Z-Score-Rechner

Der Z-Score-Rechner kann für alle Arten von Z-Score-bezogenen Berechnungen verwendet werden. Sie können einen Rohwert (X), den Populationsmittelwert ( μ) und die Standardabweichung (σ) in den ersten Rechner eingeben, um den Z-Score mit Schritten und zugehörigen Wahrscheinlichkeiten für diesen Zeilenwert zu ermitteln.

Der Z-Score und Wahrscheinlichkeits-Konverter hilft Ihnen, zwischen Z-Scores und Wahrscheinlichkeiten zu konvertieren, ohne auf eine Z-Tabelle zu verweisen. Die Ergebnisse enthalten alle möglichen Wahrscheinlichkeitsberechnungen mit diesem einen Z-Score. Verwenden Sie den letzten Rechner, um die Wahrscheinlichkeit zwischen 2 Z-Scores zu ermitteln.

Was ist ein z-Score?

Der Z-Score ist ein statistisches Maß, das die Anzahl der Standardabweichungen eines Datenpunkts vom Mittelwert eines Datensatzes beschreibt. Der Z-Score wird verwendet, um einen einzelnen Datenpunkt mit dem gesamten Datensatz zu vergleichen und hilft dabei, die Daten zu standardisieren, so dass sie leichter zu vergleichen und zu analysieren sind.

Anhand des Z-Scores lässt sich feststellen, wie "typisch" oder umgekehrt "untypisch" ein einzelner Datenpunkt im Vergleich zum gesamten Datensatz ist.

• Ausreißer erkennen: Z-Werte können uns helfen, Datenpunkte zu identifizieren, die sich signifikant vom Rest der Daten unterscheiden. Dies ist in Bereichen wie dem Finanzwesen und der medizinischen Forschung nützlich, wo Ausreißer auf wichtige Muster oder Anomalien hinweisen können.
• Vergleichen Sie Daten aus verschiedenen Gruppen: Mit dem Z-Score können wir Daten aus verschiedenen Datensätzen vergleichen, auch wenn sie unterschiedliche Einheiten oder Bereiche haben. Dies ist in Bereichen wie dem maschinellen Lernen nützlich, wo Sie Daten aus verschiedenen Quellen vergleichen müssen, um Modelle zu erstellen.
• Daten normalisieren: Durch die Konvertierung von Daten in Z-Scores können wir Daten standardisieren und sie so leichter vergleichen und analysieren. Dies ist in Bereichen wie der Datenvisualisierung nützlich, wo wir Daten auf verständliche Weise darstellen müssen.

Die Z-Score-Formel

Der Z-Score für eine Population

Z = Rohpunktzahl - Populationsmittelwert / Populationsstandardabweichung

Z = (X - μ) / σ

Der Z-Score für eine Stichprobe

Z = Rohwert - Stichprobenmittelwert / Stichprobenstandardabweichung

Z = (X - x̄) / s

Interpretation der Ergebnisse des erhaltenen Z-Scores

Positiver Z-Score: Ein positiver Z-Score bedeutet, dass Ihr Datenpunkt über dem Durchschnittswert des Datensatzes liegt. Mit anderen Worten: Ihr beobachteter Datenpunkt ist höher als der typische Wert des Datensatzes.

Negativer Z-Score: Ein negativer Z-Score bedeutet, dass Ihr Datenpunkt unter dem Durchschnittswert des Datensatzes liegt. Mit anderen Worten: Ihr beobachteter Datenpunkt ist niedriger als der typische Wert des Datensatzes.

Z-Score: Der Z-Score gibt an, wie weit Ihr Datenpunkt vom Durchschnitt des Datensatzes entfernt ist. Je größer der Z-Score ist, desto weiter liegt Ihr beobachteter Datenpunkt vom Durchschnittswert entfernt.

Z-Score und Standardabweichung

Z-Score und Standardabweichung sind miteinander verbunden, da die Standardabweichung zur Berechnung des Z-Scores verwendet wird. In der Tat ist die Standardabweichung eine Schlüsselkomponente der Z-Score-Formel.

Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung des Datensatzes. Sie zeigt, wie weit jeder Datenpunkt vom Durchschnittswert des Datensatzes entfernt ist. Je größer die Standardabweichung, desto größer ist die Streuung der Daten.

Der Z-Score hingegen gibt an, wie weit ein Datenpunkt vom Mittelwert des Datensatzes im Verhältnis zur Standardabweichung entfernt ist. Wenn Sie die Standardabweichung zur Berechnung des Z-Scores verwenden, können Sie einen Datenpunkt mit dem gesamten Datensatz vergleichen und sehen, wie ungewöhnlich oder typisch er ist.

Z-Score und die Normalverteilung

Die Normalverteilung ist eine Verteilungsform, die häufig in der realen Welt vorkommt. Sie ist eine glockenförmige Kurve, die die Verteilung der Daten um den Mittelwert eines Datensatzes darstellt. Die Normalverteilung ist auch als Gaußsche Verteilung bekannt, nach dem Mathematiker Carl Friedrich Gauß.

Der Z-Score ist ein Maß dafür, wie weit ein Datenpunkt vom Mittelwert eines Datensatzes im Verhältnis zur Standardabweichung entfernt ist. Wenn Sie jeden Datenpunkt in einen Z-Score umwandeln, können Sie einen einzelnen Datenpunkt mit dem gesamten Datensatz vergleichen und sehen, wie ungewöhnlich oder typisch er ist.

Die Verbindung zwischen einem Z-Score und einer Normalverteilung besteht darin, dass der Z-Score verwendet werden kann, um die Daten zu standardisieren und sie an eine Normalverteilung anzupassen. Das bedeutet, dass Sie jeden Datensatz in eine Normalverteilung umwandeln können, indem Sie jeden Datenpunkt in einen Z-Score umwandeln. Dies ist nützlich, weil viele statistische Methoden davon ausgehen, dass die Daten normalverteilt sind, so dass die Konvertierung der Daten in eine Normalverteilung Ihnen helfen kann, diese Methoden genauer zu verwenden.

Vergleich der Datenpunkte

Mit Hilfe des Z-Scores können Sie feststellen, wie weit ein Datenpunkt vom Mittelwert eines Datensatzes im Verhältnis zur Standardabweichung entfernt ist.

Unser Beispiel für die Verwendung des Z-Scores zum Vergleich von Datenpunkten gilt für den Finanzbereich. Sie haben beispielsweise in zwei verschiedene Aktienportfolios investiert und möchten deren Leistung vergleichen. Die durchschnittliche Rendite von Portfolio A beträgt 10 % bei einer Standardabweichung von 2 %, die durchschnittliche Rendite von Portfolio B 8 % bei einer Standardabweichung von 3 %. Durch Umrechnung der Renditen in Z-Scores können Sie die Renditen der einzelnen Portfolios vergleichen und feststellen, welches Portfolio besser abschneidet.

Ein weiteres praktisches Beispiel für die Verwendung des Z-Scores zum Vergleich von Datenpunkten ist der Sport. Sie möchten z. B. die Leistung von zwei Basketballspielern, Spieler A und Spieler B, vergleichen. Spieler A erzielt durchschnittlich 20 Punkte pro Spiel bei einer Standardabweichung von 5 Punkten, während Spieler B durchschnittlich 18 Punkte pro Spiel bei einer Standardabweichung von 3 Punkten erzielt. Durch die Umwandlung der Punkte in Z-Score können Sie die Leistungen der beiden Spieler vergleichen und feststellen, welcher Spieler besser abschneidet.

Normalisierung der Daten

Bei der Datennormalisierung werden die Daten in eine Standardskala umgewandelt, damit sie leicht verglichen und analysiert werden können. Dies ist wichtig, da Daten unterschiedliche Formen und Maßstäbe haben können. Durch die Normalisierung der Daten wird sichergestellt, dass sie den gleichen Maßstab haben und leichter verglichen und analysiert werden können.

