Volumenberechner

Jedes feste dreidimensionale Objekt nimmt einen gewissen Raum ein. Denken Sie an den Raum, den unser Handy einnimmt, wenn es auf dem Tisch liegt, an einen Wasserbehälter in der Nachbarschaft oder einfach an einen Fußball auf einem Spielfeld.

Wir können das Volumen als den von einem Objekt eingenommenen Raum definieren. Das Volumen kann sich auch auf das Fassungsvermögen des Objekts beziehen. Anstatt an den Platz zu denken, den der Wasserbehälter in unserer Garage einnimmt, können wir an das Fassungsvermögen oder die Menge an Wasser denken, die der Behälter speichern kann.

Die Berechnung des Volumens wird in verschiedenen Disziplinen der Wissenschaft und Mathematik verwendet.

Der Volumenrechner unterstützt mehrere Messungen bei der Berechnung des Volumens. Außerdem zeigt der Rechner die Formel und einen schrittweisen Berechnungsprozess an. Dieser Artikel bietet eine einfache, aber ausreichende Erklärung des Volumen- und Volumenformel-Rechners mit realen Beispielen.

Einheiten und Maßeinheiten

Um die Zuverlässigkeit und Genauigkeit unseres Urteils zu verbessern, benötigen wir eine Standardmaßeinheit. Zur Vereinheitlichung benötigen wir einen standardisierten Satz von Maßeinheiten, die so genannten Standardeinheiten.

Die Volumeneinheit des SI (Internationales Einheitensystem) ist der Kubikmeter m³. Das Volumen einiger kleiner Objekte kann jedoch in kleineren Einheiten angegeben werden, wie z.B. Kubikzentimeter cm³ oder Kubikmillimeter mm³, wenn das Objekt zu klein ist.

Andererseits steht es dem Benutzer frei, die Einheit anzugeben, die für seine Anwendung am besten geeignet ist. Der Volumenrechner unterstützt zwei Maßsysteme: das metrische System, das imperiale System und die US Customary Units. Der Benutzer hat die Freiheit, zwischen den folgenden Einheiten zu wählen:

• Kilometer,
• Meter,
• Zentimetern,
• Millimetern,
• Mikrometern,
• Nanometer,
• Angström,
• Meilen,
• Yards,
• Fuß,
• Zoll.

Wenn wir Formeln zur Berechnung des Volumens verwenden, müssen wir mit homogenen Maßeinheiten arbeiten. Daher konvertieren wir in der Regel alle Maße in dieselbe Einheit, um die Berechnungen zu vereinfachen.

Nehmen wir zum Beispiel die Berechnung des Volumens eines Zylinders mit einer Höhe von 75 cm und einem Radius von 0,5 m. Wir konvertieren entweder die Höhe in Meter und berechnen das Volumen in Kubikmetern oder wir konvertieren den Radius in Zentimeter und finden das Volumen in Kubikzentimetern.

Wie wäre es, wenn Sie die Höhe in Zoll und den Radius in Nanometern angeben könnten? Der Rechner führt auch diese Einheitenumrechnung durch und zeigt die Schritte an.

Mit diesem Rechner kann der Benutzer für jede Maßeinheit eine andere Einheit wählen, und der Volumenformel-Rechner gibt das Volumen zurück.

Nehmen wir das Beispiel, dass die Höhe des Zylinders 5 Zoll und der Radius 10506070 Nanometer beträgt. Wir navigieren zum Abschnitt Zylindervolumen-Rechner und geben die Werte für Radius und Höhe mit den richtigen Einheiten aus der Dropdown-Liste ein.

Der Rechner gibt zunächst das Volumen 2,6874044006564 Zoll³ (in Kubikzoll) und 4,4038667907438E+22 Nanometer³ (kubische Nanometer) zurück. Warum ist das so? Weil dies die Maßeinheiten sind, die wir in unserer Eingabe verwendet haben, geht der Rechner davon aus, dass wir das Volumen mit einer dieser Einheiten berechnen müssen. Das Volumen des Zylinders zeigt die beiden Möglichkeiten der Berechnung zusammen mit der Einheitenumrechnung!

Der Volumenrechner: Umfang, Funktionen und Beispiele

Die Methoden zur Berechnung des Volumens können von einer Figur zur anderen variieren. Bei einigen geometrischen Formen werden standardmäßige arithmetische Formeln verwendet, um ihr Volumen auf der Grundlage ihrer Eigenschaften, wie Kantenlänge oder Radius, zu berechnen.

