ماشین حساب انحراف معیار استاندارد

ماشین حساب انحراف معیار، انحراف معیار یک دسته از اعداد را محاسبه می‌کند. علاوه بر این، اطلاعات اضافی در مورد اعداد را ارائه می‌دهد، از جمله میانگین و واریانس. این ماشین حساب همچنین فاصله اطمینان داده‌ها را برای سطوح اطمینان مختلف محاسبه می‌کند و جدول توزیع فراوانی را ارائه می‌دهد.

برای استفاده از این ماشین حساب، اعداد را وارد کنید و آن‌ها را با ویرگول از یکدیگر جدا کنید. انتخاب کنید که آیا اعداد نمایانگر یک جمعیت یا نمونه هستند، و روی "محاسبه" کلیک کنید.

انحراف معیار

انحراف معیار یک اندازه آماری است که میزان پراکندگی یا تغییرپذیری یک داده‌های داده شده را تعریف می‌کند. این میانگین فاصله تجمعی نقاط داده از میانگین داده‌ها را فراهم می‌کند. هرچه انحراف معیار کوچک‌تر باشد، نقاط داده به میانگین نزدیک‌تر هستند. برعکس، هرچه انحراف معیار بیشتر باشد، نقاط داده از میانگین دورتر هستند. انحراف معیار ریشه دوم یک معیار پراکندگی دیگر به نام واریانس است.

انحراف معیار بر اساس اطلاعات درباره مجموعه داده‌ها محاسبه می‌شود. اگر مجموعه داده همه نقاط داده مورد علاقه را نمایش دهد (جمعیت)، انحراف معیار، انحراف معیار جمعیت نامیده می‌شود. با این حال، اگر مجموعه داده نمونه‌ای از یک جمعیت را نمایش دهد، انحراف معیار، انحراف معیار نمونه نامیده می‌شود.

انحراف معیار جمعیت

انحراف معیار جمعیت زمانی محاسبه می‌شود که مجموعه داده جمعیت مورد علاقه را نمایش دهد. یعنی، مجموعه داده تمام مشاهدات تحت بررسی را نمایش می‌دهد. انحراف معیار جمعیت با σ نشان داده می‌شود.

σ حرف کوچکی از یک حرف یونانی به نام سیگما است. انحراف معیار جمعیت با استفاده از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}{(x_i-\mu)^2}}{N}}$$

که در آن:

• Σ حرف بزرگ یونانی سیگما است که برای نمایش جمع در ریاضیات استفاده می‌شود؛
• xᵢ هر یک از نقاط داده (هر مشاهده از مجموعه داده)، از نقطه داده اول تا نقطه داده Nth (آخرین) را نمایش می‌دهد؛
• μ میانگین جمعیت را نمایش می‌دهد؛
• n اندازه جمعیت است.

مثالی از محاسبه انحراف معیار جمعیت عمومی

مثال زیر نحوه یافتن انحراف معیار داده‌های جمعیتی را نشان می‌دهد.

سرمایه‌گذاران به دلیل نوسان بالای سهام در مقایسه با سایر کلاس‌های دارایی، سهام را دارایی پرخطری می‌دانند. یک مدیر سرمایه‌گذاری می‌خواهد نوسان برخی از سهام‌ها در ماه گذشته را تجزیه و تحلیل کند و هیچ سهمی را که انحراف معیار آن برابر یا بیشتر از میانگینش باشد به مشتریان خود توصیه نخواهد کرد، زیرا چنین سهمی را "بیش از حد پرخطر" می‌داند.

در زیر قیمت‌های پایانی روزانه (به دلار آمریکا) سهام‌ها برای ماه گذشته آورده شده است. انحراف معیار را محاسبه کرده و تعیین کنید که آیا مدیر سهم را "بیش از حد پرخطر" می‌داند یا خیر:

1.31، 1.30، 1.36، 1.40، 1.40، 1.41، 1.27، 1.19، 1.15، 1.12، 0.99، 1.00، 0.97، 0.94، 0.88، 0.90، 0.86، 0.88، 0.80، 0.81

توجه داشته باشید که مدیر تنها به قیمت‌های سهام ماه گذشته علاقه‌مند است و قیمت‌های فوق همه قیمت‌های ماه گذشته هستند. بنابراین، ما جمعیت را در اختیار داریم. پس ما انحراف معیار را با استفاده از فرمول انحراف معیار جمعیت محاسبه خواهیم کرد.

