ماشین حساب عامل‌یابی

ماشین حساب عامل‌یابی یک ابزار آنلاین است که به شما امکان می‌دهد به سرعت تمام عوامل هر عدد صحیح (به جز 0) را پیدا کنید. از آنجایی که اعداد صحیح، اعدادی هستند که می‌توانند مثبت یا منفی باشند، ما می‌توانیم از این یافتگر عامل برای اعداد مثبت و منفی نیز استفاده کنیم.

محدودیت‌های مقادیر ورودی ماشین حساب عامل:

• فقط می‌توانید اعداد صحیح (مثبت یا منفی) را وارد کنید.
• ورود 0 ممکن نیست.

دستورالعمل استفاده

برای یافتن تمام عوامل یک عدد، آن عدد را وارد کنید و دکمه "محاسبه" را فشار دهید. ماشین حساب عوامل، لیستی از عوامل آن عدد و تعداد کل عوامل را برمی‌گرداند. ماشین حساب همچنین جفت‌های عاملی آن عدد را برمی‌گرداند.

عامل‌یابی: تعاریف و فرمول‌ها

در ریاضیات، عامل‌یابی به عنوان فرایندی تعریف می‌شود که یک شیء به ضرب چندین شیء دیگر یا عامل تقسیم می‌شود. اشیاء ریاضی مختلفی مانند اعداد، چندجمله‌ای‌ها و ماتریس‌ها قابل عامل‌یابی هستند. در اینجا ما بر عامل‌یابی اعداد صحیح تمرکز خواهیم کرد.

عوامل یک عدد صحیح، اعداد صحیحی هستند که بدون باقی‌مانده آن عدد داده شده را تقسیم می‌کنند.

به طور اساسی، برای اعداد صحیح غیر صفر a, b و c، اگر a = b × c، پس b و c عوامل a هستند. برای مثال، 1، 2، 3 و 6 همگی عوامل 6 هستند، زیرا همه آنها 6 را به طور مساوی تقسیم می‌کنند (بدون هیچ باقی‌مانده‌ای):

• 6 / 1 = 6
• 6 / 2 = 3
• 6 / 3 = 2
• 6 / 6 = 1

هر عدد صحیح همیشه حداقل دو عامل خواهد داشت: 1 و خود آن عدد، یعنی هر a می‌تواند به صورت a = 1 × a عامل‌بندی شود.

ماشین حساب از روش تقسیم آزمایشی برای یافتن عوامل هر عدد داده شده استفاده می‌کند. این ساده‌ترین الگوریتم عامل‌یابی اعداد صحیح است، که به طور مداوم آزمایش می‌کند که آیا عدد به طور یکنواخت توسط تمام اعداد کوچکتر از خود آن عدد تقسیم می‌شود یا خیر.

چندین راه برای کمتر کردن دشواری این فرآیند وجود دارد. ابتدا، اعداد همیشه به ترتیب افزایشی آزمایش می‌شوند، شروع با 2. سپس، فرض کنید 2 عامل آن عدد داده شده نباشد. در این صورت، مضارب 2 به طور خودکار حذف می‌شوند و فرآیند ساده‌تر می‌شود.

علاوه بر این، برای a داده شده، شما فقط باید آزمایش را تا √a انجام دهید. این به این دلیل است که، اگر b عاملی از a باشد، به طوری که a = b × c. پس، اگر c کوچکتر از b بود، پیش از این به عنوان عامل a شناسایی شده بود.

ما می‌توانیم این مکانیسم را به مراحل زیر تقلیل دهیم:

برای عدد داده شده a، ریشه دوم a را پیدا کنید: √a، و آن را به نزدیکترین عدد صحیح پایین‌تر گرد کنید. بیایید ریشه دوم گرد شده پایین a را به عنوان r نشان دهیم.

همه اعداد صحیح بزرگتر یا مساوی 1 و کوچکتر یا مساوی r را آزمایش کنید تا ببینید آیا آنها a را به طور یکنواخت تقسیم می‌کنند. به یاد داشته باشید که اگر قبلاً تأیید کرده‌اید که یک عدد اول یکی از عوامل آن عدد داده شده نیست، دیگر نیازی به بررسی مضارب این عدد اول ندارید! برای مثال، اگر دریافته‌اید که عدد داده شده نمی‌تواند به طور مساوی توسط 3 تقسیم شود، می‌توانید تمام مضارب 3 مانند 6، 9 و غیره را نادیده بگیرید.

تمام عوامل و جفت‌های عامل متناظر را یادداشت کنید.

مثال محاسباتی:

والدین در حال برنامه‌ریزی برای جشن تولد پسرشان، مایک، هستند که 6 ساله می‌شود. در پایان مهمانی، آنها می‌خواهند به هر کودکی که شرکت کرده، شیرینی‌هایی بدهند. آنها 32 کاپ‌کیک برای دادن به بچه‌ها آماده کرده‌اند.