Andere geometrische Formen sind komplexer, und Sie können ihr Volumen nicht direkt berechnen. In diesem Fall werden fortschrittliche Berechnungsmethoden wie die geometrische Integration und die Finite-Elemente-Methode verwendet. Der Volumenrechner unterstützt eine breite Palette von Objekten zur Berechnung ihres Volumens.

Kugel

Eine Kugel ist das dreidimensionale Äquivalent eines Kreises. Ein Beispiel für eine Kugel ist jeder runde Ball (Baseball, Basketball, etc.). Die Volumenformel für eine Kugel lautet wie folgt:

$$V_{Kugel}=\frac{4}{3}π r^3$$

Wir können feststellen, dass das Volumen einer Kugel nur vom Radius (r) der Kugel abhängt. Der Radius ist definiert als die Entfernung zwischen dem Mittelpunkt der Kugel und einem beliebigen Punkt auf der Oberfläche. Wenn wir davon ausgehen, dass ein Baseball einen Radius von r = 3,65 cm hat, können wir mit dem Rechner für das Volumen einer Kugel das Volumen ermitteln:

$$Volumen = \frac{4}{3}πr^3 = \frac{4}{3} × π × 3,65^3 = 203,68882488692 \ Zentimeter^3$$

Kegel

Ein Kegel ist eine geometrische Form, die aus einer kreisförmigen Basis und einem Scheitelpunkt besteht, der als Apex bezeichnet wird, wobei alle Punkte des Basisumfangs durch Liniensegmente mit dem Apex verbunden sind. Wir können die Eigenschaften des Kegels mit zwei Maßen definieren: dem Radius der kreisförmigen Basis (r) und der Höhe zwischen dem Mittelpunkt der Basis und dem Scheitelpunkt (h).

Das Volumen eines Kegels lässt sich wie folgt ausdrücken:

$$V_{Kegel}=\frac{1}{3}{π r}^2h$$

r ist der Radius und h ist die Höhe des Kegels

Nehmen wir an, Sie veranstalten eine Geburtstagsparty und möchten kegelförmige Partyhüte basteln, die dann später als Popcorntüten verwendet werden.

Wenn Sie sich für Kegelhüte mit einem Radius von 7,5 cm und einer Höhe von 0,45 m entscheiden, können Sie mit dem Kegelvolumen-Rechner das Volumen jedes Kegelhutes berechnen.

0,45 Meter = 45 Zentimeter

$$Volumen = \frac{1}{3}πr^2h = \frac{1}{3} × π × 7,52^2 × 45 = 2650,7188014664 \ Zentimeter^3$$

Das bedeutet, dass Sie am Ende der Party so viel Popcorn in Ihre Tüte packen können.

Würfel

Wer hatte nicht schon einmal die Gelegenheit, mit einem Rubik's Cube zu spielen?

Dies ist ein geometrisches Objekt mit 8 Eckpunkten und 6 gleichen Seiten. Das Volumen eines Würfels hängt nur von der Länge der Würfelseite (a) ab.

$$V_{Würfel}=a^3$$

Wir beschlossen, 30 Rubik-Würfel für unser Entwicklungszentrum zu kaufen, damit die Kinder ihre kognitiven Fähigkeiten verbessern können. Wir gingen in den Laden und fanden die richtigen Würfel für das Design und den Preis. Die Seitenlänge des Würfels beträgt 5,7 Zentimeter. Leider hat der Verkäufer im Laden nur eine Schachtel, in der alle Würfel für den einfachen Transport gestapelt werden können. Der Karton ist würfelförmig und hat eine Seitenlänge von 20 Zentimetern. Werden alle unsere Würfel in diese Schachtel passen?

Das Volumen der Würfel:

$$Volumen = 5,7³ = 185,19\ Zentimeter³$$

Das Gesamtvolumen von 30 Würfeln wäre

$$185,19 × 30 = 5.555,7\ Zentimeter³$$

Das Volumen der Kiste:

$$Volumen = 20³ = 8.000\ Zentimeter³$$

Wir haben das Volumen der 30 Würfel mit dem Volumen der Schachtel verglichen.

$$5.555,7 < 8.000$$

Und es stellte sich heraus, dass die Würfel perfekt in die Kiste passen würden.

