Calculadora de permutaciones

La calculadora de permutaciones determina el número de formas en que puede organizar n objetos distintos, tomando una muestra de r elementos a la vez. Nos dice el número de arreglos posibles de objetos en grupos donde el orden de arreglo es importante. El número total de objetos a organizar se denota por n, mientras que el número de elementos en cada grupo se denota por r.

Por ejemplo, si queremos ordenar las letras XYZ en grupos de dos letras cada uno, tendríamos XY, XZ, YZ, YX, ZX y ZY: 6 formas.

Para usar esta calculadora, ingrese n, el número total de objetos que se organizarán en algún orden, e ingrese r, el número de elementos en cada grupo, y luego haga clic en "Calcular". Con el botón "Borrar", también puede borrar la calculadora para ingresar un conjunto diferente de números.

Permutaciones

Una permutación de un conjunto es un arreglo de sus miembros en una secuencia o en un orden en particular. Si un conjunto ya está ordenado, es una permutación de sus elementos. Para una permutación, el orden de los elementos es importante. Por ejemplo, las permutaciones AB y BA son dos permutaciones diferentes. El número de permutaciones de n objetos en muestras de r objetos se denota como nPr.

El cálculo del número de permutaciones depende de los objetos que se ordenen. También depende de si las repeticiones están permitidas o no. A menos que se indique lo contrario, asumimos que las repeticiones no están permitidas al calcular las permutaciones.

En este artículo veremos ejemplos de permutaciones sin repeticiones.

Las permutaciones siguen el principio fundamental de conteo. Establece que si un experimento consta de k eventos donde el primer evento ocurre n₁ veces, el segundo evento ocurre n₂ eventos. Así sucesivamente hasta que el evento ocurra nₖ veces. El número de formas en que el experimento puede ocurrir secuencialmente está dado por el producto del número de veces que ocurren los eventos individuales, n₁ × n₂ × ... × nₖ.

Supongamos que queremos saber el número de arreglos posibles de las letras ABC sin repeticiones en las permutaciones. Cualquiera de las letras puede ir primero, por lo que hay 3 formas de configurar la primera letra.

Después de configurar la primera letra, quedan dos letras, y cualquiera de las dos letras se puede configurar como la segunda letra, por lo que hay dos formas de configurar la segunda letra. Después de configurar la segunda letra, solo quedará una letra. Por lo tanto, solo hay una forma de configurar la tercera letra.

Por lo tanto, según el principio fundamental de conteo, hay 3 × 2 × 1 = 6 maneras de ordenar las letras ABC. Son ABC, ACB, BCA, BAC, CAB y CBA.

El Factorial

Arriba, establecimos que el número de permutaciones de 3 objetos distintos está dado por 3 × 2 × 1 = 6. Generalmente, el número de permutaciones de n objetos (en total) viene dado por n × (n-1) × (n-2) × ... × 1.

Es decir, multiplicaciones de todos los enteros desde n hasta 1. La multiplicación de todos los enteros desde un entero, digamos n, hasta 1 se llama factorial y se denota por ! (un signo de exclamación).

Por lo tanto, n!= n × (n-1) × (n-2) × ... × 1, y se llama n factorial.

Tenga en cuenta que 0!=1 y 1!=1.

El ejemplo de permutaciones

La pista estándar para carreras en los Juegos Olímpicos suele tener 9 carriles. Sin embargo, para la carrera de 100 metros, no se suele utilizar el carril 1. 8 corredores se colocan en los carriles 2 a 9 en una fila. ¿De cuántas formas posibles se pueden colocar los 8 corredores en los carriles 2 al 9?

Por el principio fundamental de conteo:

• cualquiera de los 8 corredores ocupa el carril 2,
• cualquiera de los 7 corredores restantes puede obtener el carril 3,
• cualquiera de los 6 corredores restantes puede tomar el carril 4,
• cualquiera de los 5 corredores restantes puede obtener el carril 5,
• cualquiera de los 4 corredores restantes puede entrar en el carril 6,
• cualquiera de los 3 corredores restantes puede tomar el carril 7,
• cualquiera de los 2 corredores restantes puede recibir la calle 8,
• un corredor restante recibe el carril 9.

Por lo tanto, el total de permutaciones posibles de los 8 corredores que se pueden organizar en las 8 pistas es 8! = 8 × 7 × 6 × ... × 2 × 1 = 40.320 maneras.

En la calculadora de permutaciones, ingrese 8 en ambos cuadros n (objetos) y r (muestra) y haga clic en Calcular para obtener 40.320.

Permutación de subconjuntos

En los ejemplos anteriores, observamos las permutaciones de los objetos cuando todos los objetos se consideran en los arreglos. Sin embargo, hay situaciones en las que los objetos se organizan en grupos más pequeños.

En esos casos, el número total de objetos es donado por n, el número de objetos en los grupos (muestra) es denotado por r, y la fórmula da el número de permutaciones:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Esta fórmula se utiliza para calcular permutaciones sin repeticiones. Y cuando se necesita organizar en cierto orden una muestra r tomada del conjunto n.

Si calculamos el número de opciones con las que podemos disponer todos los elementos del conjunto en un orden determinado y sin repeticiones, podemos utilizar la siguiente fórmula:

$$ₙPᵣ=n!$$

Ejemplo

En el ejemplo anterior, observamos la cantidad de formas posibles en las que se podrían organizar los ocho corredores en una carrera de 100 metros. Ahora, en la misma carrera, hay tres medallas en juego. El primer lugar en la carrera gana la medalla de oro, y los corredores en segundo y tercer lugar ganan las medallas de plata y bronce, respectivamente. De los 8 corredores en la carrera, ¿de cuántas maneras posibles podemos obtener a los medallistas de oro, plata y bronce?