Indem Sie jeden Datenpunkt in einen Z-Score umwandeln, können Sie die Daten standardisieren und auf dieselbe Skala setzen. Das liegt daran, dass der Z-Score immer auf einer Standardskala liegt, bei der der Mittelwert 0 und die Standardabweichung 1 ist.

Ein praktisches Beispiel für die Verwendung des Z-Scores zur Normalisierung von Daten findet sich im Bereich der Psychologie. Sie möchten zum Beispiel die Ergebnisse von zwei IQ-Tests, Test A und Test B, vergleichen. Test A hat einen Mittelwert von 100 mit einer Standardabweichung von 15, Test B einen Mittelwert von 110 mit einer Standardabweichung von 10. Durch die Umwandlung der Ergebnisse in Z-Scores können die Ergebnisse standardisiert und auf eine einzige Skala reduziert werden, was den Vergleich und die Analyse erleichtert.

Ein weiteres praktisches Beispiel für die Verwendung des Z-Scores zur Normalisierung von Daten findet sich im Bildungswesen. Sie möchten beispielsweise die Noten von zwei Schülern, Schüler A und Schüler B, vergleichen. Schüler A hat eine Durchschnittsnote von 80 mit einer Standardabweichung von 5, und Schüler B hat eine Durchschnittsnote von 90 mit einer Standardabweichung von 3. Indem Sie die Noten in Z-Koeffizienten umwandeln, können Sie die Noten standardisieren und sie alle auf dieselbe Skala bringen, was den Vergleich und die Analyse erleichtert.

Hypothesentest

Hypothesentests sind ein statistisches Verfahren, mit dem festgestellt werden kann, ob es genügend Beweise gibt, um die Nullhypothese oder die Standardannahme, dass es keine Beziehung zwischen zwei Variablen gibt, zu verwerfen. Sie ist in vielen Bereichen wichtig, z. B. in der medizinischen Forschung, in der Sozialwissenschaft und in der Wirtschaft, wo es darauf ankommt, fundierte Entscheidungen auf der Grundlage von Daten zu treffen.

Beim Testen von Hypothesen können Z-Koeffizienten verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines bestimmten Ergebnisses zu bestimmen. Sie könnten beispielsweise testen, ob das Durchschnittsgewicht einer Gruppe von Personen vom Durchschnittsgewicht der Gesamtbevölkerung abweicht. Mithilfe des Z-Koeffizienten können Sie feststellen, ob der Unterschied statistisch signifikant ist.

Ein praktisches Beispiel für die Verwendung des Z-Scores zur Prüfung von Hypothesen findet sich im medizinischen Bereich. Sie wollen zum Beispiel testen, ob ein neues Medikament die Symptome einer bestimmten Krankheit wirksam lindert. Sie können den Z-Score verwenden, um festzustellen, ob der Unterschied bei den Symptomen zwischen der Gruppe, die das Medikament einnimmt, und der Kontrollgruppe statistisch signifikant ist.

Ein weiteres praktisches Beispiel für die Verwendung des Z-Scores zum Testen von Hypothesen findet sich im Bereich der Finanzen. Sie wollen zum Beispiel prüfen, ob eine bestimmte Aktie eine höhere Rendite als der Durchschnitt des Marktes aufweist. Sie können den Z-Score verwenden, um festzustellen, ob der Unterschied in der Rendite statistisch signifikant ist.

Merkmal Skalierung

Die Skalierung von Merkmalen ist eine Technik, die beim maschinellen Lernen und anderen Datenanalyseanwendungen verwendet wird, um sicherzustellen, dass alle Merkmale in einem Datensatz den gleichen Maßstab haben. Dies ist wichtig, da einige Algorithmen für maschinelles Lernen empfindlich auf die Skalierung der Daten reagieren und ungenaue Ergebnisse liefern können, wenn die Skalierung nicht übereinstimmt.

