ماشین حساب تعداد ارقام معنی‌دار

این ماشین حساب عدد داده شده را به تعداد لازم از ارقام معنی‌دار گرد می‌کند و "اعداد اضافی" را با صفرها جایگزین می‌کند. به عنوان مثال، گرد کردن 11 به یک رقم معنی‌دار، پاسخ را 10 خواهد داد.

ارقام معنی‌دار

ارقام معنی‌دار در یک مقدار عددی، ارقامی هستند که معنایی را انتقال می‌دهند و به دقت آن کمک می‌کنند. این شامل تمام ارقام غیر صفر، هر صفر بین ارقام غیر صفر، و صفرهای انتهایی در یک عدد اعشاری می‌شود. به عنوان مثال، در 103.00، تمام پنج رقم معنی‌دار هستند: '1' و '3' به عنوان ارقام غیر صفر، '0'ها زیرا که بین ارقام غیر صفر هستند، و آخرین '0' چون یک صفر انتهایی در عدد اعشاری است. صفرهای ابتدایی، مانند آنهایی در 0.0025، معنی‌دار نیستند زیرا تنها موقعیت نقطه اعشار را نشان می‌دهند.

مفهوم ارقام معنی‌دار در محاسبات علمی، مهندسی، و ریاضی حیاتی است زیرا دقت اندازه‌گیری‌ها و محاسبات را منعکس می‌کند. هنگام انجام محاسبات، حفظ تعداد صحیح ارقام معنی‌دار اطمینان می‌دهد که دقت نتایج نه به طور مصنوعی افزایش یابد و نه کاهش یابد. این اصل برای بیان قابلیت اطمینان داده‌ها و برای انجام مقایسه‌های معنادار بین اندازه‌گیری‌های مختلف حیاتی است.

دستورالعمل استفاده

برای استفاده از این گردکننده ارقام معنی‌دار، عدد داده شده و تعداد لازم از ارقام معنی‌دار را وارد کنید، سپس روی "محاسبه" فشار دهید. عدد داده شده می‌تواند شامل تا 30 نماد باشد. شما می‌توانید از نمادهای عددی، نمایش علمی، یا نوتاسیون e به عنوان ورودی استفاده کنید. همچنین می‌توانید از ویرگول برای جدا کردن هزارها استفاده کنید، اما این کار ضروری نیست. برخی از نمونه‌های ورودی پذیرفته شده عبارتند از:

• 150987
• 3,000,000
• 2.456e7
• -7.5 x 10^3

تعداد ارقام معنی‌دار باید کمتر از 16 باشد، یعنی 15 بزرگترین تعداد ارقام معنی‌داری است که این ماشین حساب می‌تواند به آن گرد کند.

گرد کردن ارقام معنی‌دار

اول بیایید "گرد کردن" را تعریف کنیم. گرد کردن فرآیند بازنویسی عدد به شکل ساده‌تری است، در حالی که مقدار آن را نزدیک به مقدار اصلی نگه می‌دارد. به عنوان مثال، 1001 می‌تواند به 1000 گرد شود. و 6.999999 می‌تواند به 7 گرد شود. عدد نتیجه (کمی) کم دقت‌تر از اصلی است، اما بیان و نوشتن آن بسیار آسان‌تر است.

حال، به ارقام معنی‌دار. تعداد ارقام معنی‌دار به طور اساسی تعداد ارقامی است که شما در یک عدد نگه می‌دارید. تمام ارقام دیگر به صفر تبدیل می‌شوند.

الگوریتم گرد کردن اعداد

فرآیند گرد کردن یک عدد به طور اساسی به معنای یافتن یک عدد با کمتر از ارقامی است که مقدار آن نزدیک به مقدار عدد اصلی است. به عنوان مثال، به طور غریزی واضح است که 6.1 به 6 گرد می‌شود، چون "نزدیک‌تر" به 6 تا به 7 است. به طور مشابه، 6.2، 6.3، و 6.4 همه به 6 گرد می‌شوند. در حالی که 6.9 به 7 گرد می‌شود، چون نزدیک‌تر به 7 تا به 6 است. همینطور با 6.8، 6.7، و 6.6. اما با 6.5 چه کار کنیم؟ دقیقاً در وسط بین 6 و 7 است. قوانین گرد کردن مختلفی وجود دارد. اینجا ما رایج‌ترین روش را بحث می‌کنیم. در رایج‌ترین روش گرد کردن، 5 به "بالا" گرد می‌شود، پس 6.5 به 7 گرد می‌شود. الگوریتم گرد کردن اعداد، در این مورد، شامل مراحل زیر است:

1. تعیین تعداد ارقام معنی‌داری که می‌خواهید نگه دارید.
2. به آخرین رقمی که نگه می‌دارید نگاه کنید. اگر رقم بعدی کوچکتر از 5 باشد، آخرین رقم را همان طور نگه دارید؛ اگر رقم بعدی بزرگتر یا مساوی 5 باشد، آخرین رقم معنی‌دار را 1 واحد افزایش دهید.

