ماشین حساب عامل‌های اول

این ماشین حساب آنلاین تمام عامل‌های اول عدد ورودی را پیدا می‌کند. ماشین حساب عامل‌های اول را به شکل عمومی، همچنین به شکل نمایی و فرمت CSV نمایش می‌دهد. علاوه بر این، این ماشین حساب تجزیه می‌تواند یک درخت عامل اول ایجاد کند و تمام عامل‌ها (نه فقط عامل‌های اول) عدد داده شده را پیدا کند.

دستورالعمل‌های استفاده

برای استفاده از این ماشین حساب برای پیدا کردن عامل‌های اول یک عدد، عدد مورد نظر را وارد کنید و روی "محاسبه" فشار دهید. ماشین حساب عامل‌های اول عدد را به شکل عمومی، به شکل نمایی، و به صورت لیست در فرمت CSV برمی‌گرداند.

شما همچنین گزینه‌ای برای ایجاد یک درخت تجزیه و امکان پیدا کردن تمام عامل‌های عدد داده شده دارید. هر دوی این گزینه‌ها می‌توانند با علامت زدن یک جعبه مربوطه انتخاب شوند.

محدودیت‌ها در مقادیر ورودی

• مقادیر ورودی باید اعداد صحیح باشند؛ اعشار و کسرها پذیرفته نمی‌شوند.
• فقط اعداد صحیح مثبت بزرگتر از 1 می‌توانند به عنوان ورودی‌ها استفاده شوند.
• طول عدد نمی‌تواند بیش از 13 رقم باشد (بدون ویرگول برای جدا کردن هزارها)، یعنی ارزش عدد ورودی باید کمتر از 10,000,000,000,000 یا 10000000000000 باشد. بنابراین، بیشترین ارزش ورودی 9,999,999,999,999 یا 9999999999999 است.

اعداد اول و اعداد مرکب

یک عدد اول عددی صحیح بزرگتر از 1 است که نمی‌توان آن را به اعداد صحیح دیگر تقسیم کرد. به عبارت دیگر، یک عدد اول عددی صحیح بزرگتر از 1 است که نمی‌توان آن را با ضرب کردن اعداد صحیح دیگر ساخت. کوچکترین اعداد اول عبارتند از 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، … (توجه کنید که فقط یک عدد اول زوج وجود دارد – 2، تمام اعداد اول دیگر فرد هستند).

عدد اول nth در لیست بالا می‌تواند به عنوان Prime[n] نشان داده شود. در این صورت، Prime[1] = 2، Prime[2] = 3، Prime[3] = 5، و غیره. این ماشین حساب آنلاین شاخص n هر عدد اول شناسایی شده تا n = 5000 را نمایش می‌دهد.

یک عدد مرکب عددی صحیح بزرگتر از 1 است که می‌توان آن را با ضرب کردن اعداد صحیح دیگر ساخت. به عنوان مثال، 6 یک عدد مرکب است زیرا 6 = 3 × 2. 12 یک عدد مرکب است زیرا 12 = 6 × 2 = 3 × 2 × 2.

عامل‌یابی اعداد

اعدادی که ضرب می‌شوند تا یک عدد صحیح دیگر به دست آید، عامل‌ها نامیده می‌شوند. همانطور که بالاتر نشان داده شده است، 3 و 2 عامل‌های 6 هستند. از آنجایی که 6 همچنین می‌تواند با ضرب 1 و 6 به دست آید: 6 = 1 × 6، 1 و 6 نیز عامل‌های 6 هستند. در نهایت، تمام عامل‌های 6 عبارتند از 1، 2، 3، و 6.

تنها عامل‌های هر عدد اول، 1 و خود عدد هستند. به عنوان مثال، عامل‌های 17 عبارتند از 1 و 17.

تجزیه به عامل‌های اول فرایند یافتن تمام اعداد اولی است که می‌توان با ضرب آن‌ها عدد داده شده را ساخت. توجه داشته باشید که تجزیه یک عدد به عامل‌های اول متفاوت از یافتن تمام عامل‌های آن عدد است.

برای مثال، تمام عامل‌های 12 عبارتند از 1، 2، 3، 4، 6، 12. این عامل‌ها به صورت یک لیست نوشته شده‌اند.

در حالی که تجزیه 12 به عامل‌های اول به این شکل خواهد بود: 12 = 2 × 2 × 3. در تجزیه به عامل‌های اول، ما فقط نتایج را به شکل اعداد اول به دست می‌آوریم.

