نتیجه‌ای یافت نشد
هم اکنون نمی‌توانیم چیزی با آن عبارت پیدا کنیم، سعی کنید چیز دیگری را جستجو کنید.
ماشین حساب احتمالات
ماشین حساب احتمالات می‌تواند احتمال دو رویداد و احتمال توزیع نرمال را پیدا کند. بیشتر درباره قوانین و محاسبات احتمال بیاموزید
| نتیجه | ||
|---|---|---|
| احتمال A رخ ندادن: P(A') | 0.5 | |
| احتمال B رخ ندادن: P(B') | 0.6 | |
| احتمال A و B هر دو رخ دادن: P(A∩B) | 0.2 | |
| احتمال که A یا B یا هر دو رخ دهد: P(A∪B) | 0.7 | |
| احتمال که A یا B رخ دهد ولی نه هر دو: P(AΔB) | 0.5 | |
| احتمال که نه A و نه B رخ ندهد: P((A∪B)') | 0.3 | |
| احتمال رخ دادن A ولی نه B: | 0.3 | |
| احتمال رخ دادن B ولی نه A: | 0.2 | |
Probability
احتمال A: P(A) = 0.5
احتمال B: P(B) = 0.4
احتمال A رخ ندادن: P(A') = 1 - P(A) = 0.5
احتمال B رخ ندادن: P(B') = 1 - P(B) = 0.6
احتمال A و B هر دو رخ دادن: P(A∩B) = P(A) × P(B) = 0.2
احتمال که A یا B یا هر دو رخ دهد: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 0.7
احتمال که A یا B رخ دهد ولی نه هر دو: P(AΔB) = P(A) + P(B) - 2P(A∩B) = 0.5
احتمال که نه A و نه B رخ ندهد: P((A∪B)') = 1 - P(A∪B) = 0.3
احتمال رخ دادن A ولی نه B: P(A) × (1 - P(B)) = 0.3
احتمال رخ دادن B ولی نه A: (1 - P(A)) × P(B) = 0.2
Probability
احتمال رخ دادن A 5 بار = 0.65 = 0.07776
احتمال A رخ ندادن = (1-0.6)5 = 0.01024
احتمال رخ دادن A = 1-(1-0.6)5 = 0.98976
احتمال رخ دادن B 3 بار = 0.33 = 0.027
احتمال B رخ ندادن = (1-0.3)3 = 0.343
احتمال رخ دادن B = 1-(1-0.3)3 = 0.657
احتمال رخ دادن A 5 بار و B 3 بار = 0.65 × 0.33 = 0.00209952
احتمال که نه A و نه B رخ ندهد = (1-0.6)5 × (1-0.3)3 = 0.00351232
احتمال رخ دادن هم A و هم B = (1-(1-0.6)5) × (1-(1-0.3)3) = 0.65027232
احتمال رخ دادن A 5 بار ولی نه B = 0.65 × (1-0.3)3 = 0.02667168
احتمال رخ دادن B 3 بار ولی نه A = (1-0.6)5 × 0.33 = 2.7648e-4
احتمال رخ دادن A ولی نه B = (1-(1-0.6)5) × (1-0.3)3 = 0.33948768
احتمال رخ دادن B ولی نه A = (1-0.6)5 × (1-(1-0.3)3) = 0.00672768
Probability
احتمال بین -1 و 1 برابر است با 0.68268
احتمال بیرون از -1 و 1 برابر است با 0.31732
احتمال -1 یا کمتر (≤-1) برابر است با 0.15866
احتمال 1 یا بیشتر (≥1) برابر است با 0.15866
| جدول فاصله‌های اطمینان | ||
|---|---|---|
| اطمینان | دامنه | N |
| 0.6828 | -1.00000 – 1.00000 | 1 |
| 0.8 | -1.28155 – 1.28155 | 1.281551565545 |
| 0.9 | -1.64485 – 1.64485 | 1.644853626951 |
| 0.95 | -1.95996 – 1.95996 | 1.959963984540 |
| 0.98 | -2.32635 – 2.32635 | 2.326347874041 |
| 0.99 | -2.57583 – 2.57583 | 2.575829303549 |
| 0.995 | -2.80703 – 2.80703 | 2.807033768344 |
| 0.998 | -3.09023 – 3.09023 | 3.090232306168 |
| 0.999 | -3.29053 – 3.29053 | 3.290526731492 |
| 0.9999 | -3.89059 – 3.89059 | 3.890591886413 |
| 0.99999 | -4.41717 – 4.41717 | 4.417173413469 |
در محاسبه شما خطایی رخ داد.
