ماشین حساب فرمول فاصله

این ماشین حساب فاصله بین دو نقطه روی یک صفحه را در صورتی که مختصات نقاط شناخته شده باشند، محاسبه می‌کند. این ماشین حساب در یک فضای دو بعدی عمل می‌کند.

از آنجایی که یک خط مستقیم کوتاه‌ترین فاصله بین 2 نقطه را نشان می‌دهد، این ماشین حساب می‌تواند به عنوان ماشین حساب طول خط استفاده شود.

راهنمای استفاده

این ماشین حساب فاصله بین نقطه 1 با مختصات (X₁, Y₁) و نقطه 2 با مختصات (X₂, Y₂) را محاسبه می‌کند.

برای یافتن فاصله بین دو نقطه، مختصات آن‌ها را در فیلدهای مربوطه وارد کنید. مختصات ورودی باید به شکل زیر وارد شوند:

• دو مختصات هر نقطه باید با یک ویرگول از هم جدا شوند؛ به عنوان مثال، "4,5" را در فیلد (X₁, Y₁) وارد کنید تا نقطه 1 با مختصه x برابر 4 و مختصه y برابر 5 داشته باشید. اگر هر یک از مختصات به صورت اعشاری نمایش داده شده‌اند، برای جدا کردن قسمت صحیح از قسمت اعشاری از نقطه اعشار استفاده کنید؛ به عنوان مثال، "4.5,7" را وارد کنید تا نقطه‌ای با مختصه x برابر 4.5 و مختصه y برابر 7 داشته باشید.
• فقط می‌توانید از اعداد صحیح و اعشار به عنوان مختصات نقاط استفاده کنید. کسرها پذیرفته نمی‌شوند.
• فاصله بین مختصات ضروری نیست، اما برای راحتی خود می‌توانید از آن‌ها استفاده کنید.

پس از وارد کردن مختصات، روی "محاسبه" فشار دهید. ماشین حساب پاسخ نهایی و الگوریتم حل مفصل را برمی‌گرداند.

فرمول فاصله

در یک صفحه دو بعدی، فاصله d بین نقطه 1 با مختصات (X₁, Y₁) و نقطه 2 با مختصات (X₂, Y₂) با کمک فرمول زیر قابل یافتن است:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

یا به عبارت دیگر: فاصله بین 2 نقطه در یک فضای دو بعدی به عنوان ریشه دوم مجموع تفاوت‌های مربعی مختصات متناظر یافت می‌شود. این فرمول به عنوان فرمول فاصله اقلیدسی شناخته می‌شود. بنابراین، این ماشین حساب همچنین می‌تواند به عنوان ماشین حساب فاصله اقلیدسی نامیده شود.

استخراج فرمول فاصله اقلیدسی

برای استخراج فرمول، به دو نقطه داده شده روی صفحه مختصات (X, Y) نگاه کنیم:

برای یافتن فاصله بین نقطه 1 و نقطه 2، یک خط عمودی از نقطه 2 به پایین و یک خط افقی از نقطه 1 به سمت راست رسم کنیم. دو خط رسم شده و فاصله مورد نیاز یک مثلث قائم‌الزاویه را تشکیل می‌دهند. پای عمودی این مثلث توسط فاصله عمودی بین نقطه 1 و نقطه 2 تشکیل می‌شود: Y₂ – Y₁. پای افقی مثلث توسط فاصله افقی بین دو نقطه تشکیل می‌شود: X₂ – X₁. وتر این مثلث، فاصله مورد نیاز بین نقاط را نشان می‌دهد. زمانی که طول پاهای مثلث قائم‌الزاویه شناخته شده باشد، طول وتر می‌تواند با کمک قضیه فیثاغورس یافت شود:

$$d^2=(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2$$

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

مثال‌های محاسبه

مثال 1

بیایید فاصله بین نقطه 1 با (X₁, Y₁) = (3, 1) و نقطه 2 با (X₂, Y₂) = (5, 7) را پیدا کنیم. با جایگزینی مقادیر X₁, Y₁, X₂, Y₂ در فرمول فاصله اقلیدسی، به دست می‌آوریم:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(5-3)^2+(7-1)^2}=\sqrt{2^2+6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6.32$$

