ماشین حساب حجم

هر جسم جامد سه بعدی فضایی را اشغال می کند. می توان به فضایی که تلفن همراهمان روی میز قرار می دهد، ظرف ذخیره آب که در محله قرار می گیرد، یا به سادگی یک فوتبال در زمین، فکر کرد.

می توانیم حجم را به عنوان فضای اشغال شده توسط یک جسم تعریف کنیم. حجم همچنین می تواند به ظرفیت جسم اشاره داشته باشد. به جای اینکه به فضایی که ظرف آب در گاراژ ما اشغال می کند فکر کنیم، می توانیم به ظرفیت یا مقدار آبی که ظرف می تواند ذخیره کند فکر کنیم.

محاسبه حجم در رشته های مختلف علوم و ریاضیات استفاده می شود.

ماشین حساب حجم از اندازه گیری های متعدد هنگام محاسبه حجم پشتیبانی می کند. علاوه بر این، ماشین حساب فرمول و یک فرآیند محاسبه گام به گام را نشان می دهد. در این مقاله توضیحی ساده اما کافی در مورد ماشین حساب فرمول حجم و حجم با مثال های واقعی ارائه خواهد شد.

واحدها و اندازه گیری ها:

برای بهبود قابلیت اطمینان و دقت قضاوت خود، به یک واحد اندازه گیری استاندارد نیاز داریم. برای یکنواختی، ما به مجموعه ای استاندارد از واحدهای اندازه گیری نیاز داریم که به عنوان واحدهای استاندارد شناخته می شوند.

واحد حجم SI (سیستم بین المللی واحدها) متر مکعب متر مکعب است. با این حال، حجم برخی از اجسام کوچک را می‌توان در واحدهای کوچک‌تر نوشت، مانند سانتی‌متر مکعب سانتی‌متر مکعب یا میلی‌متر مکعب اگر جسم خیلی کوچک باشد.

از سوی دیگر، کاربر مختار است واحدی را که به بهترین وجه با برنامه او مطابقت دارد را مشخص کند. ماشین‌حساب حجم از دو سیستم اندازه‌گیری پشتیبانی می‌کند: سیستم متریک، واحدهای امپراتوری و عرفی ایالات متحده. کاربر این اختیار را دارد که بین واحدهای زیر یکی را انتخاب کند:

• کیلومتر،
• متر،
• سانتی متر،
• میلی متر،
• میکرومتر،
• نانومتر،
• آنگستروم،
• میل،
• گز،
• فوت،
• اینچ

اگر از فرمول برای محاسبه حجم استفاده کنیم، باید با واحدهای اندازه گیری همگن کار کنیم. بنابراین، ما معمولا تمام اندازه‌گیری‌ها را به یک واحد تبدیل می‌کنیم تا محاسبات آسان‌تر شود.

به عنوان مثال، محاسبه حجم استوانه ای با ارتفاع 75 سانتی متر و شعاع 0،5 متر را در نظر بگیرید. یا ارتفاع را به متر تبدیل می کنیم و حجم را بر حسب متر مکعب محاسبه می کنیم یا شعاع را به سانتی متر تبدیل می کنیم و حجم را بر حسب سانتی متر مکعب می یابیم.

در مورد اینکه به شما اجازه دهیم ارتفاع را بر حسب اینچ و شعاع را بر حسب نانومتر تعریف کنید، چطور؟ ماشین حساب حتی این تبدیل واحد را انجام می دهد و مراحل را نشان می دهد.

با استفاده از این ماشین حساب کاربر می تواند برای هر ورودی اندازه گیری یک واحد متفاوت انتخاب کند و ماشین حساب فرمول حجم صدا را برمی گرداند.

مثالی را در نظر بگیرید که ارتفاع سیلندر 5 اینچ و شعاع آن 10506070 نانومتر است. ما به بخش ماشین حساب حجم سیلندر رفته و مقادیر شعاع و ارتفاع را با واحدهای صحیح از لیست کشویی وارد می کنیم.

ماشین حساب ابتدا حجم را به اینچ مکعب 2.6874044006564 اینچ³ و نانومتر مکعب 4.4038667907438E+22 نانومتر³ برمی‌گرداند. چرا اینطور است؟ زیرا این واحدهای اندازه‌گیری هستند که ما در ورودی خود استفاده کردیم، ماشین حساب فرض می‌کند که ما نیاز داریم حجم با یکی از این واحدها محاسبه شود. حجم استوانه دو روش انجام محاسبه همراه با تبدیل واحد را نشان می‌دهد!

