ماشین حساب جایگشت

ماشین حساب جایگشت تعداد روش‌هایی که می‌توانید n شیء متمایز را مرتب کنید، ضمن گرفتن نمونه‌ای از r عنصر در هر زمان، محاسبه می‌کند. این به ما تعداد چیدمان‌های ممکن اشیاء در گروه‌ها را که ترتیب چیدمان در آنها مهم است، می‌گوید. تعداد کل اشیاء که قرار است مرتب شوند با n نشان داده می‌شود، در حالی که تعداد عناصر در هر گروه با r نشان داده می‌شود.

برای مثال، اگر بخواهیم حروف XYZ را در گروه‌هایی از دو حرف مرتب کنیم، آنگاه ما XY، XZ، YZ، YX، ZX، و ZY را خواهیم داشت: 6 روش.

برای استفاده از این ماشین حساب، n، تعداد کل اشیاء که قرار است به نحوی مرتب شوند، و r، تعداد عناصر در هر گروه را وارد کنید، سپس روی "محاسبه" کلیک کنید.

جایگشت‌ها

یک جایگشت از مجموعه‌ای، چیدمان اعضای آن در یک توالی یا ترتیب خاص است. اگر مجموعه‌ای از پیش مرتب شده باشد، جایگشتی از عناصر آن است. برای یک جایگشت، ترتیب عناصر مهم است. به عنوان مثال، جایگشت‌های AB و BA دو جایگشت متفاوت هستند. تعداد جایگشت‌های n شیء در نمونه‌هایی از r شیء به صورت nPr نشان داده می‌شود.

محاسبه تعداد جایگشت‌ها به اشیاء در حال چیدمان بستگی دارد. همچنین به این بستگی دارد که آیا تکرارها مجاز هستند یا خیر. مگر اینکه غیر از این ذکر شده باشد، ما فرض می‌کنیم که هنگام محاسبه جایگشت‌ها، تکرارها مجاز نیستند.

در این مقاله ما به نمونه‌هایی از جایگشت‌ها بدون تکرار خواهیم پرداخت.

جایگشت‌ها از اصل اساسی شمارش پیروی می‌کنند. این اصل بیان می‌کند که اگر یک آزمایش شامل k رویداد باشد که اولین رویداد n₁ بار اتفاق بیفتد، دومین رویداد n₂ بار رخ دهد. و این چنین ادامه پیدا کند تا رویداد k ام nₖ بار رخ دهد. تعداد روش‌هایی که آزمایش می‌تواند به صورت دنباله‌ای رخ دهد، با ضرب تعداد دفعاتی که رویدادهای فردی اتفاق می‌افتند، داده می‌شود، n₁ × n₂ × ... × nₖ.

فرض کنید می‌خواهیم تعداد چیدمان‌های ممکن حروف ABC را بدون تکرار در جایگشت‌ها بدانیم. هر یک از حروف می‌تواند اول باشد، پس 3 راه برای تنظیم حرف اول وجود دارد.

پس از تنظیم حرف اول، دو حرف باقی می‌ماند و هر یک از این دو حرف می‌تواند به عنوان حرف دوم تنظیم شود، پس دو راه برای تنظیم حرف دوم وجود دارد. پس از تنظیم حرف دوم، آنگاه فقط یک حرف باقی می‌ماند. بنابراین، فقط یک راه برای تنظیم حرف سوم وجود دارد.

بنابراین، بر اساس اصل شمارش اساسی، 3 × 2 × 1 = 6 راه برای چیدن حروف ABC وجود دارد. آنها ABC، ACB، BCA، BAC، CAB، و CBA هستند.

فاکتوریل

در بالا، ما برقرار کردیم که تعداد جایگشت‌های 3 شیء متمایز با 3 × 2 × 1 = 6 داده می‌شود. به طور کلی، تعداد جایگشت‌های n شیء (به طور کل) با n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 داده می‌شود.

یعنی ضرب تمام اعداد صحیح از n تا 1. ضرب تمام اعداد صحیح از یک عدد صحیح، به عنوان مثال n، تا 1 فاکتوریل نامیده می‌شود و با ! (علامت تعجب) نشان داده می‌شود.

بنابراین، n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1، و به آن n فاکتوریل گفته می‌شود.

توجه داشته باشید که 0!=1 و 1!=1 است.

