Calculadora de ecuaciones cuadráticas

La calculadora de ecuaciones cuadráticas

Las ecuaciones cuadráticas son una parte importante de los planes de estudios de matemáticas escolares y universitarios. Por ejemplo, la solución de la ecuación cuadrática proporciona información diversa, como las tasas de cambio, las subidas y bajadas de la función. Encontrar la solución a una ecuación cuadrática requiere realizar un conjunto de operaciones algebraicas y aritméticas. Aunque la solución tiene un formato estándar, lleva algo de tiempo hacer los cálculos manualmente.

La calculadora de fórmulas cuadráticas en línea es una herramienta fácil de usar que proporciona instantáneamente al usuario la solución a una ecuación cuadrática. Esta herramienta gratuita proporciona las respuestas y muestra los pasos aplicados al resolver la ecuación. En consecuencia, el usuario conceptualizará la resolución del problema, los resultados numéricos y una guía paso a paso para llegar a la solución.

Ecuaciones cuadráticas

Una ecuación cuadrática, a veces denominada función cuadrática o polinomio de segundo grado, es una ecuación algebraica con una forma general de ax²+bx+c=0 donde x es una variable desconocida que se encuentra. Los términos a y b son los coeficientes de x² y x, respectivamente, mientras que C es una constante. La palabra “cuadrática” o “segundo grado” proviene del hecho de que el máximo exponente de la variable x es 2, como en x². Podemos mostrar algunos ejemplos de ecuaciones cuadráticas a continuación.

$$2x²-4x+0,5=0$$

$$-3x²+\frac{1}{3}x+6=0$$

La ecuación 2x²=0 también es una ecuación cuadrática, con b=0 and c=0. Sin embargo, 2x+3=0 no representa una ecuación cuadrática, ya que el término cuadrático ax² no se encuentra en la ecuación. Como se muestra en los ejemplos anteriores, los valores de a, b y c pueden ser números enteros positivos/negativos o decimales (fracciones) como a≠0.

Solución de ecuaciones cuadráticas

El número de soluciones posibles de una ecuación es igual al valor del exponente más alto de la ecuación. Una ecuación cuadrática puede tener un máximo de dos soluciones en este contexto. Una forma de resolver una función cuadrática es usando la fórmula cuadrática designada como la ecuación (1).

$$x₁=\frac{-b+\sqrt{b²-4ac}}{2a}\ \ \ \ \ \ \ ;\ \ \ x₂=\frac{-b-\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$ (1)

Se puede escribir la forma compacta de la fórmula cuadrática como:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

Esta es una solución sencilla en la que el usuario puede introducir los valores a, b y c para obtener el valor de x₁ y x₂. Según el valor del discriminante denotado por el término debajo de la raíz cuadrada b²-4ac, el número y la naturaleza de la solución cambia. Podemos hablar de tres casos:

• Si el discriminante es positivo; b²-4ac>0, entonces existen dos soluciones reales (x₁≠x₂)
• Si el discriminante es cero; b²-4ac=0, entonces existe una solución real (x₁=x₂)
• Si el discriminante es negativo; b²-4ac<0, entonces existen dos soluciones complejas (x₁≠x₂)

Proporcionaremos un ejemplo de cada caso en la siguiente sección Ejemplos.

Gráficamente, en un plano de coordenadas x-y donde y es una función de x, el lector puede visualizar la(s) solución(es) de una función cuadrática como la(s) coordenada(s) x de los puntos donde la función y cruza el x-axis.

Uso de la calculadora de funciones cuadráticas

La calculadora de ecuaciones cuadráticas puede resolver todas las ecuaciones cuadráticas, independientemente de la naturaleza de la solución (real o compleja). La calculadora considera tres entradas: los valores de a, b y c. En algunos casos, es posible que el usuario deba realizar algunas manipulaciones en la ecuación antes de usar la calculadora.

En 2x² = x + 3, el usuario simplemente tiene que mover los términos del lado derecho al lado izquierdo. Como resultado obtenemos 2x² - x - 3 = 0, donde a = 2, b = -1, y c = -3.

Para el caso de 4(x² - 0.2x) = 1,, el usuario debe realizar la multiplicación para poder eliminar el parétesis quedando 4x² - 0.8x = 1, luego mover los términos en el lado derecho hacia el izquierdo para dejar la ecuación en la forma general como 4x² - 0.8x - 1 = 0 donde a = 4, b = -0,8 y c = -1.

Ejemplos

En esta sección, tres ejemplos pueden explicar los tres casos posibles de la solución de ecuaciones cuadráticas usando la calculadora de ecuaciones cuadráticas.

Ejemplo 1: Dos soluciones reales

Se requiere encontrar la(s) solución(es) de la función cuadrática y₁ dada como y₁=x²-8x+12 y que se muestra en la Figura 1. De antemano sabemos que el objetivo es encontrar la(s) coordenada(s) x de los puntos donde la función y₁ cruza el x-axis, si existe alguno.

