Calculadora de Modulo

La operación de Modulo es un método para encontrar el remanente de la operación de división. La finalidad del módulo es calcular el remanente como un número entero.

Imagine que tiene tres hijos. Compra una caja de dulces que contiene 20 piezas. Le gustaría repartir todos los dulces de manera equitativa y justa entre sus hijos. Y a comerse los dulces que le queden sin necesidad de cortarlos o romperlos. Sus hijos todavía están en la escuela. Entonces puede determinar el remanente que le queda después de la división y comerse esa cantidad de dulces.

Este es el tipo de caso en el que puede usar el operador de módulo. También se puede representar como signo % o mod. Para operaciones con números pequeños, puede realizar los cálculos en su mente. Si está trabajando con números grandes, se sentirá más cómodo usando una calculadora de módulo.

La ecuación se puede representar de la siguiente manera:

Dividendo = (Cociente × Divisor) + Resto

Para nuestro caso

• El dividendo es 20 (la cantidad total de dulces).
• El divisor es 3 (el número de niños).
• El cociente es 6 (el número de dulces para cada niño).
• y el remanente es 2 (el número de dulces que puede tomar para usted).

Si usa la operación módulo, puede escribirla de la siguiente forma:

x % y = r

o

x mod y = r

donde x es el dividendo, y es el divisor, y r es el remanente.

Para nuestro caso,

20 % 3 = 2

Cálculos sin una calculadora de módulo

Tomemos un caso específico como ejemplo.

Wayan vive en Bali y está construyendo una casa de huéspedes con seis departamentos. Desea colocar azulejo en los baños. Su vecino, Gede, quien recientemente terminó de construir su hotel, le ofrece a Wayan un descuento considerable en la compra de los azulejos que le sobran.

Gede contó 15 cajas en su almacén, cada una contiene 4 losetas (60x60 cm) y dos losetas por separado. Por lo que son 62 piezas en total, las que desea vender.

Ahora Wayan necesita averiguar cuántos baños podrá cubrir con estos azulejos y cuántas piezas posiblemente quedarán sin usarse.

¿Cómo encontrar el módulo manualmente sin el uso de ninguna calculadora?

Wayan midió el tamaño de un baño estándar en su casa de huéspedes y se dio cuenta de que necesitaba alrededor de 14 azulejos por habitación.

¡Hagamos los cálculos de forma manual!

1. Decida sobre un número inicial o dividendo. En nuestro caso, son 62, o el número de losetas que ofrece un vecino.
2. Determine el divisor. Este es 14— el número promedio de losetas para un baño estándar.
3. Divida el dividendo entre el divisor y redondee el resultado a un número entero. 62 / 14 = 4,428571428571429 o 4. Por lo que Wayan puede utilizar los azulejos para cuatro baños.
4. Multiplique el resultado redondeado de la división por el divisor. Siendo 4 × 14 = 56. Este será el número de losetas para cuatro habitaciones.
5. Reste el resultado de esta multiplicación del dividendo original. Esto es 62 - 56 = 6. Esto deja a Wayan con seis losetas extra.

De forma simplificada y abreviada, podemos escribir esta operación como: 62 % 14 = 6 o 62 mod 14 = 6

Wayan decidió que esta es una buena opción porque debe tener una reserva de losetas de alrededor del 10 % para los trabajos de recubrimiento en caso de recortes o errores. Y comprará los azulejos para los otros dos baños en una tienda de construcción local.

Una calculadora de modulo puede proporcionar este resultado en tan solo unos segundos.

Demostración Reloj del Principio de Modulo

Un tipo de matemáticas llamado "aritmética modular" se ocupa de las estructuras cíclicas. La forma más fácil de representar esto es un reloj con un ciclo de 12. Para un matemático, el reloj de modulo 12.

Si quiere ver si puede dividir 251 horas por días sin remanente, puede aplicar la operación 251 mod 24.

El resultado es 11, ¡así que la respuesta es no! Solo podemos responder "sí" si el resultado es 0.

Otro ejemplo, Daniel quiere tomar un autobús de Atlanta a Miami. Sale a la 1 p. m. y el camino dura 15 horas. ¿Qué hora será cuando llegue? Eso sería 1 + 15 mod 12, que es 4. En este caso, serán las 4 a.m.

Utilizando Modulo

Determinando números pares e impares

Uno de los usos más básicos del operador módulo es determinar si un número es par o impar. Esto es posible porque x % 2 siempre da como resultado 0 o 1. Los números pares siempre dan 0 porque se dividen por 2, mientras que los números impares siempre devuelven un remanente de 1.

El caso más común de usar módulo en la programación es cuando imprime una tabla en su aplicación y quiere alternar colores en las filas. Es posible que desee colorearlos de azul claro y gris claro, por lo que verifica el módulo para ver si está en una fila par o impar.

Conversión de unidades

La conversión de unidades es un ejemplo típico del uso práctico de la operación módulo. Por lo general, se usa cuando queremos convertir una unidad más pequeña, como minutos, pulgadas o centímetros, en una unidad más grande, como horas, millas o kilómetros. Los números decimales o fraccionarios no siempre son útiles en tales situaciones.

Por ejemplo, si queremos saber el número de horas en 373 minutos, un resultado expresado como 6 horas y 13 minutos puede ser más valioso que 6,2166666666666666667 horas.