چند مهمان می‌تواند مایک به جشن خود دعوت کند تا هر مهمان در پایان جشن تعداد یکسانی شیرینی دریافت کند؟ هر کودک چند کاپ‌کیک خواهد گرفت؟

راه‌حل

باید ببینیم مایک چند مهمان می‌تواند به مهمانی دعوت کند تا هر مهمان تعداد یکسانی از 32 کاپ‌کیک موجود را دریافت کند. ما باید ببینیم کدام اعداد صحیح 32 را بدون باقی‌مانده تقسیم می‌کنند (بنابراین لازم نیست کاپ‌کیک‌ها به قطعات تقسیم شوند). این به معنی آن است که ما باید تمام عوامل مثبت 32 را پیدا کنیم. برای تعیین تعداد کاپ‌کیک‌هایی که هر کودک در هر حالت دریافت می‌کند، ما همچنین باید جفت‌های عامل را پیدا کنیم.

بیایید از روش تقسیم آزمایشی برای یافتن عوامل و جفت‌های عامل عدد داده شده استفاده کنیم. به عنوان گام اول، باید ریشه دوم عدد را پیدا کنیم:

$$\sqrt{32}\approx5.657$$

ریشه دوم 5.657 را به عدد صحیح بعدی پایین‌تر گرد می‌کنیم و 5 می‌شود. این به معنی آن است که ما باید تمام اعداد صحیح بزرگتر یا مساوی 1 و کوچکتر یا مساوی 5 را بررسی کنیم.

برای عدد 1:

32 / 1 = 32. 1 عاملی از 32 است، چون 1 عاملی از هر عدد صحیح است: 1 × 32 = 32. پس، اگر مایک فقط یک مهمان داشته باشد، آنها همه 32 کاپ‌کیک را دریافت می‌کنند! به طور معکوس، اگر او تصمیم بگیرد 32 کودک را به مهمانی دعوت کند، هر کودک فقط یک کاپ‌کیک در پایان مهمانی دریافت می‌کند.

برای عدد 2:

32 / 2 = 16. این به معنی آن است که 2 عاملی از 32 است. جفت عامل متناظر: 2 × 16 = 32. همچنین، در اینجا، هر دو 2 و 16 عواملی از 32 هستند و باید در لیست عوامل گنجانده شوند، به این معنی که اگر مایک دو مهمان دعوت کند، آنها هر کدام 16 کاپ‌کیک دریافت می‌کنند. اما اگر او 16 کودک را دعوت کند، هر کدام از آنها در پایان مهمانی 2 کاپ‌کیک دریافت می‌کنند.

برای عدد 3:

32 / 3 = 10 و 2/3 ≅ 10.667. این به معنی آن است که 3 به طور مساوی 32 را تقسیم نمی‌کند و عاملی از 32 نیست. مایک نمی‌تواند 3 مهمان را به مهمانی دعوت کند زیرا در آن صورت تقسیم کاپ‌کیک‌ها ناعادلانه خواهد بود.

از آنجایی که 2 عاملی از عدد داده شده بود، نمی‌توانیم از مضارب 2 رد شویم و باید 4 را هم بررسی کنیم.

برای عدد 4:

32 / 4 = 8. این به معنی آن است که 4 عاملی از 32 است. جفت عامل متناظر: 4 × 8 = 32. مایک می‌تواند 4 کودک را دعوت کند، در این صورت هر کودک 8 کاپ‌کیک دریافت می‌کند، یا او می‌تواند 8 کودک را دعوت کند، در این صورت هر مهمان 4 کاپ‌کیک دریافت خواهد کرد.

برای عدد 5:

32 / 5 = 6 و 2/5 = 6.4. این به معنی آن است که 5 به طور مساوی 32 را تقسیم نمی‌کند و عاملی از 32 نیست. پس، دعوت کردن 5 مهمان هم گزینه‌ای برای مایک نیست.

از آنجایی که فقط باید اعداد صحیح بزرگتر یا مساوی 1 و کوچکتر یا مساوی 5 را بررسی می‌کردیم، تمام عوامل عدد داده شده را یافته‌ایم!

پاسخ

شش عامل 32 عبارتند از:

1, 2, 4, 8, 16, 32

مایک می‌تواند 1، 2، 4، 8، 16، یا 32 مهمان را به مهمانی خود دعوت کند تا تقسیم کاپ‌کیک‌ها عادلانه باشد.

جفت‌های عامل 32 عبارتند از:

• 1 × 32 = 32

• 2 × 16 = 32

• 4 × 8 = 32

در هر جفت عامل، یکی از اعداد نشان‌دهنده تعداد مهمان‌ها و عدد دیگر نشان‌دهنده تعداد کاپ‌کیک‌هایی است که هر مهمان در پایان مهمانی دریافت می‌کند.