Eine gängige Methode zur Skalierung von Merkmalen ist die Z-Score-Normalisierung, auch bekannt als Standardisierung. Bei diesem Verfahren wird jedes Merkmal so umgerechnet, dass sein Mittelwert 0 und seine Standardabweichung 1 ist. Die Formel zur Berechnung des Z-Scores eines Merkmals lautet wie folgt:

Z = (X - Mittelwert) / Standardabweichung

wobei X der Wert des Merkmals, der Mittelwert der Mittelwert des Merkmals und die Standardabweichung die Standardabweichung des Merkmals ist.

Ein praktisches Beispiel für die Verwendung des Z-Scores zur Skalierung von Merkmalen findet sich im Bereich der Computer Vision. Bei der Arbeit mit Bilddaten ist es in der Regel erforderlich, Pixelwerte so zu skalieren, dass sie im Bereich von 0 bis 1 liegen. Dies kann durch die Normalisierung des Z-Scores erreicht werden, da jeder Pixelwert so transformiert werden kann, dass sein Mittelwert 0 und seine Standardabweichung 1 ist.

Ein weiteres praktisches Beispiel für die Verwendung des Z-Scores zur Skalierung von Merkmalen ist die Verarbeitung natürlicher Sprache. Bei der Arbeit mit Textdaten ist es üblich, die Werte der Termfrequenz und der inversen Dokumentenhäufigkeit (TF-IDF) so zu skalieren, dass sie im Bereich von 0 bis 1 liegen. Dies kann auch durch die Verwendung der Z-Score-Normalisierung erreicht werden.

Vorhersagemodellierung

Die prädiktive Modellierung ist eine Technik, die beim maschinellen Lernen und anderen Datenanalyseanwendungen eingesetzt wird, um auf der Grundlage historischer Daten Vorhersagen zu treffen. Dabei wird ein Modell für einen Datensatz trainiert und dieses Modell verwendet, um Vorhersagen für neue, noch nicht gesehene Daten zu treffen.

Ein wichtiger Aspekt der prädiktiven Modellierung ist die Merkmalsauswahl, d.h. die Auswahl der relevantesten Merkmale aus dem Datensatz zur Verwendung im Modell. Oft werden Merkmale bevorzugt, die stark mit der Zielvariablen korreliert sind, da sie die Zielvariable mit größerer Wahrscheinlichkeit vorhersagen.

Der Z-Score kann zur Identifizierung von Merkmalen verwendet werden, die stark mit der Zielvariablen korreliert sind, da Merkmale mit einem hohen Z-Score die Zielvariable mit größerer Wahrscheinlichkeit vorhersagen können. Die Formel zur Berechnung des Z-Scores eines Merkmals lautet wie folgt:

Z = (X - Mittelwert) / Standardabweichung

wobei X der Wert des Merkmals, der Mittelwert der Mittelwert des Merkmals und die Standardabweichung die Standardabweichung des Merkmals ist.

Ein praktisches Beispiel für die Verwendung des Z-Scores bei der Prognosemodellierung stammt aus dem Finanzbereich. Bei der Vorhersage von Aktienkursen kann der Z-Score der vergangenen Performance einer Aktie zur Bestimmung ihres künftigen Renditepotenzials herangezogen werden. Ein hoher Z-Score zeigt an, dass die Rendite einer Aktie in der Vergangenheit weit über dem Durchschnitt liegt und für die Zukunft höhere Renditen prognostiziert werden können.

Ein weiteres praktisches Beispiel für die Verwendung des Z-Scores bei der Vorhersagemodellierung findet sich im Gesundheitswesen. Bei der Vorhersage von Patientenergebnissen kann der Z-Score verwendet werden, um das Potenzial eines Patienten für zukünftige Ergebnisse zu bestimmen. Ein hoher Z-Score zeigt an, dass die Gesundheitsergebnisse eines Patienten deutlich schlechter sind als der Durchschnitt und kann auf schlechte zukünftige Ergebnisse hindeuten.