Zylinder

Ein Zylinder ist ein geometrisches Prisma mit einer gleichmäßigen kreisförmigen Grundfläche, so als ob mehrere Kreise übereinander gelegt werden, um diese geometrische Form zu bilden. Wie beim Kegel werden die Eigenschaften des Zylinders durch den Radius des Kreises (r) und die Höhe von der Unterseite zur Oberseite des Zylinders (h) definiert. Man kann das Volumen eines Zylinders wie folgt ausdrücken:

$$V_{Zylinder}=π r^2h$$

Berechnen wir das Volumen einer dekorativen zylindrischen Kerze, damit der Handwerker weiß, wie viel Paraffin er für die Herstellung der Kerze benötigt. Die Höhe unserer Kerze wird also 15 Zentimeter und der Durchmesser 8 Zentimeter betragen. Anhand des Durchmessers können wir den Radius berechnen, der 4 Zentimeter betragen wird. Wir kommen also zu folgendem Ergebnis:

$$Volumen = πr^2h = π × 4^2 × 15 = 240π = 753,98223686155\ Zentimeter^3$$

Rechteckiger Tank

Ein rechteckiger Tank ist eine Würfelvariante, bei der alle Kanten senkrecht, aber nicht unbedingt gleich sind. Dieses geometrische Objekt wird durch eine Länge (l) und eine Breite (w) definiert, die ein zweidimensionales Rechteck darstellen, sowie durch eine Höhe (h), die diese dreidimensionale Erweiterung des Rechtecks bildet. Das Volumen des rechteckigen Tanks lässt sich also wie folgt ausdrücken:

$$V_{Rechteckiger\ Tank}=l × w × h$$

Ein universelles Beispiel für einen rechteckigen Tank ist der Schiffscontainer. Die ISO-Standardmaße für Schiffscontainer sind:

• Breite = 2,43 m
• Höhe = 2,59 m
• Länge = 6,06 m oder 12,2 m

Da die Maße nach ISO genormt sind, sind auch die Volumina genormt. Setzen Sie die Maße in den Rechner für das Volumen des rechteckigen Tanks ein, um das Volumen zu ermitteln. Führen Sie die Berechnungen für beide Längenwerte, 6,06 m und 12,2 m, durch.

$$Volumen = 6,06 × 2,43 × 2,59 = 38,139822\ Meter³$$

und

$$Volumen = 12,2 × 2,43 × 2,59 = 76,78314\ Meter³$$

Komplexere dreidimensionale geometrische Formen

Wir können andere geometrische Formen mit geometrischen Grundformen kombinieren. Wie groß ist das Volumen dieser Figur?

Wir sehen, dass das Objekt aus einem Zylinder und einem Kegel auf der Oberseite besteht. Daher können wir sagen, dass das Volumen des Objekts die Summe aus dem Volumen des Zylinders und dem Volumen des Kegels ist:

$$V_{Objekt}=V_{Zylinder}+V_{Kegel}$$

Sowohl der Zylinder als auch der Kegel haben einen Durchmesser von 4 cm. Wir können also sagen, dass

$$r_{Zylinder}=r_{Kegel}=\frac{4}{2}=2\ cm$$

Außerdem,

$$h_{Objekt}=h_{Zylinder}+h_{Kegel}$$

Vorausgesetzt, dass

$$h_{Objekt}=10\ cm$$

und

$$h_{Kegel}=3\ cm$$

können wir interpretieren, dass

$$h_{Zylinder}=7\ cm$$

Wir können die Werte nun wie folgt in den Volumenrechner einsetzen:

$$V_{Objekt}=V_{Zylinder}+V_{Kegel}=87,96\ cm^3+12,56\ cm^3$$

$$V_{Objekt}=100,52\ cm^3$$

Dieses Beispiel soll Ihnen helfen, die kommenden geometrischen Formen, die der Volumenrechner unterstützt, besser zu verstehen.

Kapsel

Die Kapsel ist eine der häufigsten Formen medizinischer Pillen. Anhand des vorangegangenen Beispiels können Sie verstehen, dass eine Kapsel aus einem Zylinder mit zwei Halbkugeln auf zwei gegenüberliegenden Flächen besteht.