Por el principio fundamental de conteo, cualquiera de los 8 corredores puede tomar la primera posición. Una vez ocupada la primera posición, quedarían siete corredores para competir por la segunda posición. Y tras la segunda posición, seis corredores estarían en pugna por la tercera posición. Por lo tanto, el número total de permutaciones posibles de la primera a la tercera posición de los 8 corredores es: 8 × 7 × 6 = 336

Utilizamos la fórmula:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Con lo que obtenemos

$$₈P₃=\frac{8!}{\left(8-3\right)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8×7×6×5×4×\ldots×1}{5×4×\ldots×1}=8×7×6=336$$

Y en la calculadora de permutaciones, ingrese 8 en el cuadro n (objetos) y 3 en el cuadro r (muestra) y haga clic en "Calcular" para obtener 336.

Permutaciones y combinaciones: La diferencia

Otra técnica de conteo esencial son las combinaciones. Las combinaciones son las diversas formas en que se puede seleccionar un número menor de objetos (muestra), r, de un número mayor de objetos, n. El número de combinaciones de r objetos de n objetos se denota simplemente por ₙCᵣ.

En la definición de permutación, mencionamos que el orden o arreglo es importante. Bueno, esa es la diferencia entre permutaciones y combinaciones porque, en las combinaciones, el orden no es importante.

Entonces, por ejemplo, dijimos que las permutaciones de las letras XYZ en grupos de dos letras cada una serán las siguientes XY, XZ, YZ, YX, ZX y ZY. Entonces obtenemos seis permutaciones.

Sin embargo, las combinaciones de las letras XYZ en grupos de dos letras cada uno son XY, XZ e YZ; tres combinaciones. Esto se debe a que, en las combinaciones, XY e YX se consideran las mismas combinaciones; lo mismo con XZ y ZX, y lo mismo con YZ y ZY. Por lo tanto, el orden de disposición no importa en el cálculo de combinaciones.

La fórmula da el número de combinaciones de r objetos de n objetos:

$$ₙСᵣ=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$$

Ejemplo de cálculo de combinaciones

En el ejemplo anterior con los corredores, obtuvimos el número de formas en que podemos seleccionar la primera, segunda y tercera posición de un grupo de 8 corredores. Supongamos que queremos saber el número de formas en que se pueden seleccionar 3 medallistas del grupo de 8 corredores sin considerar sus posiciones. No importa si la persona llega primero, segundo o tercero, siempre que el corredor gane una medalla.

En este caso se utilizan combinaciones porque el orden de las medallas no es importante. Por lo tanto, resolvemos esto usando la fórmula de combinaciones.

$$ₙСᵣ = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

El número de formas en que se pueden seleccionar 3 medallistas de 8 corredores está dado por:

$$₈C₃=\frac{8!}{3! × \left(8-3\right)!}=\frac{8!}{3! × 5!}=\frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1}=8×7=56$$

Ejemplos de cálculo de permutaciones

1. El productor de noticias puede elegir 3 de los 5 oradores invitados para su programa de análisis. El orden de los invitados es importante. ¿De cuántas maneras diferentes puede el productor organizar las presentaciones de los invitados? El orden es importante y no se utilizará la repetición porque el mismo invitado no puede aparecer dos veces en el mismo programa de noticias. Por lo tanto, podemos usar la fórmula para permutaciones.

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₅P₃ = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60$$

Así podemos ver que el productor tiene 60 formas de organizar los altavoces.

2. Un crítico de restaurantes ha seleccionado 10 establecimientos en la ciudad en los que sirven sushi para clasificar los 3 mejores. Los establecimientos deben presentarse en un orden que muestre su lugar en los rankings. Además, el mismo lugar no puede aparecer en el ranking varias veces. Por lo tanto, cumplimos con los requisitos de la fórmula de permutaciones: el orden es importante y no debe haber repeticiones. Usamos la fórmula para permutaciones:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₁₀P₃ = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 × 9 × 8 = 720$$

3. Cuando decimos que el orden es importante para las permutaciones, no significa que el orden deba ser numérico desde 1 hasta, digamos, 10 o cualquier otro número. El orden puede estar formado por ciertos objetos entre los que asignamos nuestros elementos del conjunto.

Por ejemplo, imagine a unl gerente de una empresa de reparación de viviendas. Tiene cuatro pedidos para pintar habitaciones hoy. Son la oficina de una agencia de visas, un almacén en una fábrica, una tienda de ropa y una habitación en una casa particular. La empresa tiene seis pintores. Cada uno de ellos puede ir a 1 instalación durante un día. Los dos pintores restantes tendrán el día libre.

Los objetos son la oficina de una agencia de visas, un almacén en una fábrica, una tienda de ropa y una habitación en una casa privada, que son análogos a las posiciones 1, 2, 3 y 4.

El gerente tendrá:

• 6 pintores que pueden ser asignados a la oficina,
• 5 pintores restantes para ser asignados al almacén,
• 4 pintores restantes para ser enviados a la tienda,
• Quedan 3 pintores a los que se les puede asignar una habitación en una casa particular.

Entonces, intuitivamente, podemos describir el número de opciones como 6 × 5 × 4 × 3 = 360.

Tenemos la condición de que el orden en que los pintores se distribuyen sobre los objetos es importante para nosotros. No se permite la repetición, es decir, que un pintor trabaje en más de un objeto el mismo día. Entonces podemos aplicar la fórmula de permutación que ya usamos.

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 × 5 × 4 × 3 = 360$$

Resulta que hay 360 formas diferentes en las que el gerente de una empresa de reparaciones del hogar puede asignar pedidos entre los pintores disponibles en determinadas condiciones.