ماشین حساب باینری

این ماشین حساب برای انجام انواع مختلفی از عملیات‌ها با اعداد باینری استفاده می‌شود. این شامل ماشین حساب جمع باینری، ماشین حساب تفریق باینری، ماشین حساب تقسیم باینری، ماشین حساب ضرب باینری و ماشین حساب تبدیل باینری است. ماشین حساب تبدیل باینری می‌تواند مقادیر باینری را به مقادیر دهدهی و برعکس تبدیل کند.

راهنمای استفاده

محاسبات باینری

از قسمت اول ماشین حساب برای انجام محاسبات باینری - جمع، تفریق، تقسیم یا ضرب دو عدد باینری استفاده کنید. برای انجام یک محاسبه، اعداد باینری داده شده را وارد کرده و نشانه عملیات ریاضی مورد نیاز (+، -، ×، ÷) را انتخاب کنید. سپس دکمه "Calculate" را فشار دهید. ماشین حساب نتیجه را به مقادیر باینری و همچنین به مقادیر دهدهی نمایش می‌دهد.

تبدیل مقدار باینری به مقدار دهدهی

برای تبدیل یک مقدار باینری به مقدار دهدهی، از قسمت دوم ماشین حساب استفاده کنید. فقط مقدار باینری داده شده را وارد کرده و دکمه "Calculate" را فشار دهید.

تبدیل مقدار دهدهی به مقدار باینری

برای انجام تبدیلات دهدهی به باینری، از قسمت سوم ماشین حساب استفاده کنید. مقدار دهدهی داده شده را وارد کرده و دکمه "Calculate" را فشار دهید. تمام قسمت‌های ماشین حساب با اعداد کامل کار می‌کنند.

اعداد باینری

یک عدد باینری فقط از یک‌ها و صفرها تشکیل شده است، به عنوان مثال، 10001110101010 یک عدد باینری خواهد بود. سیستم عدد باینری گاهی اوقات به عنوان سیستم عددی پایه-2 نامیده می‌شود، بنابراین یک ماشین حساب باینری یک ماشین حساب پایه 2 است.

یک عدد باینری در سیستم پایه 2 به همان شیوه‌ای تشکیل می‌شود که یک عدد دهدهی در سیستم "عادی" پایه 10 تشکیل می‌شود. در سیستم عددی دهدهی، ما 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9 ... را می‌شماریم و سپس به 0 بازمی‌گردیم، اما یک 1 را در جلوی آن اضافه می‌کنیم، به دست آوردن 10. در سیستم باینری ما همان کار را انجام می‌دهیم، اما خیلی زودتر به 10 می‌رسیم. ما 0، 1 ... را می‌شماریم و حالا دیگر رقمی نداریم، بنابراین بلافاصله به 10 می‌رسیم.

بنابراین، 2 به دهدهی برابر با 10 به باینری است. برای نوشتن 3 به باینری، از 10 به 11 ادامه می‌دهیم. اما برای نوشتن 4، باید به 00 برویم، یک 1 را در جلو اضافه کنیم. بنابراین، 4 به دهدهی برابر با 100 به باینری است. معادل‌های دهدهی-باینری برخی از اعداد در جدول زیر ارائه شده‌اند.

توجه داشته باشید که همانند سیستم عددی دهدهی، افزودن صفرها در جلوی عدد مقدار آن را تغییر نمی‌دهد. به عنوان مثال، نوشتن 6 به عنوان 06 از نظر فنی درست خواهد بود. به طور مشابه، در باینری 6 می‌توان به عنوان 110 یا 0110 نوشت.