الگوریتم تجزیه به عامل‌های اول

تقسیم آزمایشی

بیایید به روش مستقیم تجزیه به عامل‌های اول نگاه کنیم، گاهی اوقات به روش تقسیم آزمایشی معروف است، با یک مثال و شناسایی عامل‌های اول 36. از آنجایی که ما تمام اعداد اول را می‌شناسیم، می‌توانیم بررسی کنیم که آیا عدد داده شده توسط هر یک از آن‌ها قابل تقسیم است یا خیر. راحت‌ترین راه این است که از کوچکترین عدد اول، که 2 است، شروع کنیم:

36 ÷ 2 = 18

نتیجه این تقسیم یک عدد صحیح است. بنابراین، 2 یکی از عامل‌های اول 36 است. اما 18 هنوز عدد اول نیست، پس ادامه می‌دهیم و بررسی می‌کنیم که آیا 18 توسط 2 قابل تقسیم است:

18 ÷ 2 = 9

9 نیز یک عدد صحیح است. بنابراین، 18 توسط 2 قابل تقسیم است.

بیایید دوباره امتحان کنیم: 9 ÷ 2 = 4.5. این یک عدد صحیح نیست. بنابراین، 9 توسط 2 قابل تقسیم نیست.

بیایید عدد اول بعدی، 3 را امتحان کنیم. 9 ÷ 3 = 3. این یک عدد صحیح است، پس جواب داد! علاوه بر این، 3 از قبل یک عدد اول است، که به این معنی است که به مرحله نهایی فرایند رسیده‌ایم! حال فقط لازم است پاسخ نهایی را بنویسیم:

36 = 2 × 2 × 3 × 3

این روش عمومی نوشتن تجزیه یک عدد به عامل‌های اول است. همچنین می‌توان آن را با استفاده از توان‌ها به این شکل نوشت:

36 = 2² × 3²

درخت عامل‌های اول

فرایند تجزیه به عامل‌های اول نیز می‌تواند به شکل یک «درخت» نمایش داده شود. درخت عامل‌های اول برای 36 به این شکل خواهد بود:

تقسیم آزمایشی (هر عاملی)

گاهی اوقات، فرایند تجزیه به عامل‌های اول آسان‌تر می‌شود اگر ابتدا عدد را به صورت ضرب دو عدد دیگر (غیر اول) بیان کنیم و سپس عامل‌های اول آن‌ها را شناسایی کنیم. به عنوان مثال، بیایید عامل‌های اول 48 را پیدا کنیم. شروع کردن با 48 = 6 × 8 آسان‌تر است چون احتمالاً آن را از قبل می‌دانید. سپس باید عامل‌های اول 6 را پیدا کنیم: 6 = 2 × 3، و 8: 8 = 2 × 2 × 2. در نهایت، 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2⁴ × 3¹.

قضیه بنیادی حساب

هر عدد صحیح مثبت بزرگتر از 1 می‌تواند از مجموعه‌ای منحصر به فرد از عامل‌های اول ساخته شود. گاهی این قضیه، قضیه تجزیه به عامل‌های اول نامیده می‌شود.

کاربردهای عملی

اعداد اول در رمزنگاری و امنیت سایبری برای رمزگذاری و رمزگشایی پیام‌ها استفاده می‌شوند. ما از قبل می‌دانیم که هر عددی را می‌توان به صورت حاصل‌ضرب مجموعه‌ای از اعداد اول نشان داد و این مجموعه منحصر به فرد است. این ویژگی اعداد اول است که آنها را برای رمزنگاری بسیار مناسب می‌سازد.

حتی مناسب‌تر این است که یافتن عامل‌های اول اعداد بسیار بزرگ هنوز یک کار بسیار زمان‌بر است، حتی برای کامپیوترهای مدرن. همین دلیل است که ماشین حساب در این صفحه نمی‌تواند با اعداد بی‌نهایت بزرگ کار کند.

اصل اصلی پشت استفاده از اعداد اول برای رمزنگاری این است که گرفتن دو عدد اول بزرگ و ضرب آنها برای ایجاد یک عدد مرکب بسیار بزرگتر نسبتاً آسان است. با این حال، تجزیه آن عدد نهایی به اعداد اول اصلی بسیار دشوار است.

تصور کنید دو عدد اول 10 رقمی را گرفته و آنها را ضرب می‌کنید تا یک عدد با رقم‌های بیشتری بدست آورید. حال فرایند تجزیه آن عدد به عامل‌های اول توسط تقسیم آزمایشی را تصور کنید...

این فرایند به قدری طولانی است که هیچ کامپیوتری در حال حاضر نمی‌تواند دو عدد اول اولیه را در یک مسئله داده شده در هیچ زمان منطقی پیدا کند. اما این وضعیت ممکن است در آینده با توسعه کامپیوترهای کوانتومی تغییر کند.