Die beiden Halbkugeln können sich zu einer einzigen Kugel addieren, und wir können sagen, dass das Volumen einer Kapsel die Summe aus dem Volumen eines Zylinders und dem Volumen einer Kugel ist.

$$V_{Kapsel} = πr^2h + \frac{4}{3}πr^3 = πr^2(\frac{4}{3}r + h)$$

Dabei ist r der Radius und h die Höhe des zylindrischen Teils.

Dank des Kapselvolumen-Rechners müssen Sie nicht das Volumen des Zylinders berechnen und es zu dem der Kugel addieren, um das Volumen der Kapsel zu ermitteln. Der Benutzer kann direkt die Höhe und den Radius eingeben, und der Rechner gibt das Volumen der Kapsel aus.

Pharmazeutische Wissenschaftler, die Medikamente analysieren, entwickeln und herstellen, versuchen immer, ein gutes Kapselvolumen zu finden. Die Kapsel sollte die benötigte Menge an Medikamenten pro Kapsel speichern. Daher variieren die Wissenschaftler die Abmessungen der Kapsel (Höhe und Radius), um das Volumen entsprechend anzupassen.

Kugelkapsel

Im vorherigen Beispiel wurde die Halbkugel als halbe Kugel bezeichnet. Eine kugelförmige Kappe hingegen ist ein Teil der Kugel, wenn diese durch eine Ebene geschnitten wird. Die Halbkugel ist ein Sonderfall einer Kugelhaube, bei der die Kugel in zwei gleiche Teile geteilt wird. Das Volumen einer Halbkugel ist also halb so groß wie das Volumen einer Kugel.

Die Abbildung unten zeigt ein Beispiel für eine Kugelhaube, wobei (r) der Radius der Basis, (R) der Radius der Kugel und (h) die Höhe der Kugelhaube ist. Es besteht eine Beziehung zwischen diesen Variablen. Es reicht also aus, zwei dieser Werte zu kennen, um den dritten zu berechnen.

• Gegeben r und R; $h=R±\sqrt{R^2+r^2}$
• Gegeben r und h; $R=\frac{h^2+r^2}{2h}$
• Gegeben R und h; $r=\sqrt{2Rh\ -h^2}$

wobei:

• r ist der Radius der Basis,
• R ist der Radius der Kugel,
• h die Höhe der Kugelhaube ist.

Das Volumen einer kugelförmigen Kappe kann wie folgt geschrieben werden:

$$V_{Kugelkapsel}=\frac{1}{3}π h^2(3R-h)$$

Es genügt, zwei der drei Variablen der kugelförmigen Kappe einzugeben. Nehmen wir zum Beispiel an, dass R = 1m und r = 0,25m ist. Der Rechner findet zwei mögliche Volumina: 0,00313 m³ und 4,1856 m³. Warum ist das so?

Wir erinnern uns an Folgendes

$$h=R±\sqrt{R^2+r^2}$$

sehen wir, dass h zwei Werte annehmen kann, wenn die Werte von r und r gegeben sind

$$h_1=R+\sqrt{R^2+r^2}$$

und

$$h_2=R-\sqrt{R^2+r^2}$$

Das erklärt den unterschiedlichen Volumenwert bei $h_1$ und $h_2$.

Außerdem sollte die Ungleichung R ≥ r immer gelten, sonst gibt der Rechner eine Fehlermeldung aus: "Der Basisradius kann nicht größer sein als der Kugelradius." Dieser Fehler ist hilfreich, wenn der Benutzer die Werte R und r vertauscht.

Konisches Frustum

Diese Form erhalten wir, indem wir einen Kegel mit einem horizontalen Schnitt parallel zu seiner kreisförmigen Oberfläche zerschneiden. Dadurch ergeben sich zwei kreisförmige und zwei parallele Oberflächen.

Ein kegelstumpfförmiges Volumen kann wie folgt definiert werden:

$$V_{Konisches\ Frustum}=\frac{1}{3}π h(r^2+rR+R^2)$$

Dabei ist h die Höhe zwischen dem Mittelpunkt der unteren und der oberen Fläche, r ist der Radius der oberen Fläche und R ist der Radius der unteren Fläche, so dass R ≥ r ist.

Stellen Sie sich vor, Sie gehen in eine Konditorei und sehen einen Lavakuchen, auf dem steht, dass er 35% geschmolzene Schokolade enthält.

