Calculadora de fórmula cuadrática

Usando una Calculadora de Fórmula Cuadrática

Esta calculadora es una herramienta fácil de usar que resuelve ecuaciones cuadráticas. En álgebra, una ecuación cuadrática es cualquier ecuación que se puede escribir de la siguiente forma:

ax²+bx+c=0

donde

a≠0

Para usar la calculadora de fórmula cuadrática, ingrese los valores de a, b y c en los campos correspondientes y presione "Calcular". El valor de a no puede ser igual a cero, mientras que para b y c, cero es una entrada aceptable. Tanto para raíces reales como complejas, la calculadora utilizará la fórmula cuadrática para determinar todas las soluciones de una ecuación dada. Después de usar la fórmula cuadrática, la calculadora también simplificará el radical resultante para encontrar las soluciones en su forma más simple.

Resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática

Puede resolver cualquier ecuación cuadrática con la ayuda de la fórmula cuadrática. Para usar la fórmula cuadrática, primero debe llevar la ecuación dada a la siguiente forma: ax²+bx+c=0. Con lo que, las soluciones se pueden encontrar de la siguiente manera:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

La parte de la ecuación dentro de la raíz cuadrada, b²-4ac, se llama discriminante.

• Si el discriminante es positivo, b²-4ac>0, la ecuación tendrá dos raíces reales.
• Si el discriminante es negativo, b²-4ac<0, la ecuación tendrá dos raíces complejas ya que la raíz cuadrada de un número negativo es un número complejo.
• Si el discriminante es igual a cero, b²-4ac=0, la ecuación tendrá una sola raíz.

La calculadora de ecuaciones cuadráticas mostrará las soluciones de las ecuaciones ingresadas y el flujo de trabajo para encontrar estas soluciones. La calculadora también calculará el discriminante e indicará si es positivo, negativo o igual a cero.

Ejemplos prácticos

Ejemplo 1 (con raíces reales)

Resolvamos la ecuación cuadrática:

2x²+3x-2=0

En este ejemplo a=2,b=3,c=-2.

Usando la fórmula cuadrática para estos valores, obtenemos:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-3±\sqrt{3^2-4(2)(-2)}}{2(2)}=\frac{-3±\sqrt{9--16}}{4}=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}$$

El discriminante de esta ecuación es positivo, b²-4ac=25>0, por lo tanto, la ecuación tendrá dos raíces reales.

Ahora simplifiquemos el radical resultante:

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}=\frac{-3±5}{4}$$

$$x=\frac{-3+5}{4}\ \ \ y\ \ \ x=\ \frac{-3-5}{4}$$

$$x=\frac{2}{4}\ \ \ y\ \ \ x=-\frac{8}{4}$$

$$x=\frac{1}{2}\ \ \ y\ \ \ x=-2$$

Finalmente,

x=0,5

x=-2

Ejemplo 2 (con raíces complejas)

Resolvamos la siguiente ecuación cuadrática:

x²+2x+5=0

En este ejemplo a=1,b=2,c=5.

Usando la fórmula cuadrática para estos valores, obtenemos:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-2±\sqrt{2^2-4(1)(5)}}{2(1)}=\frac{-2±\sqrt{4-20}}{2}=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}$$

El discriminante de esta ecuación es negativo, b²-4ac=-16<0, por lo tanto, la ecuación tendrá dos raíces complejas.

Ahora simplifiquemos el radical resultante:

$$x=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}=\frac{-2±4i}{2}=\frac{-2}{2}±\frac{4i}{2}=-1±2i$$

Finalmente,

x=-1+2i

x=-1-2i

Ejemplo 3 (con una raíz)

Resolvamos la siguiente ecuación cuadrática:

3x²+6x+3=0

En este ejemplo a=3,b=6,c=3.

Usando la fórmula cuadrática para estos valores, obtenemos:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-6±\sqrt{6^2-4(3)(3)}}{2(3)}=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{6}=\frac{-6±\sqrt0}{6}$$

El discriminante de esta ecuación es igual a cero, $(x₁\neq x₂)$ b²-4ac=0, por lo tanto, la ecuación tendrá una raíz.

$$x=\frac{-6}{6}$$

Finalmente,

x=-1

Derivación de la fórmula cuadrática

Como se demostró anteriormente, puede usar la fórmula cuadrática para resolver absolutamente cualquier ecuación cuadrática, sin importar si el discriminante es positivo, negativo o igual a cero. Ahora investiguemos cómo se puede derivar. Conocer los principios básicos de la derivación de fórmulas puede ser muy útil en caso de que olvide la fórmula en sí.

