حل کننده معادلات ریاضی

این حل‌کننده می‌تواند به عنوان یک ماشین حساب عملیات‌های ریاضی یا ماشین حساب PEMDAS استفاده شود. این برنامه مسائل ریاضی را با دنبال کردن الگوریتم PEMDAS حل می‌کند و عملیات‌ها را به ترتیب زیر در اولویت قرار می‌دهد:

• پرانتز، براکت، گروه‌بندی
• توان‌ها، ریشه‌ها
• ضرب، تقسیم
• جمع، تفریق

دستورالعمل‌های استفاده

برای استفاده از این حل‌کننده PEMDAS، معادله داده شده را با استفاده از نمادهای زیر وارد کنید:

• "+" جمع
• "-" تفریق
• "*" ضرب
• "/" تقسیم
• "^" به توان (مثلا، 12^2 به معنای 12 به توان 2 است: 12² = 144. 49^(1/2) به معنای 49 به توان 1/2 است: 49¹/² = 7).
• "root"(x[n])
• می‌توانید از (), {}, [] برای براکت‌ها و گروه‌بندی استفاده کنید.

کپی کردن معادلات از منابع دیگر

شما می‌توانید معادلات را از منابع دیگر کپی و در این ماشین حساب معادله الصاق کنید. این ماشین حساب معمولاً حتی اگر فایل منبع از نمادهای مختلفی برای عملیات‌ها استفاده کند، مانند × به جای * یا ÷ به جای /، کار خواهد کرد. با این حال، در برخی موارد، شما باید نمادهای مختلف را با آن‌هایی که توسط این ماشین حساب شناسایی می‌شوند، جایگزین کنید.

کار کردن با کسرها

این ماشین حساب همچنین با کسرها کار می‌کند. برای وارد کردن یک کسر، از خط کسر / استفاده کنید و کسر داده شده را در پرانتز قرار دهید. در غیر این صورت، تقسیم کسری بر اساس ترتیب عملیات‌های PEMDAS انجام خواهد شد. به عنوان مثال، 25^(1/2) را برای داشتن 25 به توان 1/2 وارد کنید: 25^(1/2) = 5. اگر شما 25^1/2 را وارد کنید، پاسخ 12.5 خواهد بود زیرا ماشین حساب 25^1/2 را به عنوان (25^1)/2 = 25/2 = 12.5 تفسیر می‌کند، با دنبال کردن ترتیب عملیات‌های PEMDAS.

ترتیب عملیات‌های PEMDAS

اگر تنها یک عملیات در یک عبارت ریاضی وجود داشته باشد، پاسخ معمولاً واضح است. به عنوان مثال، 12 + 4 = 16.

با این حال، اگر با عبارتی مانند این مواجه شوید: 3 × 4 - 4، کدام عملیات را باید اول انجام دهید؟ اگر اول ضرب را انجام دهید، به این نتیجه می‌رسید: 3 × 4 - 4 = 12 - 4 = 8. اما اگر ابتدا تفریق را انجام دهید، پاسخ متفاوتی خواهید گرفت: 3 × 4 - 4 = 3 × 0 = 0.

برای حل این مشکل، ریاضیدانان اولویت‌هایی را به تمام عملیات‌ها اختصاص می‌دهند و همیشه آن‌ها را به ترتیب خاصی انجام می‌دهند. این ترتیب توسط اختصار PEMDAS توصیف شده است، که P برای پرانتز (یا براکت‌ها، یا گروه‌بندی)، E – به معنای توان‌ها (و ریشه‌ها)، M – به معنای ضرب، D – تقسیم، A – جمع، S – تفریق است.

توجه داشته باشید که کشورهای مختلف از اختصارات مختلفی استفاده می‌کنند، اما همه آن‌ها همان ترتیب عملیات‌ها را توصیف می‌کنند. به عنوان مثال، BEDMAS به معنای براکت‌ها، توان‌ها، تقسیم، ضرب، جمع، تفریق؛ GEMDAS یک اختصار برای گروه‌بندی، توان‌ها، ضرب، تقسیم، جمع، تفریق؛ BODMAS به معنای براکت‌ها، ترتیب، تقسیم، ضرب، جمع، تفریق است.