تبدیلات باینری

تبدیل اعداد دهدهی به اعداد باینری

ساده‌ترین راه برای تبدیل یک عدد دهدهی به یک عدد باینری، تقسیم مداوم عدد دهدهی داده شده به 2 و یادداشت باقی‌مانده‌ها است. زمانی که صفر را به عنوان خارج قسمت بدست آوردید، تمام باقی‌مانده‌ها را به ترتیب معکوس بنویسید، تا عدد باینری بدست آید. برای مثال، بیایید 17 را به یک عدد باینری تبدیل کنیم:

1. 17 ÷ 2 = 8 باقی‌مانده 1
2. 8 ÷ 2 = 4 باقی‌مانده 0
3. 4 ÷ 2 = 2 باقی‌مانده 0
4. 2 ÷ 2 = 1 باقی‌مانده 0
5. 1 ÷ 2 = 0 باقی‌مانده 1

نوشتن تمام باقی‌مانده‌ها به ترتیب معکوس، عدد زیر را دریافت خواهیم کرد: 10001. 17₁₀ = 10001₂. (توجه داشته باشید که ترتیب سیستم عددی به صورت زیرنویس پس از عدد اضافه می‌شود).

تبدیل اعداد باینری به اعداد دهدهی

برای تبدیل یک مقدار باینری به یک مقدار دهدهی، مراحل زیر را دنبال کنید. برای وضوح، مراحل شامل یک مثال تبدیل خواهد شد. بیایید 100101₂ را به یک عدد دهدهی تبدیل کنیم.

1. از رقم اول از سمت چپ عدد باینری شروع کنید. عدد بدست آمده در مرحله قبل را در 2 ضرب کرده و رقم کنونی را اضافه کنید. در مثال 100101، رقم اول از سمت چپ 1 است. ما هنوز مرحله قبلی نداشتیم، پس عدد قبلی 0 است: (0 × 2) + 1 = 0 + 1 = 1.
2. مرحله 1 را برای رقم دوم تکرار کنید. در مثال 100101، رقم دوم از سمت چپ 0 است. عدد از مرحله قبل 1 است. (1 × 2) + 0 = 2.
3. مرحله 1 را برای هر رقم متوالی تکرار کنید. مجموع نهایی نمایانگر معادل دهدهی عدد باینری داده شده است.

در نهایت، 100101₂ = 37₁₀

محاسبات باینری

جمع باینری

قوانین جمع در سیستم باینری معادل قوانین جمع در سیستم دهدهی است. تنها تفاوت در این است که انتقال عدد به رقم بعدی زمانی رخ می‌دهد که مجموع به 2 برسد (برخلاف 10 در سیستم دهدهی). قوانین جمع باینری عبارتند از:

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 0، و 1 منتقل می‌شود.

برای مثال،

1001 + 1011 = 10100

تفریق باینری

تفریق باینری نیز از قوانین تفریق دهدهی پیروی می‌کند، با این تفاوت که وام گرفتن از رقم سفارش بالاتر زمانی رخ می‌دهد که 1 از 1 کم شود. قوانین تفریق باینری عبارتند از:

• 0 - 0 = 0
• 1 - 0 = 1
• 1 - 1 = 0
• 0 - 1 = 1، 1 وام گرفته می‌شود.

وقتی که شما یک عدد را از رقم سفارش بالاتر قرض می‌گیرید، اساساً برای رقم مورد نظر 2 می‌شود، و 2 - 1 = 1. برای مثال،

1100 - 1001 = 0011 = 11

در این مثال، نمی‌توانیم 1 را از رقم سفارش بالاتر قرض بگیریم، پس مجبوریم یک رقم بیشتر بپریم. سپس رقم دوم از راست اساساً 2 می‌شود، و وقتی از آن وام می‌گیریم، به 1 کاهش می‌یابد. اعداد آبی در تصویر نشان دهنده تغییرات رقمی هنگام وام گرفتن هستند.