فهرست مطالب
- ماشین حساب احتمال دو رویداد
- حل‌کننده احتمال برای دو رویداد
- احتمال یک سری رویدادهای مستقل
- احتمال توزیع نرمال
- مقدمه‌ای بر احتمال
- قوانین عملیات رویداد
- مثال
- مکمل یک رویداد
- تقاطع رویدادها
- رویدادهای مستقل
- اتحاد رویدادها
- توزیع نرمال
- احتمال توزیع نرمال
- مثال
ماشین حساب احتمال دو رویداد
زمانی که احتمال دو رویداد مستقل را می‌دانید، می‌توانید از ماشین حساب احتمال دو رویداد برای تعیین وقوع آن‌ها با هم استفاده کنید. باید احتمال دو رویداد مستقل را به عنوان احتمال a و b در ماشین حساب وارد کنید. سپس ماشین حساب اتحاد، تقاطع، و احتمالات مرتبط دیگر دو رویداد مستقل را همراه با نمودارهای ون نشان خواهد داد.
حل‌کننده احتمال برای دو رویداد
اگر هر دو مقدار ورودی از ماشین حساب حل‌کننده احتمال برای دو رویداد را می‌دانید، می‌توانید احتمال رخدادهای مختلف دو رویداد مستقل را محاسبه کنید. این مهم است زمانی که یک یا هر دو احتمال دو رویداد را ندارید. نتایج پاسخ را همراه با مراحل محاسبه نشان خواهد داد.
احتمال یک سری رویدادهای مستقل
شما می‌توانید از ماشین حساب احتمال یک سری رویدادهای مستقل برای تعیین احتمال زمانی که هر آزمایش شامل دو رویداد مستقل است که یکی پس از دیگری رخ می‌دهند، استفاده کنید. در این ماشین حساب، باید تعداد دفعات وقوع رویداد را تنظیم کنید.
احتمال توزیع نرمال
ماشین حساب احتمال توزیع نرمال هنگام تعیین احتمال یک منحنی نرمال مفید است. باید میانگین μ، انحراف معیار σ، و مرزها را وارد کنید. ماشین حساب احتمال نرمال احتمال مرزهای تنظیم شده و فواصل اطمینان را برای محدوده‌ای از سطوح اطمینان تولید خواهد کرد.
مقدمه‌ای بر احتمال
احتمال شانسی است که یک رویداد رخ دهد. زمانی که یک رویداد قطعاً رخ خواهد داد، احتمال آن 1 است. وقتی که یک رویداد رخ نخواهد داد، احتمال آن 0 است. در نتیجه، احتمال یک رویداد داده شده همیشه بین 0 و 1 است. ماشین حساب احتمال، محاسبه احتمالات برای رویدادهای مختلف را بسیار ساده می‌کند.
قوانین عملیات رویداد
هر گروه‌بندی از نتایج یک آزمایش به عنوان یک رویداد اطلاق می‌شود. این یک رویداد است که می‌تواند هر زیرمجموعه‌ای از فضای نمونه باشد. مکمل، تقاطع، و اتحاد می‌توانند به عنوان قوانین عملیات رویداد شناخته شوند. بیایید هر یک از این قوانین را با استفاده از مثال زیر یاد بگیریم.
