ماشین حساب اندازه نمونه

ماشین حساب اندازه نمونه دو جزء دارد. جزء اول برای محاسبه اندازه نمونه است، و جزء دوم برای تعیین حاشیه خطا.

انتخاب سطح اعتماد از فهرست کشویی اولین گام در تعیین اندازه نمونه است. سپس، حاشیه خطای نسبی را وارد کنید. شما می‌توانید حاشیه خطا را از مطلق به نسبی تبدیل کنید با تقسیم مقدار مطلق بر تخمین نقطه‌ای.

پس از آن، اگر نسبت جمعیت را می‌دانید، آن را وارد کنید. در غیر این صورت، آن را 50٪ نگه دارید. اگر اندازه جمعیت را می‌دانید، در سلول آخر آن را وارد کنید؛ در غیر این صورت، آن را خالی بگذارید. در نهایت، روی "محاسبه" کلیک کنید.

از جزء دوم ماشین حساب برای گرفتن حاشیه خطا استفاده کنید. به عنوان اولین گام، سطح اعتماد را از منوی کشویی انتخاب کنید. اندازه نمونه مطالعه را در سلول دوم وارد کنید. پس از آن، نسبت جمعیت را وارد کنید. اندازه جمعیت را در آخرین سلول وارد کنید. اگر اندازه جمعیت را نمی‌دانید، آن سلول را خالی بگذارید. در آخر، روی "محاسبه" کلیک کنید.

نمونه

یک قسمت یا بخشی از جمعیت به عنوان نمونه شناخته می‌شود. جمعیت به کل عناصر مورد علاقه در یک مطالعه خاص اشاره دارد. مطالعه هر عنصر از جمعیت مورد نظر شما بهترین روش برای بررسی جمعیت است. با این حال، به دلیل عوامل بسیاری، بررسی هر مورد در جمعیت اغلب غیرعملی است. به عنوان مثال، اگر تحقیق شما در مورد حشرات در جنگل است، جمعیت نامحدود است. بنابراین، شما نمی‌توانید کل جمعیت خود را مطالعه کنید. گاهی اوقات هنگام آزمایش، ممکن است اقلام مطالعه شما نابود شوند.

برای مثال، وقتی شما یک بطری نوشیدنی گازدار مهر و موم شده را باز کرده و حجم آن را بررسی می‌کنید، نمی‌توانید آن بطری نوشیدنی را به بازار ارسال کنید.

شما به زمان، پول و سایر منابع زیادی برای بررسی کل جمعیت نیاز دارید. در بیشتر موارد، شما باید تحقیق خود را با زمان، پول و سایر منابع محدود به پایان برسانید. بررسی کل جمعیت در اکثر موارد غیرعملی است. راه حل انتخاب یک نمونه و انجام تحقیق است.

حاشیه خطا

بیشتر اوقات، ما نمی‌توانیم تمام اجزای جمعیت را بررسی کنیم. بنابراین آمار نمونه (اندازه‌های محاسبه شده از نمونه) اغلب برای تخمین پارامترهای جمعیت (اندازه‌های محاسبه شده از جمعیت) استفاده می‌شوند. آمار نمونه از داده‌های واقعی مشاهده شده یا اندازه‌گیری شده از نمونه استخراج می‌شود. وقتی شما یک عدد تکی برای یک پارامتر جمعیتی تخمین می‌زنید، به آن تخمین نقطه‌ای گفته می‌شود.

برای مثال، اگر می‌خواهید حجم متوسط یک بطری نوشیدنی گازدار در یک خط تولید را تخمین بزنید، می‌توانید یک دسته تصادفی انتخاب کنید و حجم متوسط آن دسته را پیدا کنید. بیایید تصور کنیم که این دسته دارای حجم متوسط \$x̄\$ 250 میلی‌لیتر است. بنابراین، شما تخمین می‌زنید که هر بطری در خط تولید دارای حجم متوسط \$\hat{μ}\$ 250 میلی‌لیتر است.

در عمل، پارامتر واقعی و پارامتر تخمینی برابر نیستند. اختلاف از تخمین پارامتر با استفاده از یک نمونه به جای کل جمعیت به وجود می‌آید.

حاشیه خطا به عنوان بیشترین اختلاف احتمالی بین تخمین نقطه‌ای یک پارامتر و مقدار واقعی آن تعریف می‌شود. این اغلب به عنوان بیشترین خطای تخمین ذکر می‌شود.

فاصله اعتماد

فاصله اعتماد، دامنه‌ای از تخمین‌ها را نشان می‌دهد. دامنه تخمین‌ها یا فواصل اعتماد نشان می‌دهد که پارامتر در داخل یک حاشیه خطای خاص تخمین زده شده است. برای تعیین مرز پایینی فاصله اعتماد، حاشیه خطا از تخمین نقطه‌ای کم می‌شود. برای تعیین مرز بالایی فاصله اعتماد، حاشیه خطا به تخمین نقطه‌ای اضافه می‌شود.