ضرب باینری

قوانین ضرب باینری عبارتند از:

• 0 × 0 = 0
• 0 × 1 = 0
• 1 × 0 = 0
• 1 × 1 = 1

برای مثال،

تقسیم باینری

تقسیم باینری از همان قوانین تقسیم طولانی برای اعداد دهدهی پیروی می‌کند. مشابه سیستم دهدهی، در سیستم عددی باینری، تقسیم بر 0 امکان‌پذیر نیست. قوانین تقسیم باینری عبارتند از:

• 0 ÷ 0 انجام نمی‌شود
• 0 ÷ 1 = 0
• 1 ÷ 0 انجام نمی‌شود
• 1 ÷ 1 = 1

برای مثال، 1111 ÷ 10 = 111 R1:

تاریخچه مختصر اعداد باینری

تاریخچه اعداد باینری سفری جذاب است که ریاضیات، فلسفه، و تکامل رایانه‌های مدرن را به هم پیوند می‌زند. بازگشت به اواخر قرن 17، سیستم باینری برای اولین بار توسط ریاضیدان و فیلسوف آلمانی، گوتفرید ویلهلم لایبنیتس، مفهوم‌سازی شد. در مقاله‌اش "توضیحی بر روی حساب باینری"، لایبنیتس سیستمی را پیشنهاد کرد که تنها از دو رقم، 0 و 1، برای نمایش اعداد استفاده می‌کرد. این سیستم باینری، با وجود اینکه یک پیشرفت مهم ریاضی بود، به سرعت شناخته شده یا کاربردی نشد.

با وجود معرفی اولیه آن، استفاده عملی از اعداد باینری قرن‌ها طول کشید تا تکامل یابد. تا قرن 19 نبود که پیشرفت‌های قابل توجهی انجام شد، بیشتر به دلیل کار جورج بول. بول، ریاضیدان انگلیسی، نوعی جبر را توسعه داد که پایه و اساس آنچه که بعدها به نام جبر بولی شناخته شد، شد. این جبر از متغیرهای باینری استفاده کرده و جزء حیاتی در توسعه مدارهای الکترونیکی و منطق دیجیتال شد.

پیشرفت واقعی برای اعداد باینری با ظهور رایانه‌های الکترونیکی در قرن 20 آمد. توسعه اولین رایانه‌های الکترونیکی در دهه‌های 1940 و 1950، مانند رایانه عددی الکترونیکی و رایانه (ENIAC) و رایانه خودکار جهانی (UNIVAC)، نقطه عطفی بود. این رایانه‌های اولیه از اعداد باینری برای پردازش و ذخیره‌سازی داده‌ها استفاده کردند و سیستم باینری را به عنوان بخش جدایی‌ناپذیری از فناوری رایانه تثبیت کردند.

یک نقطه عطف دیگر در تاریخچه اعداد باینری، رایانه آتاناسف-بری (ABC) بود که توسط جان آتاناسف و کلیفورد بری در اواخر دهه 1930 توسعه یافت. ABC از جمله اولین رایانه‌های الکترونیکی بود که از ارقام باینری برای محاسبه استفاده کرد، اگرچه یک رایانه دیجیتال کاملاً عملی در مفهوم مدرن نبود.

همانطور که حوزه رایانه به سرعت گسترش یافت، استفاده از اعداد باینری در فناوری دیجیتال همه‌گیر شد. امروزه، اعداد باینری به عنوان بلوک‌های اساسی سیستم‌های دیجیتال، از ساده‌ترین ماشین‌حساب‌ها تا پیچیده‌ترین ابررایانه‌ها، می‌باشند. آن‌ها در کاربردهای مختلفی از جمله کدگذاری داده‌ها، ارتباطات و پردازش سیگنال دیجیتال، اساسی هستند.

سفر از کارهای نظری اولیه لایبنیتس تا کاربرد گسترده عملی اعداد باینری در فناوری مدرن، گواهی بر تأثیر دائمی این سیستم عددی ساده اما قدرتمند است. سیستم باینری، با توانایی نمایش داده‌ها و دستورالعمل‌های پیچیده با استفاده از فقط دو نماد، همچنان ستون فقرات فناوری دیجیتال باقی مانده و روشی که ما محاسبه، ارتباط برقرار می‌کنیم و با دنیای دیجیتال تعامل داریم را شکل می‌دهد.

