Calculadora del teorema de Pitágoras

Esta calculadora pitagórica encuentra la longitud de un lado de un triángulo rectángulo si se conocen los otros dos lados del triángulo. Los cálculos se realizan en base al teorema de Pitágoras.

Instrucciones de uso

Ingrese las longitudes de los lados conocidas y presiona "Calcular". La calculadora devolverá los siguientes valores:

• Longitud del tercer lado.
• Valores angulares de los ángulos que no son de 90° en grados y radianes.
• Área del triángulo.
• Perímetro del triángulo.
• Longitud de la altura perpendicular a la hipotenusa.

La calculadora también devolverá la solución detallada, que puede expandir presionando "+ Mostrar pasos de cálculo".

Tenga en cuenta que los campos de entrada para cada lado incluyen una parte de número entero y una parte de raíz cuadrada para que pueda ingresar valores como 2√3, √3, etc.

Tenga en cuenta también que los valores de a y b, los catetos del triángulo, tienen que ser más cortos que el valor de c, la hipotenusa. Para vaciar todos los campos, presione "Borrar".

Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras establece que, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

El teorema de Pitágoras se puede escribir de la siguiente manera:

a² + b² = c²,

Donde a y b son las longitudes de los lados o catetos más cortos de un triángulo rectángulo, y c – es la longitud del lado más largo o hipotenusa. La ecuación anterior se puede describir de la siguiente manera: a al cuadrado más b al cuadrado es igual a c al cuadrado.

Prueba del teorema de Pitágoras

Demostremos el teorema de Pitágoras sumando las áreas.

En la imagen de arriba, el cuadrado de lado (a + b) está formado por un cuadrado de lado c, y cuatro triángulos rectángulos de lados a, b y c. Encontremos el área de este cuadrado usando dos estrategias diferentes:

1. El área de la superficie del cuadrado con la longitud del lado (a + b) se puede calcular como (a + b)²:

A = (a + b)²

2. Se puede encontrar la misma área de superficie como la suma de las áreas de superficie de las figuras que forman el cuadrado: el área de un cuadrado con lado c y cuatro áreas de un triángulo con lados a, b y c. El área del cuadrado de lado c se puede calcular como c². El área del triángulo rectángulo con lados a, b y c se puede encontrar como (ab)/2. Por lo tanto,

A = c² + 4 × (ab)/2 = c² + 2ab

Dado que ambos cálculos describen la misma área de superficie, podemos igualarlos:

(a + b)² = c² + 2ab

Expandiendo el cuadrado en el lado izquierdo de la ecuación, obtenemos:

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

Restando 2ab de ambos lados de la ecuación, obtenemos:

a² + b² = c²

que es el resultado requerido.

Algoritmos de cálculo

Encontrar los lados de un triángulo rectángulo

Si se dan dos lados de un triángulo rectángulo, el tercer lado se puede encontrar usando el teorema de Pitágoras. Por ejemplo, si se dan los lados a y b, la longitud del lado c se puede encontrar de la siguiente manera:

$$c=\sqrt{a²+b²}$$

Similarmente,

$$a=\sqrt{c²-b²}$$

y

$$b=\sqrt{c²-a²}$$

Encontrar los ángulos de un triángulo rectángulo

Si se conocen los tres lados del triángulo rectángulo, los ángulos que no son de 90° del triángulo se pueden encontrar de la siguiente manera:

• ∠α = arcsin(a/c) o ∠α = arccos(b/c)
• ∠β = arcsin(b/c) o ∠β = arccos(a/c)

Aquí, ∠α es el ángulo opuesto al lado 'a', ∠β es el ángulo opuesto al lado 'b' y 'c' es la hipotenusa. La elección entre arcsin y arccos depende de qué lado (a o b) estás considerando en relación con el ángulo. Usando arcsin, utilizas el lado opuesto al ángulo, y con arccos, usas el lado adyacente al ángulo. Ambos enfoques son válidos y te proporcionarán las medidas de ángulos correctas en un triángulo rectángulo.

Área de un triángulo rectángulo

El área de un triángulo rectángulo se puede calcular como la mitad del producto de sus catetos:

A = 1/2 × (ab) = (ab)/2

Perímetro de un triángulo rectángulo

El perímetro de un triángulo rectángulo se calcula como la suma de todos sus lados:

P = a + b + c

Altitud a hipotenusa

Si se conocen los tres lados de un triángulo rectángulo, la altura a la hipotenusa, h, se puede encontrar de la siguiente manera:

h = (a × b)/c

Ejemplos de la vida real

El teorema de Pitágoras se usa ampliamente en arquitectura y construcción para calcular las longitudes de los componentes necesarios y garantizar que los ángulos en los edificios construidos sean correctos. Veamos un ejemplo de aplicación del teorema.

Colocar objetos

Imagine que se está mudando y contrató un camión de mudanzas con una longitud de 4 metros y una altura de 3 metros. No tiene muchos objetos voluminosos, pero tiene una escalera de 4.5 metros de largo. ¿Cabe su escalera en el camión?

Solución

Dado que la longitud de la escalera, 4.5 metros, excede la longitud del camión, 4 metros, la única forma en que la escalera entrará es en diagonal. Para determinar si eso es posible, necesitamos usar el teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa de un triángulo con lados iguales a la longitud y la altura del camión. Por lo tanto, en nuestro caso a = 4, b = 3, y necesitamos encontrar c:

$$c=\sqrt{a²+b²}=\sqrt{4²+3²}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$

La hipotenusa de un triángulo con a = 4 y b = 3 es c = 5. Por lo tanto, el objeto más largo que puede caber en el camión puede medir 5 metros. Tu escalera mide 4.5 metros de largo. ¡Por lo tanto, cabrá fácilmente!

Respuesta

Sí, la escalera cabrá.

Cálculos adicionales

Esta calculadora en línea también encontrará algunas características adicionales del triángulo dado. Calcula estas características para el triángulo con a = 4, b = 3 y c = 5.

Área del triángulo:

A = (ab)/2 = (3 × 4)/2 = 12/2 = 6

Perímetro del triángulo:

P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12

Altitud a hipotenusa:

h = (a × b)/c = (3 × 4)/5 = 12/5 = 2,4

Ángulo opuesto al lado a:

∠α = arcsin(a/c) = arcsin(4/5) = arcsin(0,8) = 53,13° = 53°7'48" = 0,9273 rad

Ángulo opuesto al lado b:

∠β = arcsin(b/c) = arcsin(3/5) =arcsin(0,6) = 36,87° = 36°52'12" = 0,6435 rad