Calculadora de distancia de 2D

Esta calculadora encuentra la distancia entre dos puntos en un plano si se conocen las coordenadas de los puntos. La calculadora opera en un espacio bidimensional.

Dado que una línea recta representa la distancia más corta entre 2 puntos, esta calculadora se puede utilizar como una calculadora de longitud de línea.

Instrucciones de uso

La calculadora encuentra la distancia entre el punto 1 con coordenadas (X₁, Y₁) y el punto 2 con coordenadas (X₂, Y₂).

Para encontrar la distancia entre dos puntos, ingrese sus coordenadas en los campos correspondientes. Las coordenadas de entrada deben ingresarse de la siguiente manera:

• Una coma debe separar dos coordenadas de cada punto; por ejemplo, ingrese "4,5" en el campo (X₁, Y₁) para tener el punto 1 con la coordenada x de 4 y una coordenada y de 5. Si alguna de las coordenadas está representada por un decimal, use el decimal señalar para separar la parte entera de la parte decimal; por ejemplo, ingrese "4,5 , 7" para tener un punto con una coordenada x de 4,5 y una coordenada y de 7.
• Solo puede usar números enteros y decimales como coordenadas de puntos. No se aceptan fracciones.
• Los espacios entre las coordenadas no son necesarios, pero puede usarlos para su conveniencia

Después de ingresar las coordenadas, presione "Calcular". La calculadora devolverá la respuesta final y el algoritmo de solución detallado.

Para vaciar todos los campos, presione "Borrar".

Fórmula de distancia

En un plano bidimensional, la distancia d entre el punto 1 con coordenadas (X₁, Y₁) y el punto 2 con coordenadas (X₂, Y₂) se puede encontrar con la ayuda de la siguiente fórmula:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

O, en otras palabras: la distancia entre 2 puntos en un espacio bidimensional se puede encontrar como la raíz cuadrada de la suma de las diferencias al cuadrado de las coordenadas correspondientes. Esta fórmula se conoce como la fórmula de la distancia euclidiana. Por lo tanto, esta calculadora también puede denominarse calculadora de distancia euclidiana.

Derivación de fórmula de distancia euclidiana

Para derivar la fórmula, veamos los dos puntos dados en el plano de coordenadas (X, Y):

Para encontrar la distancia entre el punto 1 y el punto 2, dibujemos una línea vertical hacia abajo desde el punto 2 y una línea horizontal hacia la derecha desde el punto 1. Las dos líneas dibujadas y la distancia necesaria formarán un triángulo rectángulo. El cateto vertical de este triángulo estará formado por la distancia vertical entre el punto 1 y el punto 2: Y₂ – Y₁. El cateto horizontal del triángulo estará formado por la distancia horizontal entre los dos puntos: X₂ – X₁. La hipotenusa de este triángulo representa la distancia necesaria entre los puntos. Cuando se conocen las longitudes de los catetos del triángulo rectángulo, la longitud de la hipotenusa se puede encontrar con la ayuda del teorema de Pitágoras:

$$d^2=(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2$$

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

Ejemplos de cálculo

Ejemplo 1

Encontremos la distancia entre el punto 1 con (X₁, Y₁) = (3, 1) y el punto 2 con (X₂, Y₂) = (5, 7). Sustituyendo los valores de X₁, Y₁, X₂, Y₂ en la fórmula de la distancia euclidiana, obtendremos:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(5-3)^2+(7-1)^2}=\sqrt{2^2+6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6,32$$

Tenga en cuenta que cambiar el orden de los puntos no cambia el resultado final ya que las diferencias entre las coordenadas se elevan al cuadrado. Repitamos el cálculo anterior, suponiendo que (X₁, Y₁) = (5, 7) y (X₂, Y₂) = (3, 1):

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-5)^2+(1-7)^2}=\sqrt{-2^2+-6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6,32$$

Ejemplo 2

Veamos un ejemplo con coordenadas negativas y encontremos la distancia entre el punto 1 con (X₁, Y₁) = (-4, 2) y el punto 2 con (X₂, Y₂) = (6, -6). Sustituyendo los valores de X₁, Y₁, X₂, Y₂ en la fórmula de la distancia euclidiana, obtendremos:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(6-(-4))^2+(-6-2)^2}=\sqrt{10^2+(-8)^2}$$

$$\sqrt{10^2+(-8)^2}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\approx 12,8$$

Ejemplos de la vida real

Como se muestra arriba, la fórmula de la distancia euclidiana se basa en el teorema de Pitágoras. Aunque, adapta el teorema a situaciones en las que solo se conocen las coordenadas de los puntos (en lugar de las longitudes de los lados del triángulo utilizado por el teorema de Pitágoras). La fórmula es útil cuando las distancias deben calcularse a partir de las coordenadas en un mapa o gráfico. También se utiliza para calcular magnitudes de números complejos y vectores.

Ejemplo 3

Imagine una escalera apoyada contra la pared. En esta situación, el piso representa el eje x del plano 2D y la pared representa el eje y, como se muestra en la imagen a continuación. Si la escalera toca la pared en el punto (0, 2) y toca el suelo en el punto (3, 0), encuentre la longitud de la escalera.

Solución

Para encontrar la longitud de la escalera en un plano bidimensional formado por la pared y el piso, primero identifiquemos las coordenadas de los extremos de la escalera: X₁, Y₁, X₂, Y₂. Llamemos al punto donde la escalera toca la pared - punto 1 (X₁, Y₁), y el punto donde la escalera toca el piso - punto 2 (X₂, Y₂). Sabemos que la escalera toca la pared en el punto de coordenadas (0, 2). Por lo tanto, (X₁, Y₁) = (0, 2):

X₁ = 0, Y₁ = 2

Observe cómo X₁ = 0, que se ilustra claramente en la imagen de arriba, donde el punto (0, 0) corresponde al punto físico donde la pared se encuentra con el piso, lo que hace que los valores negativos de X e Y sean imposibles.

Además, sabemos que la escalera toca el suelo en el punto de coordenadas (3, 0). Por lo tanto, (X₂, Y₂) = (3, 0):

X₂ = 3, Y₂ = 0

Así mismo, Y₂ = 0 ya que estas coordenadas corresponden al punto directamente en el suelo. Ahora usemos la fórmula de la distancia para calcular la longitud de la escalera:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2}$$

$$\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\approx 3,6$$

Respuesta

La longitud de la escalera es de 3,6.

Distancia en el espacio 3D

La distancia euclidiana es lo que la mayoría de la gente llama "distancia". Cuando decimos que un objeto está a 5 metros de nosotros, lo que tenemos en mente es la distancia euclidiana. La fórmula de distancia descrita anteriormente se puede extrapolar fácilmente a 3 (¡o incluso más!) dimensiones.

En un espacio tridimensional, la distancia entre el punto 1 con coordenadas (X₁, Y₁, Z₁) y el punto 2 con coordenadas (X₂, Y₂, Z₂) se puede calcular como la raíz cuadrada de la suma de las diferencias al cuadrado entre los correspondientes coordenadas:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2+(Z₂-Z₁)^2}$$