کاربردهای واقعی

اعداد باینری نه تنها در علوم کامپیوتر و فناوری استفاده می‌شوند، بلکه در زمینه‌های مختلف دیگر فعالیت‌های انسانی نیز کاربرد واقعی دارند.

حافظه کامپیوتر از ترانزیستورها تشکیل شده که می‌توانند در حالت "روشن" یا "خاموش" باشند. در یک سیستم باینری، "روشن" توسط عدد 1 و "خاموش" توسط عدد 0 نمایش داده می‌شود. این اجازه می‌دهد داده‌ها به کد باینری ذخیره شوند، جایی که هر حالت "روشن" یا "خاموش" یک 1 یا 0 را در یک رشته از ارقام باینری نشان می‌دهد. برای مثال، یک رشته از هشت رقم باینری، مانند "01101001"، می‌تواند حرف "i" را در کد ASCII کامپیوتر نمایش دهد.

هر پیکسل در یک تصویر دیجیتال می‌تواند توسط ترکیبی از ارقام باینری نمایش داده شود که شدت یک رنگ خاص (قرمز، سبز، آبی) را نشان می‌دهد. در مدل رنگی RGB، رنگ سفید می‌تواند توسط ارزش باینری "111" (7 در دهدهی) نمایش داده شود، که به این معنی است که هر سه کانال رنگ (قرمز، سبز و آبی) در بالاترین شدت خود هستند. به طور مشابه، رنگ سیاه می‌تواند توسط ارزش باینری "000" (0 در دهدهی) نمایش داده شود، که به این معنی است که هر سه کانال رنگ در کمترین شدت خود هستند.

در زمینه ارتباطات دیجیتال، داده‌ها می‌توانند با نگاشتن هر کاراکتر یک پیام به ارقام باینری و سپس ارسال آن به صورت جریانی از بیت‌ها، از طریق یک کانال منتقل شوند. گیرنده می‌تواند بیت‌ها را به پیام اصلی بازگرداند.

دستگاه‌های دیجیتالی مانند کامپیوترها، گوشی‌های هوشمند و تلویزیون‌ها از کد باینری برای نمایش داده‌ها و انجام محاسبات استفاده می‌کنند. این به آن‌ها اجازه می‌دهد تا حجم زیادی از اطلاعات را به طور موثر پردازش و ذخیره کنند.

اعداد باینری در ارتباطات استفاده می‌شوند. کد باینری از طریق خطوط تلفن، کابل و ماهواره، داده‌ها را برای انتقال داده بر فواصل طولانی منتقل می‌کند. این اجازه می‌دهد تا ارتباطات سریع‌تر و موثرتر شود، که به ما امکان می‌دهد در سراسر جهان متصل باشیم.

اعداد باینری برای کنترل ماشین‌آلات خودکار مانند روبات‌ها و دستگاه‌های CNC در تولید استفاده می‌شوند. این ماشین‌ها از کد باینری برای تفسیر دستورالعمل‌ها استفاده می‌کنند، که به آن‌ها اجازه می‌دهد کارهای دقیقی مانند سوراخ‌کاری، برش و جوشکاری را انجام دهند.

اعداد باینری همچنین در زمینه پزشکی استفاده می‌شوند. تجهیزات پزشکی مانند دستگاه‌های اسکن CT، MRI و دستگاه‌های اشعه ایکس از کد باینری برای پردازش و تجزیه و تحلیل تصاویر پزشکی استفاده می‌کنند.

اعداد باینری همچنین در زمینه حمل و نقل استفاده می‌شوند. خودروهای مدرن از کد باینری برای کنترل عملکردهای مختلف مانند مدیریت موتور، تهویه هوا و ناوبری استفاده می‌کنند.

مفهوم اعداد باینری، که اولین بار توسط لایبنیتس معرفی شد، به بخش جدایی‌ناپذیری از زندگی روزمره ما تبدیل شده است. امروزه، استفاده از اعداد باینری برای کارکرد فناوری مدرن ضروری است و همچنان نقش اساسی در توسعه فناوری‌های جدید ایفا می‌کند.