ترتیب ضرب و تقسیم

در الگوریتم PEMDAS، ضرب و تقسیم عملیات‌هایی با اولویت معادل هستند، به این معنی که ساده‌سازی از چپ به راست انجام می‌شود (مگر اینکه یکی از آن‌ها در پرانتز باشد). به عنوان مثال، در عبارت 12 / 2 × 3 ابتدا باید تقسیم 12 / 2 را انجام دهید تا 6 به دست آید، سپس 6 را در 3 ضرب کنید تا 18 به دست آید.

به همین دلیل است که در برخی اختصارات M – ضرب قبل از D – تقسیم قرار می‌گیرد (PEMDAS)، در حالی که در دیگران، D قبل از M قرار می‌گیرد (BODMAS).

ترتیب جمع و تفریق

جمع و تفریق نیز اولویت معادلی دارند. این عملیات‌ها به محض رخ دادن در عبارت، از چپ به راست انجام می‌شوند. به عنوان مثال، در عبارت 10 - 7 + 3، ابتدا باید تفریق 10 - 7 = 3 را انجام دهید، و سپس جمع 3 + 3 = 6 را انجام دهید. 10 - 7 + 3 = 6.

ترتیب ریشه‌ها و توان‌ها

همانطور که بالاتر توضیح داده شد، عملیات‌های ضرب و تقسیم، همچنین جمع و تفریق، از چپ به راست انجام می‌شوند. این عملیات‌ها، چپ‌تراکمی نامیده می‌شوند. از سوی دیگر، ریشه‌ها و توان‌ها راست‌تراکمی هستند، به این معنی که از راست به چپ انجام می‌شوند.

به عنوان مثال، بیایید عبارت زیر را حل کنیم: 2^3^1^2 یا \$2^{3^{1^{2}}}\$.

چون عملیات توان راست‌تراکمی است، پس حل آن را از سمت راست آغاز می‌کنیم.

ابتدا 1^2=1 را محاسبه می‌کنیم، سپس 3^1=3، و در نهایت 2^3=8. این ترتیب گاهی اوقات به عنوان "ترتیب از بالا به پایین" توصیف می‌شود، زیرا شما با بالاترین توان شروع می‌کنید و به "پایین" راه می‌روید.

عبارت می‌تواند به صورت زیر بازنویسی شود:

$$2^{3^{1^{2}}} = 2^{3^{1}} = 2^{3} = 8$$

پرانتزهای متعدد

هنگامی که یک عبارت شامل پرانتزهای متعدد است، حل آن با پرانتز داخلی‌ترین آغاز می‌شود و به سمت پرانتزهای بیرونی ادامه می‌یابد. توجه داشته باشید که اگر عبارت داخل پرانتزها شامل چندین عملیات باشد، باز هم آن‌ها طبق ترتیب PEMDAS انجام می‌شوند.

مثال واقعی

در نگاه اول، ترتیب عملیات‌ها به نظر می‌رسد که یک مفهوم صرفاً ریاضی است. با این حال، ما بسیار اغلب از آن در زندگی روزمره بدون اینکه حتی متوجه شویم استفاده می‌کنیم! به عنوان مثال، تصور کنید که شما با گروهی از دوستانتان پیتزا سفارش می‌دهید. فرض کنید یک پیتزا مارگاریتا به قیمت 15 دلار، یک پیتزا کواترو فرماجی به قیمت 16.50 دلار و یک پیتزا ناپولیتان به قیمت 14.50 دلار سفارش داده‌اید. شما یک گروه از 8 نفر هستید و نیاز دارید که محاسبه کنید هر کدام از شما چقدر باید پرداخت کنید. برای انجام این کار، شما اساساً عبارت زیر را با استفاده از الگوریتم PEMDAS حل می‌کنید:

(15 + 16.50 + 14.50)/8 = (31.50 + 14.50)/8 = (46)/8 = 46/8 = 5.75

هر کدام از شما باید 5.75 دلار پرداخت کنید.

به خاطر سپردن اختصار

عبارات زیادی برای به خاطر سپردن اختصار PEMDAS استفاده می‌شود، رایج‌ترین آن‌ها "لطفاً عذرخواهی کن، عزیزم، خاله سالی" است. با گرفتن حرف اول هر کلمه، شما PEMDAS را به دست می‌آورید. از این عبارت استفاده کنید، یا خودتان یکی دیگر اختراع کنید، به عنوان مثال، "الف‌های بنفش، جن‌ها را خسته می‌کنند، سوسیس‌های ارزان!"