ماشین حساب حجم: محدوده، ویژگی ها و مثال ها:

روش های محاسبه حجم می تواند از یک شکل به شکل دیگر متفاوت باشد. برخی از اشکال هندسی از فرمول های حسابی استاندارد برای محاسبه حجم خود بر اساس ویژگی هایشان مانند طول یا شعاع لبه استفاده می کنند.

سایر اشکال هندسی پیچیده تر هستند و نمی توانید حجم آنها را مستقیماً محاسبه کنید. در این مورد از روش های محاسباتی پیشرفته مانند روش های انتگرال گیری هندسی و اجزا محدود استفاده می شود. ماشین حساب حجم از طیف گسترده ای از اشیا برای محاسبه حجم آنها پشتیبانی می کند.

کره :

یک کره معادل سه بعدی یک دایره است. یک نمونه از یک کره هر توپ گرد (بیس بال، بسکتبال و غیره) است. فرمول حجم یک کره به صورت زیر است:

$$V_{کره }=\frac{4}{3}π r^3$$

می توان مشاهده کرد که حجم یک کره فقط به شعاع کره (r) بستگی دارد. شعاع به عنوان فاصله بین مرکز کره و هر نقطه از سطح تعریف می شود. با توجه به اینکه شعاع توپ بیسبال r = 3.65 سانتی متر است، می توانیم از حجم یک ماشین حساب کره ای برای یافتن حجم استفاده کنیم:

$$جلد = \frac{4}{3}πr^3 = \frac{4}{3} × π × 3،65^3 = 203،68882488692 \ ^3$$

سانتی متر

مخروط:

مخروط یک شکل هندسی متشکل از یک قاعده دایره ای و یک نقطه راس است که به عنوان راس مشخص می شود، جایی که تمام نقاط محیط پایه با قطعات خط به راس متصل می شوند. ما می توانیم ویژگی های مخروط را با دو اندازه گیری تعریف کنیم: شعاع قاعده دایره ای (r) و ارتفاع بین مرکز مرکز پایه و راس (h).

حجم مخروط را می توان به صورت زیر بیان کرد:

$$V_{مخروط}=\frac{1}{3}\pi r^2h$$

r شعاع و h ارتفاع مخروط است

فرض کنید یک جشن تولد دارید و می‌خواهید کلاه‌های مهمانی مخروطی شکل بسازید که بعداً در طول شب به عنوان مخروط پاپ کورن استفاده می‌شوند.

اگر تصمیم دارید کلاه های مخروطی با شعاع 7،5 سانتی متر و ارتفاع 0،45 متر انجام دهید، می توانید از ماشین حساب حجم مخروطی برای محاسبه حجم هر کلاه مخروطی استفاده کنید.

0،45 متر = 45 سانتی متر سانتی متر

$$جلد = \frac{1}{3}πr^2h = \frac{1}{3} × π × 7،52^2 × 45 =2650،7188014664 \ ^3$$

این بدان معنی است که می توانید در پایان مهمانی این مقدار پاپ کورن را در مخروط خود قرار دهید.

مکعب:

چه کسی شانس بازی با مکعب روبیک را نداشت؟

مکعب

این یک جسم هندسی با 8 رأس و 6 ضلع مساوی است. حجم یک مکعب فقط به طول ضلع مکعب (a) بستگی دارد.

$$V_{مکعب}=a^3$$

تصمیم گرفتیم 30 مکعب روبیک برای مرکز رشد خود بخریم تا بچه ها بتوانند توانایی های شناختی خود را بهبود بخشند. ما به فروشگاه رفتیم و مکعب های مناسب با طرح و قیمت را پیدا کردیم. طول ضلع مکعب 5،7 سانتی متر است. متأسفانه، فروشنده در فروشگاه فقط یک جعبه دارد تا همه مکعب ها را برای حمل و نقل آسان روی هم چید. جعبه مکعبی با طول ضلع 20 سانتی متر است. آیا همه مکعب های ما در آن جعبه قرار می گیرند؟

(حجم مکعب ها)

$$حجم = 5.7^3 = 185.19\ سانتی‌متر^3$$

حجم کل 30 مکعب خواهد بود

$$185.19 \times 30 = 5,555.7\ سانتی‌متر^3$$

(حجم جعبه):

$$حجم = 20^3 = 8,000\ سانتی‌متر^3$$

حجم 30 مکعب را با حجم جعبه مقایسه کردیم.

$$5,555.7 < 8,000$$

و معلوم شد که مکعب ها کاملاً در جعبه جا می شوند.