Verwendung der Z-Score-Tabelle

Eine z-Tabelle, auch bekannt als Standardnormaltabelle oder Einheitsnormaltabelle, ist eine Tabelle, die standardisierte Werte enthält, die zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit verwendet werden, dass eine bestimmte Statistik unter, über oder zwischen die Standardnormalverteilung fällt.

Um die z-Tabelle zu verwenden, müssen Sie die Zeile finden, die Ihrem berechneten z-Score entspricht, und dann die entsprechende Spalte, die Ihnen die Fläche (Wahrscheinlichkeit) unter der Standardnormalkurve angibt. Der resultierende Wert ist die ungefähre Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable aus einer Standardnormalverteilung kleiner oder gleich dem berechneten z-Score ist.

Wenn Sie zum Beispiel einen z-Score von 1,96 haben, würden Sie in der z-Tabelle die Zeile suchen, die 1,9 entspricht, und die Spalte, die 0,06 entspricht. Der resultierende Wert würde die Fläche unter der Standardnormalkurve rechts von 1,96 ergeben. Dieser Wert beträgt etwa 0,975, was bedeutet, dass etwa 97,5 % der Daten aus einer Standardnormalverteilung kleiner oder gleich 1,96 sind.

Es ist wichtig zu beachten, dass die z-Tabelle nur für eine Standardnormalverteilung mit einem Mittelwert von 0 und einer Standardabweichung von 1 funktioniert. Wenn Ihre Daten nicht dieser Verteilung entsprechen, müssen Sie sie zunächst standardisieren, indem Sie die Daten in z-Werte umwandeln.

Ermittlung der Wahrscheinlichkeit anhand des Z-Scores

Wenn wir eine normalverteilte Variable in einen Z-Score umwandeln, können wir die Z-Score-Tabelle verwenden und den Anteil der Fläche unter der Normalkurve ermitteln. Die Gesamtfläche unter der Standardnormalkurve ist gleich 1. Daher ist der Anteil der Fläche, die von einer Normalkurve abgedeckt wird, gleich der Wahrscheinlichkeit für diesen Z-Score.

Beispiel 1

Die Gewichte der Boxer sind normal verteilt mit einem Mittelwert von 75 kg und einer Standardabweichung von 3 kg. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Gewicht eines zufällig ausgewählten Spielers;

a) Mehr als 78 kg? b) Weniger als 69 kg? c) Mehr als 72 kg? d) Weniger als 79,5 kg? e) Zwischen 72 kg und 76,5 kg? f) Zwischen 72 kg und 73,5 kg?

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Spieler mehr als 78 kg wiegt?

• X > 78
• μ = 75
• σ = 3

$$P(X>78)=P\left(Z>\frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(Z>\frac{78-75}{3}\right)=P(Z>1)$$

Zunächst zeichnen wir dies in einer Z-Kurve.

Nun werden wir die Z-Tabelle verwenden, um die entsprechende Wahrscheinlichkeit für den berechneten Z-Score zu ermitteln.

Denken Sie daran, dass der Z-Score immer die Wahrscheinlichkeit zwischen dem Z-Score und dem Mittelwert angibt. Um die Wahrscheinlichkeit des hervorgehobenen Bereichs in der Grafik zu erhalten, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit von 0,5 reduzieren. (Die Gesamtwahrscheinlichkeit unter der Kurve ist 1, und der Mittelwert der Standardverteilung teilt sich ebenfalls in 2 Teile auf. Daher ist die Wahrscheinlichkeit vom Mittelwert zu beiden Seiten des Endes 0,5).

• P (X > 78) = P (Z > 1)
• P (X > 78) = 0,5 - P(0 < Z < 1)
• P (X > 78) = 0,5 - 0,3413
• P (X > 78) = 0,1587

Es besteht also eine Wahrscheinlichkeit von 0,1587, dass das Gewicht eines zufällig ausgewählten Spielers mehr als 78 kg beträgt.

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Spieler weniger als 69 kg wiegt?

• X < 69
• μ = 75
• σ = 3

$$P(X<69)=P\left(Z>\frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(Z>\frac{69-75}{3}\right)=P(Z<-2)$$

Zunächst zeichnen wir dies in einer Z-Kurve.

