ماشین حساب فرمول درجه دوم

استفاده از ماشین حساب فرمول درجه دوم

این ماشین حساب، ابزاری آسان برای حل معادلات درجه دوم است. در جبر، یک معادله درجه دوم، هر معادله‌ای است که بتوان آن را به شکل زیر نوشت:

ax²+bx+c=0

که در آن

a≠0

برای استفاده از ماشین حساب فرمول درجه دوم، مقادیر A، B، و C را در فیلدهای مربوطه وارد کرده و "محاسبه" را فشار دهید. مقدار A نمی‌تواند صفر باشد، در حالی که ورودی صفر برای B و C قابل قبول است. برای ریشه‌های واقعی و مختلط، ماشین حساب از فرمول درجه دوم برای تعیین تمام راه‌حل‌ها برای یک معادله داده شده استفاده خواهد کرد. پس از استفاده از فرمول درجه دوم، ماشین حساب همچنین رادیکال حاصل را ساده می‌کند تا راه‌حل‌ها را در ساده‌ترین شکل خود بیابد.

حل معادلات درجه دوم با استفاده از فرمول درجه دوم

می‌توان هر معادله درجه دومی را با فرمول درجه دوم حل کرد. برای استفاده از فرمول درجه دوم، ابتدا باید معادله داده شده را به شکل زیر بیاورید: ax²+bx+c=0. سپس، راه‌حل‌ها به شکل زیر یافت می‌شوند:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

بخشی از معادله که زیر رادیکال قرار دارد، b²-4ac، دیسکریمینانت نامیده می‌شود.

• اگر دیسکریمینانت مثبت باشد، b²-4ac>0، معادله دو ریشه واقعی خواهد داشت.
• اگر دیسکریمینانت منفی باشد، b²-4ac<0، معادله دو ریشه مختلط خواهد داشت، زیرا ریشه دوم یک عدد منفی، یک عدد مختلط است.
• اگر دیسکریمینانت برابر صفر باشد، b²-4ac=0، معادله فقط یک ریشه خواهد داشت.

ماشین حساب معادله، راه‌حل‌های معادلات وارد شده و روند یافتن این راه‌حل‌ها را نمایش خواهد داد. ماشین حساب همچنین دیسکریمینانت را محاسبه کرده و نشان می‌دهد که آیا مثبت، منفی یا برابر با صفر است.

مثال‌های عملی

مثال 1 (با ریشه‌های واقعی)

بیایید معادله درجه دوم زیر را حل کنیم:

2x²+3x-2=0

در این مثال

a=2, b=3, c=-2 است.

با استفاده از فرمول درجه دوم برای این مقادیر، به دست می‌آوریم:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-3±\sqrt{3^2-4(2)(-2)}}{2(2)}=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{4}=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}$$

دیسکریمینانت این معادله مثبت است،

b²-4ac=25>0

بنابراین، معادله دو ریشه واقعی خواهد داشت.

حالا بیایید رادیکال حاصل را ساده کنیم:

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}=\frac{-3±5}{4}$$

$$x=\frac{-3+5}{4}\ \ \ و\ \ \ x= \frac{-3-5}{4}$$

$$x=\frac{2}{4}\ \ \ و\ \ \ x=-\frac{8}{4}$$

$$x=\frac{1}{2}\ \ \ و\ \ \ x=-2$$

در نهایت

x=0.5

x=-2

مثال 2 (با ریشه‌های مختلط)

بیایید معادله درجه دوم زیر را حل کنیم:

x²+2x+5=0

در این مثال

a=1, b=2, c=5 است.

با استفاده از فرمول درجه دوم برای این مقادیر، به دست می‌آوریم:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-2±\sqrt{2^2-4(1)(5)}}{2(1)}=\frac{-2±\sqrt{4-20}}{2}=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}$$

دیسکریمینانت این معادله منفی است،

b²-4ac=-16<0

بنابراین، معادله دو ریشه مختلط خواهد داشت.

حالا بیایید رادیکال حاصل را ساده کنیم:

$$x=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}=\frac{-2±4i}{2}=\frac{-2}{2}±\frac{4i}{2}=-1±2i$$

در نهایت،

x=-1+2i

x=-1-2i

مثال 3 (با یک ریشه)

بیایید معادله درجه دوم زیر را حل کنیم:

3x²+6x+3=0

در این مثال

a=3, b=6, c=3 است.

با استفاده از فرمول درجه دوم برای این مقادیر، به دست می‌آوریم:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-6±\sqrt{6^2-4(3)(3)}}{2(3)}=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{6}=\frac{-6±\sqrt0}{6}$$

دیسکریمینانت این معادله برابر صفر است، b²-4ac=0. بنابراین، معادله یک ریشه خواهد داشت.

$$x=\frac{-6}{6}$$

در نهایت،

x=-1

استخراج فرمول درجه دوم

همانطور که بالاتر نشان داده شد، می‌توانید از فرمول درجه دوم برای حل کاملاً هر معادله درجه دومی استفاده کنید، صرف‌نظر از اینکه دیسکریمینانت مثبت، منفی یا برابر با صفر باشد. حال بیایید ببینیم چگونه می‌توان آن را استخراج کرد. دانستن اصول اساسی استخراج فرمول می‌تواند در صورت فراموش کردن خود فرمول بسیار مفید باشد.