استوانه/سیلندر:

استوانه یک منشور هندسی با پایه دایره ای یکنواخت است که گویی چندین دایره روی هم قرار گرفته اند تا این شکل هندسی را تشکیل دهند. مانند مخروط، خواص سیلندر با شعاع دایره (r) و ارتفاع از سطح پایین تا سطح بالایی استوانه (h) تعریف می شود. می توان حجم یک استوانه را به صورت زیر بیان کرد:

$$V_{سیلندر}=π r^2h$$

بیایید حجم یک شمع استوانه ای تزئینی را محاسبه کنیم تا صنعتگر بفهمد برای ساخت آن به چه مقدار پارافین نیاز دارد. بنابراین، ارتفاع شمع ما 15 سانتی متر و قطر آن 8 سانتی متر خواهد بود. از قطر می توان شعاع را محاسبه کرد که 4 سانتی متر خواهد بود. پس به این نتیجه میرسیم:

$$حجم = \pi r^2 h = \pi \times 4^2 \times 15 = 240\pi = 753.98223686155\ سانتی‌متر^3$$

مخزن/تانکی مستطیلی:

مخزن مستطیل شکل یک تغییر مکعبی است که در آن تمام لبه ها عمود هستند اما لزوماً برابر نیستند. این شی هندسی با طول (l) و عرض (w) تعریف می شود که نشان دهنده یک مستطیل دو بعدی به همراه ارتفاع (h) است که این گسترش سه بعدی مستطیل را ایجاد می کند. بنابراین، حجم مخزن مستطیلی را می توان به صورت زیر نوشت:

$$V_{مخزن \مستطیل \شکل}=l × w × h$$

یک نمونه جهانی از یک مخزن مستطیلی، کانتینر حمل و نقل است. اندازه گیری استاندارد ISO کانتینر حمل و نقل عبارتند از:

• عرض 2،43= متر
• ارتفاع 2،59= متر
• طول 6،06= متر یا 12،2 متر

از آنجایی که اندازه گیری ها طبق ISO استاندارد هستند، حجم ها نیز استاندارد هستند. ادامه دهید و اندازه ها را به حجم ماشین حساب مخزن مستطیل متصل کنید تا حجم را پیدا کنید. محاسبات را برای هر دو مقدار طول، 6،06 متر و 12،2 متر انجام دهید.

$$حجم = 6.06 \times 2.43 \times 2.59 = 38.139822\ متر^3$$

و

$$حجم = 12.2 \times 2.43 \times 2.59 = 76.78314\ متر^3$$

اشکال هندسی سه بعدی پیچیده تر:

می توانیم اشکال هندسی دیگر را با اشکال هندسی پایه ترکیب کنیم. حجم این رقم چقدر است؟

می بینیم که جسم از یک استوانه و یک مخروط در بالا تشکیل شده است. بنابراین می توان گفت حجم جسم حاصل جمع حجم استوانه و حجم مخروط است:

$$V_{هدف - شی}=V_{سیلندر}+V_{مخروط}$$

قطر استوانه و مخروط هر دو 4 سانتی متر است. بنابراین، می توانیم بگوییم که

$$r_{استوانه}=r_{مخروط}=\frac{4}{2}=2\ سانتی‌متر$$

علاوه بر این،

$$h_{هدف - شی}=h_{سیلندر}+h_{مخروط}$$

با توجه به اینکه

$$h_{شیء}=10\ سانتی‌متر$$

و

$$h_{\text{مخروط}} = 3\ \text{سانتی‌متر}$$

ما می توانیم آن را توضیح کنیم

$$h_{\text{استوانه}} = 7\ \text{سانتی‌متر}$$

اکنون می توانیم مقادیر را به صورت زیر به ماشین حساب حجم متصل کنیم:

$$V_{\text{جسم}} = V_{\text{استوانه}} + V_{\text{مخروط}} = 87.96\ \text{سانتی‌متر}^3 + 12.56\ \text{سانتی‌متر}^3$$

$$V_{\text{جسم}} = 100.52\ \text{سانتی‌متر}^3$$

این مثال به درک بهتر اشکال هندسی آینده که ماشین حساب حجم پشتیبانی می کند کمک می کند.