La división estándar (con redondeo al número entero más cercano) determina el número de horas y la operación de módulo se utiliza para contabilizar los minutos restantes. Ya sea que se trate de tiempo, distancia, presión, energía o almacenamiento de datos, puede utilizar este enfoque general para convertir unidades.

Determinando año bisiesto

Otro ejemplo del uso del operador módulo es ver si un año es bisiesto.

Un año bisiesto es un año calendario que contiene un día adicional en el calendario solar. El día extra en un año bisiesto es el 29 de febrero.

El 1 de enero de 45 a.C., el dictador romano Cayo Julio César introdujo el calendario desarrollado en Roma por los astrónomos alejandrinos. El calendario se basó en el cálculo de que un año astronómico tiene aproximadamente 365,25 días (365 días y 6 horas). Este calendario se llamó calendario juliano.

Para compensar esa diferencia de seis horas, César introdujo un año bisiesto. Tres años seguidos tuvieron 365 días, y en cada año múltiplo de cuatro, se agregó un día adicional en febrero.

Sin embargo, con el paso del tiempo, resultó que esta regla por sí sola no era suficiente.

El año tropical promedio (el tiempo entre los dos equinoccios vernales) es más exacto sobre 365 días y 5 horas y 49 minutos. La diferencia entre el año tropical promedio y el año del calendario juliano (365 días y 6 horas) era de unos 11 minutos. Así que en unos 128 años, esos 11 minutos podrían sumar un día entero más.

Para compensar los errores acumulados y evitar un cambio similar en el futuro, el Papa Gregorio XIII reformó el calendario en 1582. Agregó reglas adicionales para los años bisiestos. Los años bisiestos seguían siendo múltiplos de cuatro, pero se hacían excepciones para aquellos que eran múltiplos de 100. Esos años eran bisiestos solo si también eran divisibles por 400.

Las reglas para determinar el año bisiesto pasaron a ser las siguientes:

• Un año cuyo número es un múltiplo de 400 es un año bisiesto.
• El resto de años cuyo total sea múltiplo de 100 no son años bisiestos (por ejemplo, los años 1700, 1800, 1900, 2100, 2200, 2300);
• El resto de los años, cuyo número es múltiplo de 4, son años bisiestos.
• Todos los demás años no son años bisiestos.

Así, los años 1700, 1800 y 1900 no son bisiestos, ya que son múltiplos de 100 y no de 400. Los años 1600 y 2000 son años bisiestos, ya que son múltiplos de 400.

Regresemos a nuestro problema.

Sabemos que:

• Si un año número mod 4 = 0, y un año número mod 100 ≠ 0 entonces es un año bisiesto.
• Si un año número mod 400 = 0, entonces es un año bisiesto
• En cualquier otro caso, no es un año bisiesto.

Con un simple script de Python, puede saber si un año es bisiesto o no. Esto se verá así:

year = int(input('Introduzca el año : '))

if (year%4 == 0 and year%100 != 0) or (year%400 == 0) :

	print(year, "es año bisiesto.")

else :

	print(year, "no es año bisiesto.")

Las aplicaciones más comunes del operador módulo en programación incluyen:

• Determinar si algo es par o impar.
• Realizar una operación específica en cada N-ésimo elemento de una lista
• Restricción de Número en un Rango
• Rotación a través de opciones limitadas (matriz circular)
• Invertir un número
• Conversión de datos lineales a una matriz
• Determinar si las matrices son versiones rotadas entre sí
• Paginación

Generadores de números aleatorios

La coincidencia de módulos se utiliza a menudo en hardware informático y equipos de telecomunicaciones para crear números de control y obtener números aleatorios en un rango limitado, como un generador de números aleatorios congruentes. Derrick Henry Lemer propuso el método lineal congruente en 1949.

El método lineal congruente funciona de acuerdo con la fórmula:

$$X_{n+1} = (a × X_n + c)\mod m$$

Donde

• m es el modulo,
• a es el multiplicador,
• c es el incremento, y
• X₀ es el valor inicial.

Por ejemplo, para m = 11, X₀ = 9, a = 9, c = 9, obtenemos la siguiente serie de números aleatorios:

9, 2, 5, 10, 0, 9, 2, 5, 10, 0, 9

Criptografía

A los criptógrafos les encanta la operación de modulo porque cuando se usa con números realmente grandes, puede crear algo conocido como "funciones unidireccionales". Estas funciones especiales facilitan el cálculo de algo en un sentido, pero no en el sentido opuesto.

Si 9 es el resultado de elevar al cuadrado, puede determinar fácilmente que la entrada fue 3. Puede imaginar todo el proceso de principio a fin. Si le digo que 9 es el resultado de mod 29, es más difícil averiguar qué hay en la entrada.

A los criptógrafos les gusta esta idea porque pueden usar la división con el remanente para generar números primos gigantes y crear claves criptográficas con ellos.

Conclusión

Ya sea que esté tratando de distribuir objetos de manera uniforme en una caja de almacenamiento, sabiendo si un número es divisible por otro número, o simplemente tratando de calcular el tiempo, la aritmética modular siempre está ahí. En todos estos casos, el remanente es tan crucial como el cociente en la operación de división.

A veces, el problema en cuestión es sencillo e intuitivo. Sin embargo, siempre es mejor usar la calculadora de módulo en línea para encontrar la solución cuando las cosas se complican.