مثال
دانشکده شما شامل دانشکده‌های مختلفی از جمله دانشکده کسب‌وکار می‌باشد. دانشجویان بین‌المللی نیز در این دانشکده ثبت‌نام کرده‌اند. شما باید به عنوان بخشی از پروژه خود، مصاحبه‌هایی را با دانشجویان دانشکده خود انجام دهید. شما تصمیم می‌گیرید که با اولین دانشجویی که از دروازه وارد می‌شود، شروع کنید. شما از احتمالات زیر آگاه هستید. بگوییم،
A = اولین دانشجو از دانشکده کسب‌وکار است.
B = اولین دانشجو یک دانشجوی بین‌المللی است.
P(A) = 0.6
P(B) = 0.3
مکمل یک رویداد
مکمل یک رویداد مجموعه‌ای از تمام نتایج در فضای نمونه است که در آن رویداد گنجانده نشده‌اند.
برای مثال، مکمل رویداد A به این معنی است که اولین دانشجو از جایی به غیر از دانشکده کسب‌وکار است. این می‌تواند با \$A\prime\$ یا Aᶜ نشان داده شود.
بیایید مکمل رویداد A را در یک نمودار ون نشان دهیم.
در نمودار ون بالا، منطقه رنگی نشان‌دهنده مکمل رویداد A است.
مساحت کل مستطیل، احتمال کلی فضای نمونه را نشان می‌دهد. دقیقاً یک است. فضای خارج از دایره A احتمال مکمل رویداد A را نشان می‌دهد. نمودار ون به ما امکان می‌دهد رابطه زیر را برقرار کنیم:
$$P\left(A\right)+P\left(A^\prime\right)=1$$
بنابراین،
$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)$$
بیایید احتمالات زیر را پیدا کنیم.
احتمال اینکه اولین دانشجویی که برای مصاحبه انتخاب می‌کنید، از دانشکده کسب‌وکار نباشد:
$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)=1-0.6=0.4$$
احتمال اینکه اولین دانشجویی که برای مصاحبه انتخاب می‌کنید، دانشجوی بین‌المللی نباشد:
$$P\left(B^\prime\right)=1-P\left(B\right)=1-0.3=0.7$$
تقاطع رویدادها
تقاطع دو رویداد A و B، لیست تمام عناصر مشترک در هر دو رویداد A و B است. کلمه "AND" اغلب برای نشان دادن تقاطع دو مجموعه استفاده می‌شود.
تقاطع رویداد A و رویداد B در مثال 1 به معنای انتخاب یک دانشجوی بین‌المللی است، و این دانشجو از دانشکده کسب‌وکار است. این می‌تواند به شکل زیر نشان داده شود:
$$A\cap B$$
بیایید تقاطع رویدادهای A و B را در یک نمودار ون نشان دهیم.
در نمودار ون بالا، منطقه رنگی نشان‌دهنده تقاطع رویدادهای A و B است.
بگویید رویداد انتخاب یک دانشجوی محلی برای مصاحبه C است. حالا، ما رویدادهای A و C را در یک نمودار ون نشان می‌دهیم.
انتخاب یک دانشجوی بین‌المللی و یک دانشجوی محلی به طور همزمان انجام‌پذیر نیست. فرض کنید اولین دانشجویی که انتخاب می‌کنید یک دانشجوی بین‌المللی است. در این صورت، این رویداد اولین دانشجو بودن به عنوان یک دانشجوی محلی را حذف می‌کند. بنابراین، رویدادهای A و C رویدادهای متقابلاً انحصاری هستند.
رویدادهای متقابلاً انحصاری هیچ عنصر مشترکی بین خود ندارند. بنابراین، تقاطع دو رویداد متقابلاً انحصاری خالی است.
$$A\cap C=φ$$
احتمال تقاطع رویدادها می‌تواند با روش‌های مختلف محاسبه شود. رویدادهای A و B می‌توانند به شکل زیر نوشته شوند.