ارتباط بین نمونه در آمار، حاشیه خطا، و فاصله اعتماد

به جای تحقیق روی کل جمعیت، ما یک نمونه را مطالعه می‌کنیم تا پارامترهای جمعیت را تخمین بزنیم. بنابراین ممکن است اختلافی بین پارامتر تخمین زده شده جمعیت و پارامتر واقعی جمعیت وجود داشته باشد. حاشیه خطا بیشترین اختلاف احتمالی بین تخمین نقطه‌ای یک پارامتر و مقدار واقعی آن است. علاوه بر این، یک پیوند معکوس بین اندازه نمونه و حاشیه خطا وجود دارد. اندازه نمونه بزرگتر منجر به نمایندگی دقیق‌تری از جمعیت شده و حاشیه خطا را کاهش می‌دهد. به طور مشابه، کاهش اندازه نمونه حاشیه خطا را افزایش می‌دهد.

فاصله اعتماد زمانی به دست می‌آید که شما این حاشیه خطا را به تخمین نقطه‌ای اعمال کنید.

فرمول محاسبه اندازه نمونه

فرمول‌های مختلفی برای محاسبه اندازه نمونه بسته به اطلاعات شما موجود است.

سطح اعتماد مورد نظر درجه دقت را تعیین می‌کند، در حالی که حداکثر دامنه روی حاشیه خطا درجه دقتی را که ما می‌خواهیم با تخمین دامنه‌مان به دست آوریم، تعیین می‌کند.

اگر ما همچنین انحراف استاندارد جمعیت را بدانیم، می‌توانیم حداقل اندازه نمونه مورد نیاز برای به دست آوردن فاصله اعتماد مورد نظر را با استفاده از فرمول زیر محاسبه کنیم.

$$n=\left(\frac{z_{\alpha/2}×\sigma}{E}\right)^2$$

نتیجه نهایی \$n\$ باید به بالاترین عدد صحیح نزدیک شود.

فرمول کوکران به شما امکان می‌دهد حداقل اندازه نمونه را بر اساس سطح مورد نظر حاشیه خطا، سطح مورد نظر اعتماد، و نسبت انتظاری ویژگی حاضر در جمعیت تعیین کنید. فرمول کوکران است،

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{E^2}$$

• z = مقدار Z از جدول Z بر اساس سطح مورد نظر اعتماد
• p = نسبت انتظاری ویژگی حاضر در جمعیت
• E = حاشیه خطا

مثال 1

تصور کنید که ما در حال تحقیق بر روی دانشجویان بین‌المللی ثبت نام شده در دوره‌های کارشناسی در کانادا هستیم. در ابتدا، ما اطلاعات زیادی نداریم. بنابراین، فرض می‌کنیم که دانشجویان بین‌المللی 60٪ از کل دانشجویان کارشناسی در کانادا را تشکیل می‌دهند. در نتیجه، نسبت تخمینی ویژگی در جمعیت 60٪ است. ما خواهان سطح اعتماد 95٪ و حاشیه خطای 4٪ هستیم. چه تعداد دانشجو باید در حداقل اندازه نمونه مطالعه شامل شود؟

$$(1-\alpha)=95\%$$

$$z_{α/2}=z_{{95\%}/2}=1.96$$

$$p=60\%$$

$$E=4\%$$

$$n₀=\frac{z²p(1-p)}{E²}=\frac{1.96²×60\%×(1-60\%)}{4\%²}=576.24≈577$$

پس، حداقل 577 دانشجو باید در مطالعه شامل شوند تا سطح اعتماد 95٪ و حاشیه خطای 4٪ به دست آید.

فرمول بالا زمانی استفاده می‌شود که اندازه جمعیت بزرگ یا نامحدود باشد. اگر اندازه جمعیت کوچک یا محدود باشد، باید اندازه نمونه را تنظیم کنیم. اندازه نمونه با استفاده از فرمول زیر تنظیم می‌شود.

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}$$

• n₀ = اندازه نمونه محاسبه شده از فرمول کوکران
• N = اندازه جمعیت
• n = اندازه نمونه تنظیم شده برای جمعیت محدود

مثال 2

تصور کنید که ما در حال تحقیق بر روی دانشجویان بین‌المللی ثبت نام شده در دوره‌های کارشناسی در دانشکده‌ای هستیم که شما در کانادا در آن تحصیل می‌کنید. در ابتدا، ما اطلاعات زیادی نداریم. بنابراین، فرض می‌کنیم که دانشجویان بین‌المللی 60٪ از کل دانشجویان کارشناسی در دانشکده شما را تشکیل می‌دهند. در نتیجه، نسبت تخمینی ویژگی در جمعیت 60٪ است. تعداد کل دانشجویان در دانشکده شما 12,000 نفر است. ما خواهان سطح اعتماد 95٪ و حاشیه خطای 4٪ هستیم. چه تعداد دانشجو باید در حداقل اندازه نمونه مطالعه شامل شود؟

در این مورد، ابتدا باید n₀ را با استفاده از فرمول کوکران محاسبه کنید و سپس اندازه نمونه را به دلیل محدود بودن جمعیت تنظیم کنید.