برای یافتن انحراف معیار، ابتدا میانگین را محاسبه کنید. به یاد داشته باشید که میانگین μ با تقسیم مجموع اعداد بر تعداد اعداد به دست می‌آید.

$$\mu = \frac{1.31+1.30+1.36+1.40+1.40+1.41+1.27+1.19+1.15+1.12+0.99+1.00+0.97+0.94+0.88+0.90+0.86+0.88+0.80+0.81}{20} = 1.097$$

سپس، میانگین را از هر عدد کم کنید و تفاوت را به توان دو برسانید. سپس نتایج را جمع کرده و نتیجه را بر تعداد تقسیم کنید. نتیجه به نام واریانس σ² نامیده می‌شود.

$$\sigma^2 = \frac{\left(1.31-1.097\right)^2+\left(1.30-1.097\right)^2+\left(1.36-1.097\right)^2+\left(1.40-1.097\right)^2+\ldots+\left(0.81-1.097\right)^2}{20} = 0.045031$$

در نهایت، ریشه دوم واریانس را بگیرید تا انحراف معیار به دست آید.

$$\sigma = \sqrt{0.045031} \approx 0.21$$

همانطور که می‌بینید، انحراف معیار قیمت‌های این سهم برای ماه گذشته کمتر از میانگین است. بنابراین، مدیر این سهم را "بیش از حد پرخطر" در نظر نخواهد گرفت.

انحراف معیار نمونه

انحراف معیار نمونه زمانی محاسبه می‌شود که مجموعه داده‌های تحت بررسی نمونه‌ای از جمعیت مورد علاقه را نشان دهد. مجموعه داده نمونه‌ای کوچکتر از مشاهدات از تمام مشاهدات تحت بررسی را نمایش می‌دهد. انحراف معیار نمونه با s نشان داده می‌شود. انحراف معیار نمونه با استفاده از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{n-1}}$$

که در آن:

• Σ نمایش‌دهنده جمع است؛
• xᵢ هر یک از نقاط داده را نمایش می‌دهد؛
• x̄ میانگین نمونه را نمایش می‌دهد؛
• n اندازه نمونه است.

ما با استفاده از همان مثال برای انحراف معیار جمعیت، چگونگی یافتن انحراف معیار داده‌های نمونه را نشان خواهیم داد. اما در این شرایط، مدیر سرمایه‌گذاری به قیمت‌های پایانی تمام روزهای معاملاتی ماه گذشته دسترسی ندارد. با این حال، او قیمت‌های پایانی برخی از روزهای تصادفی 5 روزه از ماه گذشته را دارد. بنابراین، او انحراف معیار قیمت‌های پایانی سهام را با استفاده از داده‌های نمونه موجود تخمین خواهد زد.

فرض کنید که او قیمت‌های پایانی برای 5 روز را دارد:

1.31، 1.40، 0.86، 0.88، 1.40

توجه داشته باشید که مدیر به قیمت‌های سهام ماه گذشته علاقه‌مند است. با این حال، او تمام قیمت‌های ماه گذشته را ندارد، بلکه یک زیرمجموعه کوچک از قیمت‌های پایانی فقط 5 روز را دارد. بنابراین در این حالت ما با یک نمونه سر و کار داریم. ما انحراف معیار را با استفاده از فرمول انحراف معیار نمونه محاسبه خواهیم کرد.

ابتدا، میانگین نمونه را محاسبه کنید.

$$\bar{x} = \frac{1.31+1.40+0.86+0.88+1.40}{5} = 1.17$$

سپس، واریانس s² را محاسبه کنید.

$$s^2 = \frac{\left(1.31-1.17\right)^2+\left(1.40-1.17\right)^2+\left(0.86-1.17\right)^2+\left(0.88-1.17\right)^2+\left(1.40-1.17\right)^2}{5-1} = 0.0764$$

در نهایت، ریشه دوم واریانس را بگیرید تا انحراف معیار به دست آید.

$$s = \sqrt{0.0764} \approx 0.28$$

خطای حاشیه

یکی از کاربردهای انحراف معیار، محاسبه دامنه "قابل قبول" ارزش‌ها است. این امر نقش مهمی در تضمین کیفیت آماری صنعتی و تحلیل پیش‌بینی دارد. فرض کنید داده‌های زیرین مورد نظر، دنبال یک توزیع نرمال می‌کنند. در این حالت، این دامنه به عنوان فاصله اطمینان (به بخش بعدی مراجعه کنید) نامیده می‌شود. این فواصل اطمینان در سطوح اطمینان مختلف (یا درصدها) داده شده‌اند.

خطای حاشیه، جزئی از فاصله اطمینان است که پهنای فاصله اطمینان را می‌دهد. یعنی، خطای حاشیه، حداکثر و حداقل مقادیر پذیرفته شده مقدار مورد نظر را می‌دهد.

خطای حاشیه با استفاده از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$$خطای\ حاشیه\ = z_{\alpha/2}\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

این فرمول زمانی به کار برده می‌شود که انحراف معیار جمعیت، σ، شناخته شده است. و در عین حال نمونه باید به اندازه کافی بزرگ باشد (معمولاً n>30).