Figura 1: Gráfico de y₁=x²-8x+12

Primero, la función se iguala a cero ( y₁ se sustituye por 0), dando como resultado x²-8x+12=0. Así tenemos que la última ecuación está en la forma de ecuación cuadrática estándar donde a=1, b=-8, y c=12. Podemos usar directamente la calculadora de fórmulas de ecuaciones cuadráticas.

Comprobación del valor del discriminante b²-4ac=(-8)²-4(1)(12)=16>0, la función cuadrática debería tener dos reales soluciones Después de hacer clic en el botón Calcular, la calculadora proporciona la solución numérica y los pasos de solución utilizando la fórmula de la función cuadrática de la ecuación. (1).

Es importante mencionar que luego de ingresar los valores de A, B y C, la calculadora muestra la ecuación. El usuario debe verificar que la ecuación mostrada sea la misma que la ecuación proporcionada para evitar errores de ingreso de datos.

• Ecuación: x²-8x+12=0

• Solución: x₁=2 and x₂=6

• Pasos:

$$x = \frac {-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a}=\frac{-(-8) ±\sqrt{(-8)^2-4×1×12}}{2×1}=\frac{8 ±\sqrt{16}}{2}=4 ±2=6 \ o \ 2$$

La solución es entonces x₁=2 and x₂=6. Podemos validar gráficamente los resultados revisando la intersección de la función con el x-axis. La Figura 2 muestra que la función cruza el x-axis en los puntos antes mencionados.

Figura 2: Gráfico de y₁=x²-8x+12

Ejemplo 2: Una solución real

Considerando otra función, y₂-3x²+25=-4x²+10x. Antes de usar la calculadora, el primer paso es separar y₂ de un lado de la ecuación y acomodar todos los demás términos en el otro lado quedando y₂=-4x²+10x+3x²-25. Igualando y₂ a cero y haciendo las operaciones aritméticas, la forma general que se obtiene es -x²+10x-25=0 donde a=-1, b=10, y c=-25.

El discriminante es igual a cero b²-4ac=(10)²-4(-1)(-25)=0, por lo que el usuario esperaría una sóla solución. Luego, podemos usar la calculadora de ecuaciones cuadráticas para encontrar x₁=x₂=5.

• Ecuación: x²-8x+12=0

• Solución: x₁=2 y x₂=6

• Pasos:

$$x = \frac{-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a} = \frac{-10±{\sqrt{10^2 – 4 × (-1) × (-25)}}}{2×-1}=\frac{-10± \sqrt{0}}{-2} = 5$$

La figura 3 muestra el gráfico de y₂ donde se ve que la función cruza el x-axis en un punto.

Figura 3: y₂=-x²+10x-25

Ejemplo 3: Dos soluciones complejas

Finalmente, analizaremos y₃=x²-4x+8 para mostrar cómo una función cuadrática puede tener dos soluciones complejas. La Figura 4 muestra que y₃ no cruza el x-axis.

Figura 4: y₃=x²-4x+8

Observando que b²-4ac=(-4)²-4(1)(8)=-16<0 indica la existencia de dos soluciones complejas; pero, ¿qué son los numeros complejos?

Un número complejo es un número que se expresa como una combinación de números reales e imaginarios y toma la forma de a+ib.

En este caso, 'i' en los números complejos representa la unidad imaginaria, que significa la raíz cuadrada de -1.

El término A denota la parte real del número complejo (Re). Por otro lado, ib es el número imaginario (Im) donde i=√-1.

La raíz cuadrada contendrá un número negativo cuando el término b²-4ac sea menor que cero. Por lo tanto, sacar la raíz cuadrada de un número negativo requiere usar números complejos.

Volviendo a la solución de x²-4x+8=0 la calculadora resuelve la ecuación y encuentra x₁=2+2i y x₂=2-2i.

• Ecuación: x²–4x+8=0

• Hay dos posibles soluciones: x=2±2i

• Pasos:

$$x = \frac{-b ± \sqrt{b² – 4ac}}{2a} = \frac{-(-4) ± \sqrt{(-4)^2 – 4 × 1 × 8}}{2 × 1} = \frac{4 ± \sqrt{-16}}{2} = 2 ± 2i$$

Alcance de uso y consejos

La calculadora de funciones cuadráticas está diseñada para estudiantes de escuelas y universidades, o cualquiera que busque una solución rápida para una función cuadrática. Las funciones cuadráticas se pueden encontrar en la ingeniería, la economía, la agricultura, etc.

Si bien el uso de la herramienta es sencillo, el usuario debe realizar las operaciones aritméticas básicas necesarias para dejar la ecuación en la forma cuadrática estándar ax²+bx+c=0 y poder así utilizar la herramienta. Además, se recomienda (no es un requisito indispensable) estar familiarizado con los números complejos, ya que la solución de una ecuación cuadrática pudiera ser un par de números complejos.

También se recomienda que el usuario se apoye con la utilización de algunas herramientas de representación gráfica para visualizar la función y sus soluciones.