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{{E}^2}=\frac{1.96^2×{60\%}×(1-{60\%})}{{4\%}^2}=576.24$$

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}=\frac{576.24}{1+\left(\frac{576.24-1}{12,000}\right)}=549.88\approx550$$

با استفاده از ماشین حساب حداقل اندازه نمونه، می‌توانید محاسبات پیچیده ذکر شده را در کمتر از یک ثانیه انجام دهید.

فرمول محاسبه حاشیه خطا

می‌توانید فرمول اندازه نمونه را مجدداً تنظیم کنید تا فرمول حاشیه خطا را پیدا کنید.

می‌دانید که فرمول حداقل اندازه نمونه است،

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

بیایید \$E\$ یا حاشیه خطا را موضوع فرمول بالا قرار دهیم.

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

$${n₀}×{E}^2=z^2p\left(1-p\right)$$

$$E^2=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}$$

$$E=\sqrt{\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

مثال 3

تصور کنید که ما در حال تحقیق بر روی دانشجویان بین‌المللی ثبت نام شده در دوره‌های کارشناسی در کانادا هستیم. در ابتدا، ما اطلاعات زیادی نداریم. بنابراین، فرض می‌کنیم که دانشجویان بین‌المللی 60٪ از کل دانشجویان کارشناسی در کانادا را تشکیل می‌دهند. در نتیجه، نسبت تخمینی ویژگی در جمعیت 60٪ است. بگوییم ما خواهان سطح اعتماد 95٪ هستیم، و شما 577 دانشجو را برای تحقیق خود انتخاب می‌کنید. حاشیه خطای مطالعه شما چقدر است؟

$$z_{{95\%}/2}=1.96$$

$$p=60\%$$

$$n₀=577$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n_0}}=1.96 \times \sqrt{\frac{60\% \times \left(1-60\%\right)}{577}}=4\%$$

اگر جمعیت محدود باشد، ابتدا باید n₀ را با استفاده از فرمول زیر پیدا کنید.

$$n₀=\frac{n-nN}{n-N}$$

سپس، پاسخ را در فرمول زیر اعمال کنید تا حاشیه خطا را پیدا کنید:

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

جزء دوم ماشین حساب حداقل اندازه نمونه به شما کمک می‌کند تا تمام این مراحل را حذف کرده و حاشیه خطا را در کمتر از یک ثانیه محاسبه کنید.

فرمول محاسبه فاصله اعتماد

تعیین فاصله اعتماد ساده است اگر شما حاشیه خطا را بدانید. فرمول نشان داده شده در زیر برای محاسبه فاصله اعتماد استفاده می‌شود.

فاصله اعتماد = تخمین نقطه‌ای ± حاشیه خطا

مرز بالایی فاصله اعتماد = تخمین نقطه‌ای + حاشیه خطا

مرز پایینی فاصله اعتماد = تخمین نقطه‌ای - حاشیه خطا

فاصله اعتماد برای میانگین μ است،

x̄ - E < μ < x̄ + E

x̄ - E حد پایین، و x̄ + E حد بالا است.

فاصله اعتماد برای P است،

p - E < P < p + E

مثال 4

شما در حال تحقیق بر روی هزینه میانگین برنامه دانشجویان بین‌المللی که در کانادا تحصیل می‌کنند، هستید. شما 1000 دانشجو را برای نمونه خود انتخاب کرده‌اید و بر اساس نمونه خود، تخمین می‌زنید که هزینه میانگین برنامه دانشجویان بین‌المللی که در کانادا تحصیل می‌کنند، 20,000 دلار کانادا است. حاشیه خطا 5,000 دلار کانادا است. فاصله اعتماد برای هزینه میانگین برنامه دانشجویان بین‌المللی که در کانادا تحصیل می‌کنند را پیدا کنید.

حد بالا = x̄ + E = 20,000 دلار کانادا + 5,000 دلار کانادا = 25,000 دلار کانادا

حد پایین = x̄ - E = 20,000 دلار کانادا - 5,000 دلار کانادا = 15,000 دلار کانادا

بنابراین، فاصله اعتماد است،

x̄ - E < μ < x̄ + E

15,000 دلار کانادا < μ < 25,000 دلار کانادا