نمونه‌ای از جایگشت‌ها

مسیر استاندارد مسابقات در المپیک معمولاً دارای 9 خط می‌باشد. با این حال، برای مسابقه 100 متر، معمولاً از خط 1 استفاده نمی‌شود. 8 دونده در خطوط 2 تا 9 به صورت ردیف چیده می‌شوند. چند روش ممکن برای چیدمان 8 دونده بر روی خطوط 2 تا 9 وجود دارد؟

بر اساس اصل شمارش:

• هر یک از 8 دونده می‌تواند خط 2 را بگیرد،
• هر یک از 7 دونده‌ی باقیمانده می‌تواند خط 3 را بگیرد،
• هر یک از 6 دونده‌ی باقیمانده می‌تواند خط 4 را بگیرد،
• هر یک از 5 دونده‌ی باقیمانده می‌تواند خط 5 را بگیرد،
• هر یک از 4 دونده‌ی باقیمانده می‌تواند خط 6 را بگیرد،
• هر یک از 3 دونده‌ی باقیمانده می‌تواند خط 7 را بگیرد،
• هر یک از 2 دونده‌ی باقیمانده می‌تواند خط 8 را دریافت کند،
• یک دونده‌ی باقیمانده خط 9 را دریافت می‌کند.

بنابراین، تعداد کل جایگشت‌های ممکن از 8 دونده که می‌توانند بر روی 8 خط چیده شوند، 8! = 8 × 7 × 6 × ... × 2 × 1 = 40,320 روش می‌باشد.

در ماشین حساب جایگشت‌ها، 8 را در هر دو جعبه n (اشیاء) و r (نمونه) وارد کرده و بر روی محاسبه کلیک کنید تا 40,320 به دست آید.

جایگشت زیرمجموعه‌ها

در مثال‌های قبلی، ما به جایگشت اشیاء نگاه کردیم زمانی که تمام اشیاء در چیدمان‌ها در نظر گرفته شده‌اند. با این حال، مواقعی وجود دارد که اشیاء در گروه‌های کوچکتر چیده می‌شوند.

در این موارد، تعداد کل اشیاء با n نشان داده شده، تعداد اشیاء در گروه‌ها (نمونه) با r نشان داده شده و فرمول تعداد جایگشت‌ها را می‌دهد:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

این فرمول برای محاس

مثال

در مثال بالا، ما به تعداد راه‌های ممکن برای چیدمان هشت دونده در مسابقه 100 متری نگاه کردیم. حالا، در همان مسابقه، سه مدال در دسترس هستند. نفر اول مسابقه مدال طلا، و دونده‌های دوم و سوم به ترتیب مدال نقره و برنز را کسب می‌کنند. از بین 8 دونده در مسابقه، چند روش ممکن برای بدست آوردن مدال‌های طلا، نقره و برنز وجود دارد؟

بر اساس اصل شمارش، هر یک از 8 دونده می‌تواند مقام اول را بگیرد. پس از تکمیل مقام اول، هفت دونده برای رقابت برای مقام دوم باقی می‌مانند. و پس از مقام دوم، شش دونده برای رقابت برای مقام سوم در نظر گرفته می‌شوند. بنابراین، تعداد کل جایگشت‌های ممکن از مقام اول تا سوم از بین 8 دونده عبارت است از: 8 × 7 × 6 = 336

ما از فرمول استفاده می‌کنیم:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

و به دست می‌آوریم

$$₈P₃=\frac{8!}{\left(8-3\right)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8×7×6×5×4×\ldots×1}{5×4×\ldots×1}=8×7×6=336$$

و در ماشین حساب جایگشت‌ها، 8 را در جعبه n (اشیاء) و 3 را در جعبه r (نمونه) وارد کرده و بر روی "محاسبه" کلیک کنید تا 336 به دست آید.

جایگشت‌ها و ترکیب‌ها: تفاوت

یکی دیگر از تکنیک‌های شمارش اساسی، ترکیب‌ها است. ترکیب‌ها، راه‌های مختلفی هستند که تعداد کمتری از اشیاء (نمونه)، r، می‌توانند از بین تعداد بیشتری از اشیاء، n، انتخاب شوند. تعداد ترکیب‌های r اشیاء از n اشیاء، به سادگی با ₙCᵣ نشان داده می‌شود.

در تعریف جایگشت، ما ذکر کردیم که ترتیب یا چیدمان مهم است. خوب، این تفاوت بین جایگشت‌ها و ترکیب‌ها است، زیرا در ترکیب‌ها، ترتیب مهم نیست.

پس، به عنوان مثال، ما ذکر کردیم که جایگشت‌های حروف XYZ در

با این حال، ترکیب‌های حروف XYZ در گروه‌هایی با دو حرف هر کدام XY، XZ، و YZ هستند؛ سه ترکیب. این به این دلیل است که در ترکیب‌ها، XY و YX به عنوان یک ترکیب یکسان در نظر گرفته می‌شوند؛ همینطور برای XZ و ZX، و همینطور برای YZ و ZY. بنابراین، ترتیب چیدمان در محاسبه ترکیب‌ها مهم نیست.