توجه داشته باشید که تغییر ترتیب نقاط، نتیجه نهایی را تغییر نمی‌دهد زیرا تفاوت‌ها بین مختصات به توان دو رسیده‌اند. بیایید محاسبه بالا را با فرض اینکه (X₁, Y₁) = (5, 7)، و (X₂, Y₂) = (3, 1) تکرار کنیم:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-5)^2+(1-7)^2}=\sqrt{-2^2+-6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6.32$$

Example 2

Let’s look at an example with negative coordinates and find the distance between point 1 with (X₁, Y₁) = (-4, 2) and point 2 with (X₂, Y₂) = (6, -6). Substituting the values of X₁, Y₁, X₂, Y₂ in the Euclidean distance formula, we will get:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(6-(-4))^2+(-6-2)^2}=\sqrt{10^2+(-8)^2}$$

$$\sqrt{10^2+(-8)^2}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\approx 12.8$$

مثال‌های واقعی

همانطور که بالاتر نشان داده شد، فرمول فاصله اقلیدسی بر اساس قضیه فیثاغورس است. با این حال، این قضیه را به موقعیت‌هایی تطبیق می‌دهد که فقط مختصات نقاط شناخته شده‌اند (به جای طول اضلاع مثلثی که توسط قضیه فیثاغورس استفاده می‌شود). این فرمول زمانی مفید است که فواصل باید از مختصات روی نقشه یا نمودار محاسبه شوند. همچنین برای محاسبه اندازه‌های اعداد مختلط و بردارها استفاده می‌شود.

مثال 3

تصور کنید یک نردبان به دیوار تکیه داده است. در این موقعیت، کف نماینده محور x در صفحه 2 بعدی است و دیوار نماینده محور y، همانطور که در تصویر زیر نشان داده شده است. اگر نردبان در نقطه (0, 2) به دیوار و در نقطه (3, 0) به کف برسد، طول نردبان را پیدا کنید.

راه حل

برای پیدا کردن طول نردبان در صفحه 2 بعدی تشکیل شده توسط دیوار و کف، ابتدا مختصات نقاط انتهایی نردبان را شناسایی کنیم: X₁, Y₁, X₂, Y₂. بیایید نقطه‌ای که نردبان به دیوار می‌رسد – نقطه 1 (X₁, Y₁)، و نقطه‌ای که نردبان به کف می‌رسد – نقطه 2 (X₂, Y₂) بنامیم. می‌دانیم که نردبان در نقطه با مختصات (0, 2) به دیوار می‌رسد. بنابراین، (X₁, Y₁) = (0, 2):

X₁ = 0, Y₁ = 2

توجه داشته باشید که X₁ = 0، که به وضوح توسط تصویر بالا نشان داده شده است، جایی که نقطه (0, 0) مطابق با نقطه فیزیکی است که دیوار به کف می‌رسد، باعث می‌شود مقادیر منفی X و Y غیرممکن باشند.

علاوه بر این، می‌دانیم که نردبان در نقطه با مختصات (3, 0) به کف می‌رسد. بنابراین، (X₂, Y₂) = (3, 0):

X₂ = 3, Y₂ = 0

همچنین، Y₂ = 0 زیرا این مختصات مربوط به نقطه مستقیماً روی کف است. حالا بیایید از فرمول فاصله برای محاسبه طول نردبان استفاده کنیم:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2}$$

$$\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\approx 3.6$$

پاسخ

طول نردبان 3.6 است.

فاصله در فضای 3 بعدی

فاصله اقلیدسی چیزی است که اکثر مردم به عنوان «فاصله» به آن اشاره می‌کنند. وقتی می‌گوییم یک شیء 5 متر از ما فاصله دارد، فاصله اقلیدسی است که در ذهن داریم. فرمول فاصله توضیح داده شده بالا می‌تواند به راحتی به 3 بعد (یا حتی بیشتر!) تعمیم یابد.

در یک فضای 3 بعدی، فاصله بین نقطه 1 با مختصات (X₁, Y₁, Z₁) و نقطه 2 با مختصات (X₂, Y₂, Z₂) به عنوان ریشه دوم مجموع تفاوت‌های مربعی بین مختصات متناظر محاسبه می‌شود:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2+(Z₂-Z₁)^2}$$