کپسول:

کپسول یکی از رایج ترین انواع دوا های طبابت است. کاربر می تواند از مثال قبلی برای درک اینکه یک کپسول از یک استوانه با دو نیمکره در دو سطح مخالف استفاده کند.

این دو نیمکره می توانند به یک کره منفرد برسند و می توان گفت حجم یک کپسول مجموع حجم یک استوانه و حجم یک کره است.

$$V_{کپسول} = πr^2h + \frac{4}{3}πr^3 = πr^2(\frac{4}{3}r + h)$$

جایی که r شعاع و h ارتفاع قسمت استوانه ای است.

به لطف ماشین حساب حجم کپسول، برای محاسبه حجم کپسول، نیازی به محاسبه حجم سیلندر و اضافه کردن آن به حجم کره نیست. کاربر می تواند به طور مستقیم ارتفاع و شعاع را وارد کند و ماشین حساب حجم کپسول را خروجی می کند.

دانشمندان داروسازی که به تجزیه و تحلیل، توسعه و تولید دارو می پردازند، همیشه سعی می کنند حجم خوبی از کپسول ها را پیدا کنند. کپسول باید مقدار داروی مورد نیاز در هر کپسول را ذخیره کند، بنابراین دانشمندان ابعاد کپسول (ارتفاع و شعاع) را تغییر می دهند تا حجم آن را متناسب با آن تنظیم کنند.

کلاه کروی:

مثال قبلی به نیمکره به عنوان نیم کره اشاره کرد. در همین حال، یک کلاه کروی قسمتی از کره است که کره توسط یک صفحه بریده می شود. نیمکره حالت خاصی از کلاه کروی است که در آن کره به دو قسمت مساوی تقسیم می شود. بنابراین حجم یک نیمکره نصف حجم یک کره است.

شکل زیر نمونه ای از کلاه کروی را نشان می دهد که در آن (r) شعاع پایه، (R) شعاع کره و (h) ارتفاع کلاه کروی است. بین این متغیرها رابطه وجود دارد. بنابراین، دانستن دو عدد از این مقادیر برای محاسبه عدد سوم کافی است.

• با توجه به r و R; $h=R±\sqrt{R^2+r^2}$

• با توجه به r و h; $R=\frac{h^2+r^2}{2h}$

• با توجه به R و h; $r=\sqrt{2Rh\ -h^2}$

• r شعاع پایه است،

• R شعاع کره است،

• h ارتفاع کلاهک کروی است.

حجم یک کلاه کروی را می توان به صورت زیر نوشت:

$$V_{\text{کلاهک کروی}} = \frac{1}{3} \pi h^2 (3R - h)$$

کافی است دو متغیر از سه متغیر کلاهک کروی را وارد کنید. برای مثال، در نظر بگیرید که 1R = و r = 0،25=m، ماشین حساب دو حجم ممکن را پیدا می کند. 0،0013 m³ و4،1856 m³. چرا اینطور است؟

با یادآوری موارد زیر:

$$h=R±\sqrt{R^2+r^2}$$

می بینیم که وقتی مقادیر r و r داده می شود، h می تواند دو مقدار داشته باشد

$$h_1=R+\sqrt{R^2+r^2}$$

و

$$h_2=R-\sqrt{R^2+r^2}$$

این توضیح می دهد که هنگام استفاده از فومول زیر، مقدار حجم متفاوتی وجود دارد. $h_1$ و $h_2$.

علاوه بر این، نابرابری R ≥ r همیشه باید برقرار باشد، در غیر این صورت ماشین حساب یک پیغام خطایی را نشان می دهد که می گوید: "شعاع پایه نمی تواند بزرگتر از شعاع توپ باشد." اگر کاربر مقادیر R و r را با هم ترکیب کند، این خطا مفید است.

فروستوم مخروطی/مخروط ناقص:

این شکل را می توانیم با برش دادن یک مخروط با برش افقی موازی با سطح دایره ای آن به دست آوریم. این باعث ایجاد دو سطح دایره ای و دو سطح موازی می شود.

حجم فروستوم مخروطی را می توان به صورت زیر تعریف کرد:

$$V_{فروستوم مخروطی}=\frac{1}{3}π h(r^2+rR+R^2)$$

در جایی که h ارتفاع بین مرکز سطوح پایین و بالایی است، r شعاع سطح بالایی و R شعاع سطح پایینی است به طوری که R ≥ r است.