El algoritmo de derivación de fórmulas cuadráticas es bastante sencillo y se basa en el procedimiento de completar el cuadrado. Para derivar las soluciones de la ecuación cuadrática estándar ax²+bx+c=0, debe seguir los pasos a continuación:

1. Entonces tenemos una ecuación:

ax²+bx+c=0

Movemos la constante C al lado derecho de la ecuación:

ax²+bx=-c

2. Eliminar el coeficiente A junto al término cuadrado x². Para ello, divide la ecuación entre A:

$$x²+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$

3. Suma

$$(\frac{b}{2a})^2$$

a ambos lados de la ecuación:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

4. El lado izquierdo tiene ahora la forma x²+2dx+d². Esta expresión puede reescribirse como (x+d)².

En nuestra ecuación, d se expresa como $\frac{b}{2a}$.

Por lo tanto:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 = \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$$

Sustituya esto en el lado izquierdo de nuestra fórmula, y deje el lado derecho sin tocar por ahora:

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

Ahora la raíz x aparece sólo una vez en la ecuación.

5. Extrae la raíz cuadrada de ambas partes de la ecuación:

$$x+\frac{b}{2a}=± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

6. Transferir

$$\frac{b}{2a}$$

al lado derecho de la ecuación:

$$x=-\frac{b}{2a} ± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

7. Multiplica el lado derecho de la ecuación por

$$\frac{2a}{2a}$$

$$x=\frac{-b ± \sqrt{-\frac{c}{a} × (2a)^2 + (\frac{b}{2a})^2 × (2a)^2}}{2a}$$

8. Simplifica la ecuación:

$$x=\frac{-b±\sqrt{-4ac+b²}}{2a}$$

9. Como resultado, obtenemos una fórmula cuadrática:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

Datos interesantes sobre la ecuación cuadrática

• La suma de las dos raíces de la ecuación cuadrática es

$$\frac{-b}{a}$$

En consecuencia, si el discriminante de la ecuación cuadrática b²-4ac es igual a cero, la única raíz de la ecuación se puede encontrar como

$$\frac{-b}{2a}$$

• El producto de las dos raíces de la ecuación cuadrática es

$$\frac{c}{a}$$

• El término “cuadrático” proviene de la palabra latina “quadratus”, que significa “cuadrado”. La ecuación se llamó cuadrática ya que la potencia más alta de la variable es 2, es decir, la variable está "cuadrada".

• La fórmula cuadrática en su forma actual fue descrita en el año 628 d. C. por el matemático indio Brahmagupta, quien no usó símbolos sino que discutió la solución usando palabras. Brahmagupta, sin embargo, describió solo una de las dos posibles soluciones, omitiendo el importante signo ± antes de la raíz cuadrada.

• La gráfica de una función cuadrática y=ax²+bx+c s una parábola. Las soluciones, o raíces, de la ecuación cuadrática son en realidad las coordenadas de las intersecciones de la gráfica con el eje x. Si la ecuación tiene dos raíces reales, la gráfica interseca el eje x dos veces. Si la ecuación tiene solo una raíz, la gráfica de la parábola correspondiente solo toca el eje x en su máximo o mínimo. Si la ecuación no tiene raíces reales, la gráfica de la parábola correspondiente no interseca el eje x en lo absoluto.

• Cuando el valor del coeficiente por el término al cuadrado, a, se aproxima a cero, la gráfica de la parábola correspondiente se vuelve más plana y eventualmente tiende a convertirse en una línea recta. Cuando a=0, la ecuación se vuelve lineal y la representación gráfica de la misma es obviamente una línea recta.

• De manera similar, cuando a>0, la parábola estará mirando hacia arriba, si a<0, la parábola correspondiente estará abriendo hacia abajo y si a=0, la “parábola” es plana, es decir, es una línea recta.

Las ecuaciones cuadráticas se utilizan ampliamente en todas las áreas de la ciencia. Por ejemplo, en física se utilizan ecuaciones cuadráticas para describir el movimiento de un proyectil.