Calculadora de desviación estándar y margen de error

La calculadora de desviación estándar determina la desviación estándar de un conjunto de números. También proporciona información adicional sobre los números, incluida la media y la varianza. La calculadora encuentra el intervalo de confianza del conjunto de datos para diferentes niveles de confianza y proporciona la tabla de distribución de frecuencia.

Para usar esta calculadora, ingrese los números en la calculadora separados por comas. Seleccione si los números representan una población o una muestra y haga clic en "Calcular". Con el botón "Borrar", puede borrar los datos de la calculadora para ingresar un conjunto diferente de números.

Desviación Estándar

La desviación estándar es una medida estadística que define el grado de dispersión o variabilidad de un conjunto de datos determinado. Proporciona la distancia promedio agregada de los datos a la media del conjunto. Cuanto menor sea la desviación estándar, más cerca estarán los puntos de datos de la media. Por el contrario, cuanto mayor sea la desviación estándar, más lejos estarán dichos puntos de datos de la media. La desviación estándar es la raíz cuadrada de otra medida de dispersión llamada varianza.

La desviación estándar se calcula en función de la información sobre el conjunto de datos. Si el conjunto de datos representa todos los puntos de datos de interés (población), la desviación estándar se denomina desviación estándar de la población. Sin embargo, si el conjunto de datos representa una muestra de una población, la desviación estándar se denomina desviación estándar de la muestra.

La desviación estándar de la población

La desviación estándar de la población se calcula cuando el conjunto de datos representa la población de interés. Es decir, el conjunto de datos representa todas las observaciones en consideración. La desviación estándar de la población se denota por σ.

σ es la minúscula de una letra griega llamada Sigma. La desviación estándar de la población se calcula usando la fórmula:

$$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}{(x_i-\mu)^2}}{N}}$$

Donde:

• Σ es la letra mayúscula griega Sigma, que se usa para denotar sumatoria en matemáticas;
• xᵢ representa cada uno de los puntos de datos (cada observación del conjunto de datos), comenzando desde el primer punto de datos hasta el N-ésimo (último) punto de datos;
• μ representa la media poblacional;
• n es el tamaño de la población.

Ejemplo de cálculo de la desviación estándar de una población general

El siguiente ejemplo muestra cómo encontrar la desviación estándar de los datos de una población.

Los inversores consideran que las acciones son un activo de riesgo debido a su alta volatilidad en comparación con otros tipos de activos. Un administrador de inversiones desea analizar la volatilidad de algunas acciones en el mes anterior y no recomendará a sus clientes ninguna acción cuya desviación estándar sea mayor o igual a su media, ya que considera que dicha acción es "demasiado riesgosa".

A continuación, se enumeran todos los precios de cierre diarios (en USD) de las acciones del mes anterior. Calcule la desviación estándar y determine si el gerente considera que la acción es "demasiado riesgosa":

1,31, 1,30, 1,36, 1,40, 1,40, 1,41, 1,27, 1,19, 1,15, 1,12, 0,99, 1,00, 0,97, 0,94, 0,88, 0,90, 0,86, 0,88, 0,80, 0,81

Tenga en cuenta que el administrador solo está interesado en los precios de las acciones del mes anterior, y los precios enumerados anteriormente son todos los precios del mes anterior. En consecuencia, tenemos a la población a nuestra disposición. Por lo que calcularemos la desviación estándar usando la fórmula para la desviación estándar de la población.

