Calculadora de pendiente

Calculadora de pendiente

La calculadora de pendiente es una herramienta sencilla en línea que le permite encontrar la pendiente de una línea recta. En matemáticas, la pendiente de una línea se define como el cambio en la coordenada vertical (coordenada y) en relación con el cambio en la coordenada horizontal (coordenada x).

Notación usada

La pendiente se denota con la letra m. El gráfico anterior muestra todas las demás notaciones utilizadas en la calculadora. El buscador de pendientes puede realizar cálculos en dos escenarios diferentes:

1. Cuando se conocen las coordenadas de los dos puntos de la recta. En el gráfico, los dos puntos tienen las coordenadas (x₁,y₁) and (x₂,y₂). En este caso, la calculadora encontrará la pendiente de la línea, m.

2. Si conocemos las coordenadas de un punto (x₁,y₁), la distancia d y la pendiente de una recta, la calculadora hallará las coordenadas del segundo punto de la recta, (x₂,y₂).

En ambos escenarios, la calculadora también determinará otras características faltantes de la línea: el cambio horizontal ∆x, el cambio vertical ∆y, el ángulo de inclinación θ, la longitud de la línea o la distancia, d.

Instrucciones de uso

Primero, identifique los valores conocidos y elija la calculadora adecuada. Si se conocen las coordenadas de los dos puntos, seleccione "Se conocen los 2 puntos".

Si sólo tienes las coordenadas de uno de los puntos, para poder realizar los cálculos necesitará saber la distancia, d, y la pendiente de la recta, m. En este caso, elija "Se conoce 1 punto y la pendiente".

Se conocen los 2 puntos

Introduzca las coordenadas conocidas de los puntos en los campos correspondientes, luego presione "Calcular". La calculadora mostrará la siguiente información:

• la pendiente m,
• el ángulo de inclinación θ,
• la longitud de la línea d,
• el cambio horizontal ∆x,
• el cambio vertical ∆y.

La calculadora también mostrará las fórmulas utilizadas para encontrar la pendiente y todas las demás características de la línea. La calculadora mostrará la ecuación correspondiente de la línea y trazará esquemáticamente la línea para una representación gráfica.

Para borrar todos los campos, presione "Borrar".

Se conoce 1 punto y la pendiente

Introduzca las coordenadas conocidas del punto, la distancia y la pendiente en los campos correspondientes. Tenga en cuenta que en el campo de la pendiente, puede introducir el valor del "ángulo de inclinación (theta θ).” El valor de θ debe introducirse en grados. Solo se debe insertar uno de estos valores (ya sea m o θ). Si se introducen tanto m como θ, la calculadora ignorará el valor de θ, y solo usará el valor de la pendiente m para los cálculos.

Presione "Calcular". La calculadora mostrará la siguiente información: las coordenadas del segundo punto (x₂,y₂), el cambio horizontal ∆x, el cambio vertical ∆y, la longitud de la línea d. Si se usó la pendiente m para los cálculos, la calculadora también calculará el valor de θ. Si se utilizó el ángulo de inclinación θ para los cálculos, el valor de m se podrá observar en la respuesta. Además, la calculadora mostrará la ecuación correspondiente de la línea y trazará esquemáticamente la línea para su representación gráfica.

Para borrar todos los campos, presione "Borrar".

Fórmula de la pendiente

Como se mencionó anteriormente, la pendiente de una línea se define como el cambio en la coordenada vertical (coordenada y) de una línea en relación con el cambio en la coordenada horizontal (coordenada x):

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=\frac{∆y}{∆x}=tanθ$$

La ecuación anterior se llama la fórmula de la pendiente. Se puede usar para encontrar la pendiente de cualquier línea dada, si se conocen las coordenadas de dos puntos de la línea. La pendiente se denota comúnmente como m y se usa para describir la dirección de la línea, así como su inclinación:

• Si la línea va hacia arriba de izquierda a derecha, entonces y₂>y₁ cuando x₂>x₁. La pendiente siempre será positiva, m>0. En este caso decimos que la recta es creciente.

• Si la línea va hacia abajo de izquierda a derecha, entonces y₂ < y₁ cuando x₂>x₁. La pendiente será negativa, m<0. En este caso decimos que la recta es decreciente.

• Si la línea es horizontal, entonces y₂=y₁ y y₂-y₁=0. Entonces la pendiente también será igual a cero: m=0.

• Si la línea es vertical, entonces x₂=x₁ y x₂-x₁=0. La fórmula de la pendiente tendrá un cero en el denominador y la pendiente es indeterminada.

Ecuación de la recta

Podemos escribir cualquier ecuación de la recta de la siguiente forma:

$$y=mx+b$$

Esta forma de ecuación de la recta se llama forma pendiente-ordenada en el origen. La gráfica de esta ecuación será una línea recta, donde m es la pendiente de la línea y b es la coordenada en la que la gráfica intercepta el y-axis. B a veces también se le llama la intersección-y de la línea, ya que y=b cuando x=0.

Cuando se conocen las coordenadas de un punto en la línea y la pendiente, podemos escribir la ecuación de la recta en la llamada forma punto-pendiente:

$$y-y₁=m(x-x₁)$$

Esta forma de la ecuación de la recta nos sirve para encontrar la intersección con el eje y de una línea.

Ejemplo del cálculo

Supongamos que conocemos las coordenadas de los dos puntos en la línea.

Dado:

$$x₁=1$$

$$y₁=1$$

$$x₂=9$$

$$y₂=25$$

Primero encontremos la pendiente de esta recta:

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=\frac{∆y}{∆x}$$

$$m=\frac{25-1}{9-1}=\frac{24}{8}=3$$

$$m=3$$

Ahora, encontremos las otras características de la recta. Sabemos que m=tanθ, por lo tanto, podemos encontrar el ángulo de inclinación θ de la siguiente manera

$$\theta=\arctan{\left(m\right)}= arctan\frac{∆x}{∆y} = 71,565051177078°$$

Además,

$$∆x=9-1=8$$

$$∆y=25-1=24$$

Podemos encontrar la distancia d usando un teorema de Pitágoras, el cual establece que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de la longitud de los catetos del triángulo rectángulo.

Aplicando este teorema a nuestro triángulo, obtenemos:

$$d^2=∆x2+∆y2$$

Por lo tanto,

$$d=∆x2+∆y2$$

$$d=\sqrt{8^2+{24}^2}=\sqrt{640}$$

$$d=25,298221281347$$

Para encontrar la intersección con el eje y de la recta, escribamos la ecuación de la línea en forma de punto-pendiente, sustituyendo los valores dados de m, x₁ y y₁:

$$y-1=3\left(x-1\right)$$

$$y=3x-2$$

Por lo tanto, y=-2 es la intersección en y de la línea, o en otras palabras, cuando x=0, y=-2.

Si y=0:

$$x=\frac{2}{3}=0,66666666666667$$

El dibujo muestra la línea correspondiente. En nuestro caso, la pendiente es positiva, m>0, y podemos ver que la línea es creciente, sube de izquierda a derecha. También podemos ver que la recta es bastante inclinada, ya que el ángulo de inclinación θ ≈ 72°.