Steigungsrechner

Steigungsrechner

Der Steigungsrechner ist ein einfaches Online-Tool, mit dem Sie die Steigung einer geraden Linie ermitteln können. In der Mathematik ist die Steigung einer Geraden definiert als die Änderung der vertikalen Koordinate (y-Koordinate) im Verhältnis zur Änderung der horizontalen Koordinate (x-Koordinate).

Verwendete Notation

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Die Steigung wird mit dem Buchstaben m bezeichnet. Die obige Grafik veranschaulicht alle anderen im Rechner verwendeten Notationen. Der Slope Finder kann Berechnungen in zwei verschiedenen Szenarien durchführen:

1. Wenn die Koordinaten der beiden Punkte auf der Linie bekannt sind. In der Grafik haben die beiden Punkte die Koordinaten (x₁,y₁) und (x₂,y₂). In diesem Fall ermittelt der Taschenrechner die Steigung der Geraden, m.

2. Wenn wir die Koordinaten eines Punktes (x₁,y₁), den Abstand d und die Steigung einer Geraden kennen, ermittelt der Rechner die Koordinaten des zweiten Punktes auf der Geraden, (x₂,y₂).

In beiden Fällen gibt der Rechner auch andere fehlende Eigenschaften der Linie zurück: die horizontale Änderung ∆x, die vertikale Änderung ∆y, den Neigungswinkel θ, die Länge der Linie oder den Abstand d.

Hinweise zur Verwendung

Bestimmen Sie zunächst die bekannten Werte und wählen Sie den passenden Rechner. Wenn die Koordinaten der beiden Punkte bekannt sind, wählen Sie "Wenn die 2 Punkte bekannt sind".

Wenn Sie nur die Koordinaten eines der Punkte kennen, benötigen Sie für die Berechnungen den Abstand d und die Steigung m. Wählen Sie in diesem Fall "Wenn 1 Punkt und die Steigung bekannt sind".

Wenn die 2 Punkte bekannt sind

Geben Sie die bekannten Koordinaten der Punkte in die entsprechenden Felder ein und drücken Sie dann auf "Berechnen". Der Rechner gibt die folgenden Informationen zurück:

• die Steigung m,
• den Neigungswinkel θ,
• die Länge der Linie d,
• die horizontale Änderung ∆x,
• die vertikale Änderung ∆y.

Der Rechner zeigt Ihnen auch die Formeln, mit denen Sie die Steigung und alle anderen charakteristischen Werte der Geraden ermitteln können. Der Rechner zeigt die entsprechende Gleichung der Linie an und stellt die Linie zur visuellen Darstellung schematisch dar.

Wenn 1 Punkt und die Steigung bekannt sind

Geben Sie die bekannten Koordinaten des Punktes, den Abstand und die Steigung in die entsprechenden Felder ein. Beachten Sie, dass Sie anstelle der Steigung auch den Wert des "Neigungswinkels (theta o θ)" eingeben können. Der Wert von θ muss in Grad eingegeben werden. Es muss nur einer dieser Werte eingegeben werden (entweder m oder θ). Angenommen, sowohl m als auch θ werden eingegeben. In diesem Fall wird der Rechner den Wert von θ ignorieren und nur die Steigung m für die Berechnungen verwenden.

Drücken Sie "Berechnen". Der Rechner gibt die folgenden Informationen zurück: die Koordinaten des zweiten Punktes (x₂,y₂), die horizontale Änderung ∆x, die vertikale Änderung ∆y und die Länge der Linie d. Wenn für die Berechnungen die Steigung m verwendet wurde, würde der Rechner auch den Wert von θ zurückgeben. Wenn Sie für die Berechnungen den Steigungswinkel θ verwendet haben, würde der Rechner den Wert von m in der Antwort zurückgeben. Außerdem zeigt der Rechner die entsprechende Gleichung der Linie an und zeichnet die Linie zur visuellen Darstellung schematisch ein.