الگوریتم استخراج فرمول درجه دوم نسبتاً ساده است و بر اساس روش تکمیل مربع است. برای استخراج راه‌حل‌های معادله درجه دوم استاندارد ax²+bx+c=0، باید مراحل زیر را دنبال کنید:

1. یک معادله داریم:

ax²+bx+c=0

ثابت C را به سمت راست معادله منتقل کنید:

ax²+bx=-c

2. از ضریب A کنار جمله مربع x² خلاص شوید. برای این کار، معادله را بر A تقسیم کنید:

$$x²+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$

$$(\frac{b}{2a})^2$$

را به هر دو طرف معادله اضافه کنید:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

4. سمت چپ حالا به شکل

x²+2dx+d²

دارد. این عبارت را می‌توان به صورت

(x+d)²

بازنویسی کرد. در معادله ما، d بیان شده است به صورت:

$$\frac{b}{2a}$$

پس:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 = \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$$

این را در سمت چپ فرمول ما جایگزین کنید و برای حال حاضر سمت راست را بدون تغییر بگذارید:

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

حالا ریشه x فقط یک بار در معادله ظاهر می‌شود.

5. ریشه مربع را از هر دو قسمت معادله استخراج کنید:

$$x+\frac{b}{2a}=± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

6. $\frac{b}{2a}$ را به سمت راست معادله منتقل کنید:

$$x=-\frac{b}{2a}± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

7. سمت راست معادله را در

$$\frac{2a}{2a}$$

ضرب کنید:

$$x=\frac{-b ± \sqrt{-\frac{c}{a} × (2a)^2 + (\frac{b}{2a})^2 × (2a)^2}}{2a}$$

8. معادله را ساده کنید:

$$x=\frac{-b±\sqrt{-4ac+b²}}{2a}$$

9. در نتیجه، فرمول درجه دوم به دست می‌آید:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

حقایق جالب درباره معادله درجه دوم

• جمع دو ریشه معادله درجه دوم است

$$\frac{-b}{a}$$

بنابراین، اگر دیسکریمینانت معادله درجه دوم b²-4ac برابر با صفر باشد، می‌توانید تنها ریشه معادله را به عنوان

$$\frac{-b}{2a}$$

پیدا کنید.

• حاصل‌ضرب دو ریشه معادله درجه دوم است

$$\frac{c}{a}$$

• واژه "درجه دوم" از واژه لاتین "quadratus" گرفته شده است که به معنای "مربع" است. این معادله به عنوان درجه دوم نامگذاری شده است زیرا بالاترین توان متغیر 2 است، یعنی متغیر "مربع" می‌شود.

• فرمول درجه دوم در شکل کنونی خود به اوایل سال 628 میلادی توسط ریاضیدان هندی، براهماگوپتا، توصیف شده بود، که از نمادها استفاده نکرده بلکه راه‌حل را با کلمات بحث کرده است. با این حال، براهماگوپتا فقط یکی از دو راه‌حل ممکن را توصیف کرده، نشانه مهم ± را قبل از ریشه دوم حذف کرده بود.

• نمودار یک تابع درجه دوم y=ax²+bx+c یک پارابول است. راه‌حل‌ها، یا ریشه‌های، معادله درجه دوم در واقع مختصات برخوردهای نمودار با محور x هستند. اگر معادله دو ریشه واقعی داشته باشد، نمودار دو بار با محور x برخورد می‌کند. اگر معادله فقط یک ریشه داشته باشد، نمودار پارابول متناظر فقط در حداکثر یا حداقل خود با محور x لمس می‌کند. اگر معادله هیچ ریشه واقعی نداشته باشد، نمودار پارابول متناظر اصلاً با محور x برخورد نمی‌کند.

• هنگامی که مقدار ضریب جمله مربعی، A، به سمت صفر می‌رود، نمودار پارابول متناظر صاف‌تر می‌شود و در نهایت تمایل دارد به یک خط راست تبدیل شود. وقتی a=0، معادله خطی می‌شود و نمایش گرافیکی آن واضحاً یک خط راست است!

• به طور مشابه، وقتی a>0، پارابول به سمت بالا قرار می‌گیرد. اگر a<0، پارابول متناظر به سمت پایین باز می‌شود. اگر a=0، "پارابول" صاف است، یعنی یک خط راست است.

معادلات درجه دوم به طور گسترده‌ای در تمام زمینه‌های علمی استفاده می‌شوند. به عنوان مثال، در فیزیک، از معادلات درجه دوم برای توصیف حرکت پرتابه استفاده می‌شود.