$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cup B\right)$$
$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B/A)$$
$$P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A/B)$$
رویدادهای مستقل
رویدادهای مستقل، رویدادهایی هستند که بر یکدیگر تأثیر نمی‌گذارند. در مثال ما، انتخاب یک دانشجو از دانشکده کسب‌وکار بر انتخاب بودن یا نبودن یک دانشجوی بین‌المللی تأثیری ندارد. بنابراین، می‌توانیم بگوییم که رویداد A و رویداد B دو رویداد مستقل هستند.
زمانی که رویدادها مستقل هستند، احتمال وقوع هر یک از آن‌ها بستگی به احتمال دیگری ندارد. بنابراین،
$$P(B/A)=B\ and\ P(A/B)=A$$
شما می‌توانید از این فرمول‌ها برای تغییر فرمولی که پیش‌تر یاد گرفتیم و تعیین احتمال دو رویداد تقاطع استفاده کنید.
$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(\mathrm{B/A}\right)P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$
$$P\left(A\cap B\right)=P\left(B\right)× P\left(\mathrm{A/B}\right)P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A)$$
بنابراین، شما می‌توانید تقاطع دو رویداد مستقل را با ضرب کردن احتمال آن دو رویداد پیدا کنید.
$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=P(B)× P(A)$$
با توجه به اینکه رویدادهای A و B مستقل هستند، بیایید احتمال اینکه اولین دانشجویی که برای مصاحبه انتخاب می‌کنید، هم از دانشکده کسب‌وکار باشد و هم یک دانشجوی بین‌المللی باشد، تعیین کنیم.
$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=0.6× 0.3=0.18$$
اتحاد رویدادها
اتحاد دو رویداد، رویداد دیگری را تولید می‌کند که شامل تمام عناصر از یک یا هر دو رویداد است. کلمه "OR" معمولاً برای توصیف اتحاد دو رویداد استفاده می‌شود.
در مثال 1، اتحاد رویدادهای A و B به معنای انتخاب یک دانشجوی بین‌المللی یا یک دانشجو از دانشکده کسب‌وکار است. این می‌تواند به شکل زیر نشان داده شود.
$$A\cup B$$
بیایید اتحاد رویدادهای A و B را در یک نمودار ون نشان دهیم.
منطقه رنگی در نمودار ون بالا، اتحاد رویدادهای A و B را نشان می‌دهد.
برای محاسبه احتمال رویداد A یا رویداد B، ما باید احتمال هر دو رویداد را جمع بزنیم و احتمال تقاطع را کم کنیم.
احتمال اتحاد رویدادهای A و B به شکل زیر نوشته می‌شود.
$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$$
ما می‌توانیم فرمول بالا را تغییر دهیم و یک فرمول جدید برای یافتن احتمال اتحاد دو رویداد مستقل ایجاد کنیم، زمانی که احتمال تقاطع دو رویداد ناشناخته است و دو رویداد مستقل هستند.
اگر رویدادها مستقل باشند،
$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$
بنابراین،
$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A)× P(B)$$
بیایید محاسبه کنیم که احتمال ترکیب رویدادهای A و B چقدر است، یعنی با چه احتمالی دانشجویی را انتخاب می‌کنیم که در رشته کسب‌وکار تحصیل می‌کند، دانشجوی بین‌المللی است، یا هر دو به طور همزمان؟
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0.6+0.3-0.18=0.72$$
با تشکر از ماشین حساب احتمال دو رویداد یا حل‌کننده احتمال برای دو رویداد، شما می‌توانید تمام محاسبات بالا را به سرعت انجام دهید. شما حتی می‌توانید از حل‌کننده احتمال برای دو رویداد استفاده کنید، اگر می‌خواهید مراحل محاسبه احتمال خود را بررسی کنید، زیرا این نیز مراحل محاسبه را نمایش می‌دهد.