به عنوان مثال، هر عدد را به دو رقم معنی‌دار گرد کنید: 1015 و 876. بیایید با 1015 شروع کنیم:

1. ما می‌خواهیم به 2 رقم معنی‌دار گرد کنیم، پس آخرین رقمی که نگه می‌داریم (و به صفر تبدیل نمی‌کنیم) صفر است: 1015 – اینجا، ما ارقام ضخیم را نگه می‌داریم و بقیه را به صفر تبدیل می‌کنیم.
2. به رقم بعد از صفر نگاه کنیم – یک است. 1 کمتر از 5 است. بنابراین، آخرین رقم معنی‌دار همان طور نگه داشته می‌شود. عدد می‌شود \$1\bar{0}00\$. خط افقی بالای دومین رقم نشان می‌دهد که این عدد به دومین رقم معنی‌دار گرد شده است.

حالا به 876 نگاه کنیم:

1. آخرین رقمی که نگه می‌داریم 7 است، و دومین رقم عدد 876 است – دوباره، ما ارقام ضخیم را نگه می‌داریم و بقیه را به صفر تبدیل می‌کنیم.
2. رقم بعدی بعد از 7، 6 است. 6 بزرگتر از 5 است. بنابراین، ما باید 1 واحد به آخرین رقم نگه داشته شده اضافه کنیم: 7 + 1 = 8. عدد نهایی می‌شود \$8\bar{8}0\$. همچنین، اینجا، خط افقی بالای دومین رقم اضافه شده است تا نشان دهد که عدد به دومین رقم معنی‌دار گرد شده است.

گرد کردن اعشار

الگوریتم گرد کردن اعشار همانند گرد کردن اعداد صحیح است. مهم است توجه داشته باشیم که صفرهای ابتدایی اعداد معنی‌دار نیستند. بنابراین، هنگام انتخاب آخرین رقم حفظ شده، نادیده گرفته می‌شوند. به عنوان مثال، هر عدد را به سه رقم معنی‌دار گرد کنید: 9.05675، 0.01234.

با شروع از 9.05675، به دست می‌آوریم:

1. ما می‌خواهیم به سه رقم معنی‌دار گرد کنیم، پس آخرین رقمی که نگه می‌داریم 5 است: 9.05675، که تنها ارقام ضخیم نگه داشته می‌شوند.
2. نگاه کردن به رقم بعد از 5، می‌بینیم که 6 است. 6 بزرگتر از 5 است. بنابراین، آخرین رقم معنی‌دار باید 1 واحد افزایش یابد: 5 + 1 = 6. عدد نهایی 9.06000 می‌شود. برخلاف مورد اعداد صحیح، صفرهای انتهایی ارزش نهایی پاسخ را تغییر نمی‌دهند. بنابراین، می‌توان آنها را حذف کرد. پاسخ نهایی 9.06 است.

حالا به 0.01234 نگاه کنیم:

1. ما می‌خواهیم به 3 رقم معنی‌دار گرد کنیم. بنابراین، آخرین رقمی که نگه می‌داریم 3 است. توجه داشته باشید که صفرهای اولیه ارقام معنی‌دار نیستند: 0.01234، که تنها ارقام ضخیم نگه داشته می‌شوند.
2. رقم بعد از 3، 4 است. 4 کوچکتر از 5 است. بنابراین، آخرین رقم تغییر نمی‌کند؛ عدد نهایی 0.01230 یا 0.0123 می‌شود.

مثال محاسبه

تصور کنید یک لباس در فروشگاهی می‌خرید که قیمت آن 15 دلار به علاوه مالیات بر درآمد است. مالیات بر درآمد 6.25٪ است. حالا شما، البته، می‌خواهید قیمت نهایی لباس را محاسبه کنید. برای این کار، ابتدا مقدار 6.25٪ را به شکل زیر محاسبه خواهید کرد:

6.25٪ از 15 = (15/100) × 6.25 = 0.15 × 6.25 = 0.9375

سپس قیمت نهایی لباس را محاسبه خواهید کرد:

قیمت نهایی = 15 + 0.9375 = 15.9375

از آنجا که صدم دلار کوچکترین واحدی است که می‌توانیم استفاده کنیم، عدد حاصل را به دو رقم بعد از اعشار گرد می‌کنیم.

در این مورد، گرد کردن به صدم همان گرد کردن به 4 رقم معنی‌دار است. (توجه داشته باشید که ممکن است برای گرد کردن یک عدد متفاوت به صدم، به تعداد متفاوتی از ارقام معنی‌دار نیاز داشته باشید. به عنوان مثال، برای گرد کردن 5.6325 به صدم، از 3 رقم معنی‌دار استفاده می‌کنید، در حالی که برای گرد کردن 132.125 به صدم، از 5 رقم معنی‌دار استفاده می‌کنید).

گرد کردن 15.9375 به 4 رقم معنی‌دار، به دست می‌آوریم:

1. آخرین رقمی که نگه می‌داریم 3 است: 15.9375.
2. رقم بعد از 3، 7 است. 7 بزرگتر از 5 است. بنابراین، آخرین رقم باید 1 واحد افزایش یابد: 3 + 1 = 4. عدد گرد شده 15.94 خواهد بود.

این بدان معناست که اگر شما برای لباس با 20 دلار پرداخت کنید، $(20 - 15.94) = 4.06 دلار به عنوان برگشت دریافت خواهید کرد.