Nun werden wir die Z-Tabelle verwenden, um die entsprechende Wahrscheinlichkeit für den berechneten Z-Score zu ermitteln.

Denken Sie daran, dass der Z-Score immer die Wahrscheinlichkeit zwischen dem Z-Score und dem Mittelwert angibt. Um die Wahrscheinlichkeit für den hervorgehobenen Bereich im Diagramm zu erhalten, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit von 0,5 reduzieren.

• P (X < 69) = P (Z < 69)
• P (X < 69) = 0,5 - P (0 > Z > -2)
• P (X < 69) = 0,5 - 0,4772
• P (X < 69) = 0,0228

Es besteht also eine Wahrscheinlichkeit von 0,0228, dass das Gewicht eines zufällig ausgewählten Spielers weniger als 69 kg beträgt.

c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Gewicht eines zufällig ausgewählten Spielers zwischen 72 kg und 76,5 kg liegt?

• 72 < X < 76,5
• μ = 75
• σ = 3

$$P(72 \lt X \lt 76,5)=P\left(\frac{X-μ}{σ} \lt Z \lt \frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(\frac{72-75}{3} \lt Z \lt \frac{76,5-75}{3}\right)=P(-1 \lt Z \lt 0,5)$$

Zunächst zeichnen wir dies in einer Z-Kurve.

Nun werden wir die Z-Tabelle verwenden, um die entsprechende Wahrscheinlichkeit für den berechneten Z-Score zu ermitteln.

Denken Sie daran, dass der Z-Score immer die Wahrscheinlichkeit zwischen dem Z-Score und dem Mittelwert angibt. Um die Wahrscheinlichkeit für den hervorgehobenen Bereich im Diagramm zu erhalten, können Sie die Wahrscheinlichkeiten von 2 Z-Scores addieren.

• P (72 < X < 76,5) = P (-1 < Z < 0,5)
• P (72 < X < 76,5) = 0,3413 + 0,1915
• P (72 < X < 76,5) = 0,5328

Es besteht also eine Wahrscheinlichkeit von 0,5328, dass das Gewicht eines zufällig ausgewählten Spielers zwischen 72 kg und 76,5 kg liegt.

In diesem Fall müssen Sie den Rechner "Wahrscheinlichkeit zwischen zwei Z-Werten" verwenden, um die Antwort schnell zu finden.

Ermittlung der entsprechenden Werte für die angegebene Wahrscheinlichkeit

Wenn wir wissen, dass die Verteilung normal ist, können wir die entsprechenden Werte für bestimmte Wahrscheinlichkeiten auf der Grundlage des Z-Scores finden.

Beispiel 2

Die Noten der Bewerber bei einer Auswahlprüfung sind annähernd normalverteilt, mit einem Mittelwert von 55 und einer Standardabweichung von 10. Ermitteln Sie die Mindestpunktzahl, die erreicht werden muss, wenn die besten 30 % der Bewerber die Prüfung bestehen.

Lösung

In diesem Fall müssen wir zunächst den entsprechenden Z-Score für die gegebene Wahrscheinlichkeit oder den gegebenen Prozentsatz finden.

Um den Z-Score zu ermitteln, müssen wir die Wahrscheinlichkeit in dem hervorgehobenen Bereich bestimmen.

Sie ergibt sich durch Abzug von 0,30 von 0,50. Die Wahrscheinlichkeit für den hervorgehobenen Bereich ist also 0,20.

In der Z-Tabelle müssen wir nun die Wahrscheinlichkeit finden, die am nächsten an 0,20 liegt. Der entsprechende Z-Score ist 0,524.

Dann müssen wir den X-Wert mithilfe der Z-Score-Formel ermitteln.

• Z = (X - μ)/σ
• 0,524 = (X - 55)/10
• X = (0,524 × 10) + 55
• X = 60,24

Daher beträgt die Mindestpunktzahl für das Bestehen der Prüfung 60,24.