Para encontrar la desviación estándar, primero calcule la media. Recuerde que la media μ se obtiene dividiendo la suma de los números por la cantidad de números.

$$\mu=\frac{1,31+1,30+1,36+1,40+1,40+1,41+1,27+1,19+1,15+1,12+0,99+1,00+0,97+0,94+0,88+0,90+0,86+0,88+0,80+0,81}{20}=1,097$$

A continuación, reste la media de cada número y eleve al cuadrado la diferencia. Luego sume los resultados y divida el resultado por el número de datos. El resultado se llama varianza σ².

$$\sigma^2=\frac{\left(1,31-1,097\right)^2+\left(1,30-1,097\right)^2+\left(1,36-1,097\right)^2+\left(1,40-1,097\right)^2+\ldots+\left(0,81-1,097\right)^2}{20}=0,045031$$

Finalmente, saque la raíz cuadrada de la varianza para obtener la desviación estándar.

$$\sigma=\sqrt{0,045031}\approx0,21$$

Como puede ver, la desviación estándar de los precios de esta acción para el mes anterior es menor que la media. Por lo tanto, el administrador no considerará esta acción como "muy riesgosa".

Desviación estándar de una muestra

La desviación estándar de una muestra se calcula cuando el conjunto de datos en consideración representa una muestra de la población total. El conjunto de datos representa un conjunto más pequeño de observaciones de todas las observaciones en consideración. La desviación estándar de una muestra se denota por s. La desviación estándar de la muestra se calcula mediante la fórmula:

$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{n-1}}$$

Donde:

• Σ denota suma;
• xᵢ representa cada uno de los puntos de datos;
• x̄ representa la media muestral;
• n es el tamaño de la muestra.

Mostraremos cómo encontrar la desviación estándar de los datos de una muestra usando el mismo ejemplo que para la desviación estándar de la población. Pero en esta situación, el administrador de inversiones no tiene acceso a los precios de cierre de todos los días de negociación del mes anterior. Sin embargo, tiene los precios de cierre de unos 5 días aleatorios del mes anterior. En consecuencia, estimará la desviación estándar de los precios de cierre de las acciones utilizando datos de la muestra disponibles.

Supongamos que tiene los precios de cierre de 5 días:

1,31, 1,40, 0,86, 0,88, 1,40

Tenga en cuenta que el gerente está interesado en los precios de las acciones del mes anterior. Sin embargo, no tiene todos los precios del mes anterior, sino un pequeño subconjunto de los precios de cierre de solo 5 días. Así que en este caso se trata de una muestra. Calcularemos la desviación estándar utilizando la fórmula de desviación estándar de una muestra.

Primero, calcule la media de la muestra.

$$\bar{x}=\frac{1,31+1,40+0,86+0,88+1,40}{5}=1,17$$

Ahora, calcule la varianza s².

$$s^2=\frac{\left(1,31-1,17\right)^2+\left(1,40-1,17\right)^2+\left(0,86-1,17\right)^2+\left(0,88-1,17\right)^2+\left(1,40-1,17\right)^2}{5-1}=0,0764$$

Finalmente, determine la raíz cuadrada de la varianza para obtener la desviación estándar.

$$s=\sqrt{0,0764}\approx0,28$$

Margen de Error

Uno de los usos de la desviación estándar es calcular el rango de valores "aceptable". Esto juega un papel importante en la garantía de calidad estadística y el análisis predictivo de la industria. Suponga que los datos subyacentes en consideración siguen una distribución normal. En ese caso, este rango se denomina intervalo de confianza (consulte la siguiente sección). Estos intervalos de confianza se expresan en varios niveles de confianza (o porcentajes).

El margen de error es un componente del intervalo de confianza que da el ancho del intervalo de confianza. Es decir, el margen de error da los valores máximo y mínimo aceptados de la cantidad en consideración.

El margen de error se calcula mediante la fórmula:

$$Margen\ de\ error\ = z_{\alpha/2}\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

Aplicamos esta fórmula cuando conocemos la desviación estándar de la población, σ. Adicionalmente, la muestra debe ser lo suficientemente grande (normalmente n>30).

Cuando se desconoce la desviación estándar de la población y la muestra es pequeña (generalmente n≤30), usamos la siguiente fórmula:

$$Margen\ de\ error\ = t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

En esta fórmula usamos la desviación estándar de la muestra s ya que se desconoce la desviación estándar de la población σ.