Wenn Sie ein echter Mathematikliebhaber wären und dies in ein mathematisches Problem umsetzen möchten, würde Sie vielleicht das Volumen der Schokolade im Inneren Ihres Kuchens interessieren. Nun, messen Sie den oberen und unteren Radius zusammen mit der Höhe, um das Volumen des gesamten Kuchens zu berechnen.

Nehmen wir an, die Maße sind r = 16 cm, R = 20 cm und h = 10 cm.

Dann können wir das Volumen des Kuchens ermitteln, indem wir die Werte einfach in den Kegelstumpf-Volumen-Rechner einfügen.

$$Volumen=\frac{1}{3}π h(r^2+rR+R^2)=\frac{1}{3}π 10(16^2+16×20+20^2)= 10220,648099679 \ Zentimeter^3$$

Außerdem sind 35% von 10.220,65 cm³ etwa 3.577,23 cm³ Schokolade.

Ellipsoid

Wenn eine Kugel durch gerichtete Skalierung verformt wird, entsteht eine Oberfläche, die als Ellipsoid bekannt ist. Man kann sich ein Ellipsoid als eine gestreckte Kugel vorstellen, bei der die Abstände zwischen dem Mittelpunkt des Ellipsoids und verschiedenen Punkten auf der Oberfläche nicht gleich sind.

Das Ellipsoid hat also drei Achsen, und das Volumen des Ellipsoids wird in Bezug auf den Radius vom Mittelpunkt zu jeder dieser Achsen definiert. Die drei Radiuswerte werden mit a, b und c bezeichnet.

Wir denken immer an runde Kugeln, wenn wir über Bälle sprechen, aber es gibt auch ellipsoidische Bälle! Sehen Sie sich den Rugby-Ball an. Nehmen wir an, dass die Abmessungen a = 9,3 cm, b = 9,3 cm und c = 14,3 cm sind.

Das Volumen eines Ellipsoids ist gegeben als:

$$V_{Ellipsoid}=\frac{4}{3}π abc$$

Die Reihenfolge von a, b und c ist unwichtig; es ist in Ordnung, sie zu vertauschen.

Mit Hilfe des Ellipsoid-Volumenrechners können wir das Volumen unseres Rugbyballs ermitteln.

$$Volumen=\frac{4}{3}π abc=\frac{4}{3}× π × 9,3 × 9,3 × 14,3 = 5180,7250468112 \ Zentimeter^3$$

Quadratische Pyramide

Wenn Sie von Pyramiden sprechen, denken Sie vielleicht an die alten Pyramiden in Ägypten. Eine quadratische Pyramide besteht aus einer quadratischen Basis mit einer Spitze, wobei die Punkte auf dem Umfang des Basisquadrats mit dieser Spitze verbunden sind. Das Volumen kann wie folgt berechnet werden:

$$V_{Quadratische\ Pyramide}=\frac{1}{3}a^2h$$

Dabei ist a die Kante der quadratischen Grundfläche und h die Höhe von der Mitte der quadratischen Grundfläche bis zum Scheitelpunkt.

Wir nehmen die Abmessungen der Cheops-Pyramide, wie sie ursprünglich gebaut wurde: h = 146,6 m und a = 230,33 m. Das Volumen der Cheops-Pyramide lässt sich wie folgt berechnen:

$$Volumen=\frac{1}{3}a^2h = \frac{1}{3}230,33^2 × 146,6 = 2.592.469,9482467\ meters^3$$

Rohr

Anders als ein Zylinder hat ein Rohr einen Außen- und einen Innendurchmesser. Daher muss das Volumen des Rohrs den Unterschied zwischen den Durchmessern berücksichtigen.

$$V_{Rohr}=π\frac{d_1^2-d_2^2}{4}l$$

Wie Sie bereits erraten haben, sind d₁ und d₂ der Außen- bzw. Innendurchmesser des Rohrs. l ist die Länge des Rohrs.

Lassen Sie uns die Formel verwenden, um das Volumen des Betonrings für den Brunnen zu berechnen, den wir auf dem Grundstück unseres Hauses graben werden. Die Höhe unseres Rings beträgt 0,89 Meter, der Außendurchmesser 1,16 Meter und der Innendurchmesser 1 Meter.

Wir haben also die folgende Berechnung:

$$Volumen=π\frac{1,16^2-1^2}{4} × 0,89 = 0,076896 π = 0,24\ Meter^3$$