es sich um eine Stichprobe, d. h. um Daten über einen Teil der Schülerpopulation, nicht über die gesamte Population.

$$s^2=\ \frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}=\frac{1148}{8-1}=164$$

Schritt 6: Nehmen Sie die Quadratwurzel der Varianz, um die Standardabweichung zu erhalten.

$$s=\sqrt{s^2}=\ \sqrt{164}=12,80$$

Anwendungen der Standardabweichung

Mit Hilfe von Streuung und Standardabweichung lässt sich die Streuung der Daten bestimmen. Wenn die Varianz oder Standardabweichung groß ist, sind die Daten stärker gestreut. Diese Informationen sind nützlich, wenn zwei (oder mehr) Datensätze verglichen werden, um festzustellen, welcher mehr (am meisten) variiert.

In der Industrie wird die Standardabweichung häufig für die Qualitätskontrolle verwendet. In der Großserienproduktion müssen bestimmte Produktmerkmale innerhalb eines bestimmten Bereichs liegen, der durch die Berechnung der Standardabweichung zugänglich ist. Bei der Herstellung von Schrauben und Muttern zum Beispiel muss die Abweichung der Durchmesser gering sein, da die Teile sonst nicht zusammenpassen.

Die Standardabweichung wird im Finanzwesen und in vielen anderen Bereichen zur Risikobewertung verwendet. In der technischen Analyse wird die Standardabweichung verwendet, um Bollinger-Linien zu konstruieren und die Volatilität zu berechnen.

Außerdem wird die Standardabweichung im Finanzwesen als Maß für die Volatilität verwendet, und in der Soziologie wird sie bei Meinungsumfragen zur Berechnung der Unsicherheit eingesetzt.

Die Varianz und Standardabweichung werden verwendet, um die Anzahl der Datenwerte zu bestimmen, die in ein bestimmtes Verteilungsintervall fallen. Das Tschebyscheff-Theorem zeigt zum Beispiel, dass bei jeder Verteilung mindestens 75 % der Datenwerte innerhalb von 2 Standardabweichungen des Mittelwerts liegen.

Nehmen wir ein einfaches Beispiel aus dem Bereich des Klimas. Nehmen wir an, wir untersuchen die Tagestemperaturen von zwei Städten in derselben Region. Eine Stadt liegt an der Küste und die andere im Landesinneren. Die durchschnittliche Tageshöchsttemperatur in diesen beiden Städten mag gleich sein. Aber die Standardabweichung, d. h. die Streuung der Tageshöchsttemperaturen, wird für die Stadt auf dem Festland größer sein, und die Küstenstadt wird eine geringere Standardabweichung der Tageshöchsttemperaturen aufweisen.

Das bedeutet, dass in einer kontinentalen Stadt die maximale Lufttemperatur an einem bestimmten Tag des Jahres stärker schwankt als in einer Stadt an der Küste. Das heißt, die Küstenstadt wird ein milderes Klima haben.