Steigungsformel

Wie bereits erwähnt, ist die Steigung einer Linie definiert als die Änderung der vertikalen Koordinate (y-Koordinate) einer Linie im Verhältnis zur Änderung der horizontalen Koordinate (x-Koordinate):

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=\frac{∆y}{∆x}=tanθ$$

Die obige Gleichung wird Steigungsformel genannt. Mit ihr können wir die Steigung einer beliebigen Linie ermitteln, wenn die Koordinaten von zwei Punkten auf der Linie bekannt sind. Die Steigung wird üblicherweise als m bezeichnet. Sie wird verwendet, um die Richtung der Linie sowie ihre Steilheit zu beschreiben:

• Wenn die Linie von links nach rechts aufwärts verläuft, dann ist y₂>y₁, wenn x₂>x₁. Die Steigung wird immer positiv sein, m>0. In diesem Fall sagen wir, dass die Linie ansteigend ist.

• Wenn die Linie von links nach rechts abwärts verläuft, dann ist y₂< y₁, wenn x₂>x₁. Die Steigung ist dann negativ, m<0. In diesem Fall sagen wir, dass die Linie absteigend ist.

• Wenn die Linie horizontal verläuft, dann ist y₂=y₁ und y₂-y₁=0. Dann ist auch die Steigung gleich Null: m=0.

• Wenn die Linie vertikal verläuft, dann ist x₂=x₁ und x₂-x₁=0. Die Formel für die Steigung hat dann eine Null im Nenner und die Steigung ist undefiniert.

Geradengleichung

Wir können jede lineare Gleichung in der folgenden Form schreiben:

$$y=mx+b$$

Diese Form der linearen Gleichung wird als Steigungs-Absatz-Form bezeichnet. Die Darstellung dieser Gleichung ist eine Gerade, wobei m die Steigung der Geraden ist. Und B ist die Koordinate, an der der Graph die y-axis schneidet. B wird manchmal auch als y-intercept der Geraden bezeichnet, da y=b, wenn x=0.

Wenn die Koordinaten eines Punktes auf der Geraden und die Steigung bekannt sind, können wir die Geradengleichung in der so genannten Punkt-Steilheit-Form schreiben:

$$y-y₁=m(x-x₁)$$

Diese Form der Geradengleichung ist nützlich, um den $y-intercept$ einer Geraden zu finden.

Berechnungsbeispiel

Nehmen wir an, wir kennen die Koordinaten der beiden Punkte auf der Geraden.

Gegeben:

$$x₁=1$$

$$y₁=1$$

$$x₂=9$$

$$y₂=25$$

Lassen Sie uns zunächst die Steigung dieser Linie bestimmen:

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=\frac{∆y}{∆x}$$

$$m=\frac{25-1}{9-1}=\frac{24}{8}=3$$

$$m=3$$

Lassen Sie uns nun die anderen charakteristischen Werte der Linie finden. Wir wissen, dass m=tanθ. Daher können wir den Neigungswinkel θ wie folgt ermitteln:

$$\theta=\arctan{\left(m\right)}= arctan\frac{∆x}{∆y} = 71.565051177078°$$

Außerdem,

$$∆x=9-1=8$$

$$∆y=25-1=24$$

Wir können den Abstand d mit Hilfe des Satzes von Pythagoras ermitteln. Er besagt, dass das Quadrat der Länge der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Längen der Schenkel des rechtwinkligen Dreiecks ist.

Wenden wir dieses Theorem auf unser Dreieck an, erhalten wir:

$$d^2=∆x2+∆y2$$

Daraus folgt,

$$d=∆x2+∆y2$$

$$d=\sqrt{8^2+{24}^2}=\sqrt{640}$$

$$d=25,298221281347$$

Um den y-intercept der Geraden zu finden, schreiben wir die Geradengleichung in der Punkt-Steilheit-Form und setzen unsere gegebenen Werte für m, x₁ und y₁ ein:

$$y-1=3\left(x-1\right)$$

$$y=3x-2$$

Daher ist y=-2 der y-intercept der Geraden, oder, anders ausgedrückt, wenn x=0, y=-2.

Wenn y=0:

$$x=\frac{2}{3}=0,66666666666667$$

Die Skizze veranschaulicht die entsprechende Linie. In unserem Fall ist die Steigung positiv, m>0, und wir können sehen, dass die Linie ansteigt - sie geht von links nach rechts nach oben. Wir können auch sehen, dass die Linie ziemlich steil ist, da der Neigungswinkel θ ca. ≈ 72° beträgt.