توزیع نرمال
توزیع نرمال متقارن و به شکل زنگ است. یک توزیع نرمال دارای میانگین، میانه و مُد یکسانی است و همچنین 50٪ از داده‌ها بالای میانگین و 50٪ زیر میانگین قرار دارند. منحنی توزیع نرمال از میانگین در هر دو جهت دور می‌شود اما هرگز به محور X نمی‌رسد. مجموع مساحت زیر منحنی 1 است.
اگر متغیر تصادفی X دارای توزیع نرمال با پارامترهای μ و σ2 باشد، ما می‌نویسیم X ~ N(μ, σ²).
احتمال توزیع نرمال
تابع چگالی احتمال توزیع نرمال به شکل زیر است:
$$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}}× e^\frac{-{(x-\mu)}^2}{2\sigma^2}$$
در این تابع:
- μ میانگین توزیع است؛
- σ² واریانس توزیع است؛
- π برابر با 3.14 است؛
- e برابر با 2.7182 است.
امکان ارائه یک جدول احتمال برای هر ترکیبی از میانگین و انحراف معیار وجود ندارد چون تعداد بی‌نهایتی از منحنی‌های نرمال مختلف وجود دارد. به همین دلیل، از توزیع نرمال استاندارد استفاده می‌شود. توزیع نرمال با میانگین صفر و انحراف معیار یک به عنوان توزیع نرمال استاندارد شناخته می‌شود.
برای محاسبه احتمال یک توزیع نرمال، ابتدا باید توزیع واقعی را با استفاده از امتیاز z به یک توزیع نرمال استاندارد تبدیل کنیم و سپس از جدول z برای محاسبه احتمال استفاده کنیم. ماشین حساب احتمال نرمال به عنوان یک ماشین حساب احتمال نرمال استاندارد عمل می‌کند و احتمالات مختلف برای سطوح اطمینان متفاوت را ارائه می‌دهد.
$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$$
منحنی توزیع نرمال استاندارد می‌تواند برای حل مجموعه‌ای از مسائل دنیای واقعی مورد استفاده قرار گیرد. برای تعیین احتمال متغیرهای پیوسته، از توزیع نرمال استفاده می‌شود. متغیر پیوسته، متغیری است که می‌تواند هر تعداد مقادیر را، حتی عددی اعشاری، به خود اختصاص دهد. چند نمونه از متغیرهای پیوسته شامل قد، وزن و دما می‌شود.
بیایید یاد بگیریم چگونه احتمال توزیع نرمال را با استفاده از مثال زیر پیدا کنیم.
مثال
نتایج درس آمار دسته شما به صورت توزیع نرمالی است، با میانگین 65 و انحراف معیار 10. احتمال سناریوهای زیر را تعیین کنید اگر یک دانشجو به تصادف انتخاب شود:
- نمره دانشجو برابر یا بیشتر از 70 باشد،
- نمره دانشجو کمتر از 70 باشد،
- نمره دانشجو بین 50 تا 70 باشد.
راه‌حل
$$P\left(X≥70\right)=P\left(Z≥\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z≥0.5\right)=1-0.6915=0.3085$$
$$P\left(X<70\right)=P\left(Z<\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z<0.5\right)=0.6915$$
$$P\left(50<X<70\right)=P\left(\frac{50-65}{10}<Z<\frac{70-65}{10}\right)=P\left(1.5>Z>0.5\right)=0.4332+0.1915=0.6247$$
محاسبه احتمال یک منحنی نرمال شامل مراحل متعددی است و نیازمند استفاده از جدول‌های z است. از طرف دیگر، ماشین حساب احتمال توزیع نرمال به شما کمک می‌کند تا به سادگی با وارد کردن چهار عدد به ماشین حساب، احتمال را محاسبه کنید. برای استفاده از ماشین حساب توزیع نرمال، فقط نیاز است که میانگین، انحراف معیار، و مرزهای چپ و راست را وارد کنید.