\$z_{\alpha/2}\$ y \$t_{n-1, \alpha/2}\$ se determinan utilizando las estadísticas z y t, respectivamente, y se denominan valor crítico. Son constantes asociadas a los niveles de confianza.

Los intervalos de confianza más comunes utilizados en estadística son 90%, 95% y 99%. Y sus valores de \$z_{\alpha/2}\$ son 1,645 (para el 90 %), 1,96 (para el 95 %) y 2,575 (para el 99 %).

\$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ o \$\frac{s}{\sqrt n}\$ se denominan error estándar.

• \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ se usa cuando conocemos la desviación estándar de la población σ y tenemos una muestra grande (normalmente n>30).
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ se utiliza para los casos en los que no conocemos la desviación estándar de la población y tenemos una muestra pequeña (normalmente n≤30). Es decir, en lugar de la desviación estándar de la población general σ, tenemos que usar la desviación estándar de la muestra disponible para nosotros s.

Intervalo de Confianza

Como se presentó anteriormente, el intervalo de confianza es un intervalo (rango de valores) en el que se espera que una cantidad dada se encuentre en un cierto nivel de confianza.

Por ejemplo, podemos decir que una cierta cantidad, digamos la altura de una niña de 13 años, se encuentra entre 59 pulgadas y 66 pulgadas con un nivel de confianza del 90%. Es decir, si vamos a seleccionar un grupo de niñas de 13 años, alrededor del 90% de las veces, sus alturas estarán entre los valores dados.

El intervalo de confianza se calcula mediante la fórmula:

$$\bar{x}± z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ es la media muestral,
• \$z_{\alpha/2}\$ es el valor crítico,
• σ es la desviación estándar de la población,
• n es el número de eventos.

Se usa otra fórmula cuando no conocemos la desviación estándar de la población σ y tenemos que usar la desviación estándar de la muestra s en su lugar:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ es la media muestral,
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ es el valor crítico,
• s es la desviación estándar de la muestra,
• n es el número de eventos.

Como podemos recordar del capítulo anterior \$z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\$ y \$t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\$ son los márgenes de error.

Ejemplo de cálculo del intervalo de confianza

Supongamos que sabemos que los precios diarios de las acciones que estamos considerando tienen una distribución normal. Tenemos una muestra de precios de acciones a nuestra disposición:

1,31, 1,36, 1,40, 1,27, 1,15, 0,99, 0,97, 0,88, 0,86, 0,80

Necesitamos calcular en qué rango fluctuarán los precios de las acciones con un 95% de confianza.

Esta es una muestra pequeña y no conocemos la desviación estándar de la población, por lo que usaremos la desviación estándar de la muestra utilizando la siguiente fórmula:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ es la media muestral, 1,10
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ es el valor crítico, \$t_{9, 0.025}\$ = 2.26 (el valor crítico para un tamaño de muestra y un nivel de confianza determinados generalmente se calcula a partir de una tabla z o tabla t)
• s es la desviación estándar de la muestra, 0,23
• n es el número de observaciones, 10,
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ es el error estándar \$\frac{0,23}{\sqrt{10}}=0,07\$

Sustituyendo los valores en la fórmula.

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

obtenemos:

$$1,10 - 2,26 (\frac{0,23}{\sqrt{10}}) = 1,10 - 2,26 (\frac{0,23}{3,16}) = 1,10 - 2,26 × 0,07 = 1,10 - 0,16 = 0,94$$

$$1,10 + 2,26 (\frac{0,23}{\sqrt{10}}) = 1,10 + 2,26 (\frac{0,23}{3,16}) = 1,10 + 2,26 × 0,07 = 1,10 + 0,16 = 1,26$$

Esto significa que estamos 95% seguros de que el precio promedio de la acción se encuentra en el intervalo de confianza (0,94, 1,26).