وقتی انحراف معیار جمعیت ناشناخته است و نمونه کوچک است (معمولاً n≤30) ما از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$خطای\ حاشیه\ = t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

در این فرمول ما از انحراف معیار نمونه s به جای انحراف معیار جمعیت σ استفاده می‌کنیم زیرا انحراف معیار جمعیت ناشناخته است.

\$z_{\alpha/2}\$ و \$t_{n-1, \alpha/2}\$ با استفاده از آماره‌های z و t تعیین می‌شوند و به عنوان مقدار بحرانی نامیده می‌شوند. آنها ثابت‌هایی هستند که با سطوح اطمینان مرتبط هستند.

رایج‌ترین فواصل اطمینان استفاده شده در آمار 90%، 95% و 99% هستند. و مقادیر \$z_{\alpha/2}\$ آنها 1.645 (برای 90%)، 1.96 (برای 95%) و 2.575 (برای 99%) هستند

\$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ یا \$\frac{s}{\sqrt n}\$ به عنوان خطای استاندارد نامیده می‌شوند.

• \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ زمانی استفاده می‌شود که ما انحراف معیار جمعیت σ را می‌دانیم و نمونه بزرگی داریم (معمولاً n>30).
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ برای مواردی استفاده می‌شود که ما انحراف معیار جمعیت را نمی‌دانیم و نمونه کوچکی داریم (معمولاً n≤30). یعنی، به جای استفاده از انحراف معیار جمعیت عمومی σ، ما باید از انحراف معیار نمونه‌ای که در اختیار داریم s استفاده کنیم.

فاصله اطمینان

همانطور که در بالا معرفی شد، فاصله اطمینان فاصله‌ای (محدوده‌ای از مقادیر) است که انتظار می‌رود یک کمیت داده شده در آن واقع شود، در سطح اطمینان خاصی.

به عنوان مثال، می‌توانیم بگوییم که مقدار معینی، مثلا قد دختران 13 ساله، بین 59 اینچ و 66 اینچ در سطح اطمینان 90% قرار دارد. یعنی، اگر قرار باشد گروهی از دختران 13 ساله را انتخاب کنیم، حدود 90% از زمان، قدهای آنها بین مقادیر داده شده قرار خواهد داشت.

فاصله اطمینان با استفاده از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$$\bar{x}± z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ میانگین نمونه است،
• \$z_{\alpha/2}\$ مقدار بحرانی است،
• σ انحراف معیار جمعیت است،
• n تعداد مشاهدات است.

فرمول دیگری استفاده می‌شود وقتی ما انحراف معیار جمعیت σ را نمی‌دانیم و باید به جای آن از انحراف معیار نمونه s استفاده کنیم:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ میانگین نمونه است،
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ مقدار بحرانی است،
• s انحراف معیار نمونه است،
• n تعداد مشاهدات است.

همانطور که از فصل قبلی به خاطر داریم \$z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\$ و \$t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\$ خطاهای حاشیه‌ای هستند.

مثالی از محاسبه فاصله اطمینان

فرض کنید می‌دانیم که قیمت‌های روزانه سهامی که در نظر داریم، دارای توزیع نرمال هستند. ما نمونه‌ای از قیمت‌های سهام در اختیار داریم:

1.31، 1.36، 1.40، 1.27، 1.15، 0.99، 0.97، 0.88، 0.86، 0.80

ما نیاز داریم که محدوده‌ای را محاسبه کنیم که قیمت‌های سهام با اطمینان 95% در آن نوسان خواهند کرد.

این یک نمونه کوچک است و ما انحراف معیار جمعیت را نمی‌دانیم، بنابراین ما از انحراف معیار نمونه و فرمول زیر برای محاسبه استفاده خواهیم کرد:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ میانگین نمونه است، 1.10
• \$t_{n-1,\alpha/2}$ مقدار بحرانی است، \$t_{9, 0.025}\$ = 2.26 (مقدار بحرانی برای یک اندازه نمونه و سطح اطمینان داده شده معمولاً از جدول z یا جدول t محاسبه می‌شود)
• s انحراف معیار نمونه است، 0.23
• n تعداد مشاهدات است، 10,
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ خطای استاندارد است \$\frac{0.23}{\sqrt{10}}=0.07\$

پس ما اعداد را در فرمول قرار می‌دهیم

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

و می‌گیریم:

$$1.10 - 2.26 \left( \frac{0.23}{\sqrt{10}} \right) = 1.10 - 2.26 \left( \frac{0.23}{3.16} \right) = 1.10 - 2.26 \times 0.07 = 1.10 - 0.16 = 0.94$$

$$1.10 + 2.26 \left( \frac{0.23}{\sqrt{10}} \right) = 1.10 + 2.26 \left( \frac{0.23}{3.16} \right) = 1.10 + 2.26 \times 0.07 = 1.10 + 0.16 = 1.26$$

این بدان معناست که ما با اطمینان 95% مطمئن هستیم که میانگین قیمت سهم در فاصله اطمینان (0.94, 1.26) قرار دارد.