تصور کنید به یک قنادی رفته اید و یک کیک گدازه ای را می بینید که می گوید حاوی 35 درصدچاکلیتذوب شده است.

اگر واقعاً از علاقه مندان به ریاضیات هستید و می خواهید این مسئله را به یک مسئله ریاضی تبدیل کنید، ممکن است به حجمچاکلیتداخل کیک خود علاقه مند شوید. خوب شعاع بالا و پایین را به همراه قد اندازه بگیرید تا حجم کل کیک را محاسبه کنید.

فرض کنید اندازه ها r =16 سانتی متر، R =20 سانتی متر و h =10 سانتی متر هستند.

سپس می‌توانیم حجم کیک را با وصل کردن مقادیر در ماشین‌حساب حجم مخروطی frustum پیدا کنیم.

$$حجم=\frac{1}{3}\pi h(r^2+rR+R^2)=\frac{1}{3}\pi 10(16^2+16×20+20^2)= 10220.648099679 \ سانتی‌متر^3$$

علاوه بر این، 35 درصد از 10220،65 سانتی‌متر مربع حدود 3577،23 سانتی‌متر مربعچاکلیتاست.

بیضوی:

هنگامی که یک کره با پوسته پوسته شدن جهت تغییر شکل می دهد، سطحی به نام بیضی ایجاد می کند. می توان بیضی را به عنوان یک کره کشیده در نظر گرفت که در آن فواصل بین مرکز بیضی و نقاط مختلف سطح برابر نیست.

بنابراین، بیضی دارای سه محور است و حجم بیضی نسبت به شعاع مرکز به هر یک از این محورها تعریف می شود. سه مقدار شعاع با a، b و c نشان داده می شوند.

ما همیشه وقتی در مورد توپ صحبت می کنیم به کره های گرد فکر می کنیم، اما توپ های بیضی شکل نیز وجود دارند! به توپ راگبی نگاه کنید. فرض کنید ابعاد a =9،3 سانتی متر، b =9،3 سانتی متر و c = 14،٫ سانتی متر باشد.

حجم یک بیضی به صورت زیر داده می شود:

$$V_{بیضی}=\frac{4}{3}π abc$$

ترتیب a، b، و c بی اهمیت است. مخلوط کردن آنها اشکالی ندارد

با استفاده از ماشین حساب حجم بیضی می توانیم حجم توپ راگبی خود را بدست آوریم.

$$حجم=\frac{4}{3}\pi abc=\frac{4}{3}× \pi × 9.3 × 9.3 × 14.3 = 5180.7250468112 \ سانتی‌متر^3$$

هرم مربع:

ذکر اهرام ممکن است شما را به فکر اهرام باستانی مصر بیاندازد. هرم مربعی از یک قاعده مربع با راس تشکیل شده است که نقاط محیط مربع پایه به آن راس متصل هستند. حجم را می توان به صورت زیر محاسبه کرد:

$$V_{هرم مربع}=\frac{1}{3}a^2h$$

با a لبه قاعده مربع و h ارتفاع از مرکز پایه مربع تا راس است.

ما ابعاد هرم خوفو را همانطور که در ابتدا ساخته شده بود در نظر می گیریم. h =146،6 m و a = 230،333 m. حجم هرم خوفو را می توان به صورت زیر محاسبه کرد:

$$حجم=\frac{1}{3}a^2h = \frac{1}{3}230.33^2 × 146.6 = 2,592,469.9482467\ متر^3$$

لوله/تیوب:

بر خلاف سیلندر، لوله دارای قطر بیرونی و داخلی است. بنابراین، حجم لوله باید تفاوت قطر را در نظر بگیرد.

$$V_{لوله}=π\frac{d_1^2-d_2^2}{4}l$$

همانطور که قبلاً حدس زدید، d₁ و d₂ به ترتیب قطر بیرونی و داخلی لوله هستند. l طول لوله است.

بیایید از فرمول برای محاسبه حجم حلقه بتنی چاهی که قرار است در ملک کلبه خود حفر کنیم استفاده کنیم. ارتفاع حلقه ما 0،89 متر، قطر بیرونی 1،16 متر و قطر داخلی 1 متر است.

بنابراین ما محاسبه زیر را داریم:

$$حجم=\pi\frac{1.16^2-1^2}{4} \times 0.89 = 0.076896 \pi = 0.24\ متر^3$$