فرمول تعداد ترکیب‌های r اشیاء از n اشیاء را می‌دهد:

$$ₙСᵣ=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$$

مثالی از محاسبه ترکیب‌ها

در مثال بالا با دونده‌ها، ما تعداد روش‌هایی را که می‌توانیم مقام‌های اول، دوم، و سوم را از گروهی از 8 دونده انتخاب کنیم، به دست آوردیم. فرض کنید ما می‌خواهیم تعداد روش‌هایی که 3 مدال‌آور را می‌توان از گروهی از 8 دونده بدون در نظر گرفتن مقام‌های آنها انتخاب کرد، بدانیم. مهم نیست که فرد اول، دوم یا سوم شود، تا زمانی که دونده مدالی ببرد.

در این حالت، از ترکیب‌ها استفاده می‌شود زیرا ترتیب مدال‌ها مهم نیست. بنابراین، ما این مسئله را با استفاده از فرمول ترکیب‌ها حل می‌کنیم.

$$ₙСᵣ = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

تعداد روش‌هایی که 3 مدال‌آور را می‌توان از 8 دونده انتخاب کرد به شرح زیر است:

$$₈C₃=\frac{8!}{3! × \left(8-3\right)!}=\frac{8!}{3! × 5!}=\frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1}=8×7=56$$

مثال‌هایی از محاسبه جایگشت‌ها

1. تهیه‌کننده اخبار می‌تواند 3 نفر از 5 سخنران مهمان را برای برنامه تحلیلی خود انتخاب کند. ترتیب مهمان‌ها مهم است. تهیه‌کننده چند روش مختلف برای ترتیب ارائه‌های سخنرانان دارد؟ ترتیب مهم است و تکرار استفاده نخواهد شد چرا که یک مهمان نمی‌تواند دوبار در یک برنامه خبری ظاهر شود. بنابراین، ما می‌توانیم از فرمول جایگشت‌ها استفاده کنیم.

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₅P₃ = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60$$

بنابراین می‌توان دید که تهیه‌کننده 60 روش برای سازماندهی سخنران‌ها دارد.

2. یک منتقد رستوران 10 مکان خوب در شهر که سوشی ارائه می‌دهند را برای رتبه‌بندی سه رستوران برتر سوشی انتخاب کرده است. مکان‌ها باید به گونه‌ای ارائه شوند که جایگاه‌شان در رتبه‌بندی نشان داده شود. همچنین، یک مکان نمی‌تواند چندین بار در رتبه‌بندی ظاهر شود. بنابراین، ما الزامات فرمول جایگشت‌ها را برآورده می‌کنیم - ترتیب مهم است و نباید تکراری باشد. ما از فرمول جایگشت‌ها استفاده می‌کنیم:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₁₀P₃ = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 × 9 × 8 = 720$$

3. وقتی می‌گوییم که ترتیب برای جایگشت‌ها مهم است، به این معنا نیست که ترتیب باید عددی از 1 تا، بگوییم، 10 یا هر عدد دیگری باشد. ترتیب می‌تواند توسط اشیاء خاصی شکل گیرد که بین آنها عناصر مجموعه خود را تخصیص می‌دهیم.

به عنوان مثال، مدیر یک شرکت تعمیرات خانه را در نظر بگیرید. او امروز چهار سفارش برای رنگ‌آمیزی اتاق‌ها دارد. آنها دفتر یک آژانس ویزا، یک انبار در یک کارخانه، یک فروشگا

این اشیاء شامل دفتر یک آژانس ویزا، یک انبار در کارخانه، یک فروشگاه پوشاک، و یک اتاق در یک خانه خصوصی هستند که معادل موقعیت‌های 1، 2، 3، و 4 می‌باشند.

مدیر خواهد داشت:

• 6 متقاضی که می‌توانند به دفتر اختصاص یابند،
• 5 متقاضی باقی‌مانده برای اختصاص به انبار،
• 4 متقاضی باقی‌مانده برای فرستادن به فروشگاه،
• 3 متقاضی باقی‌مانده که می‌توانند به اتاقی در خانه خصوصی اختصاص یابند.

پس، به طور شهودی، می‌توانیم تعداد انتخاب‌ها را به صورت 6 × 5 × 4 × 3 = 360 توصیف کنیم.

شرط داده شده به ما این است که ترتیب توزیع نقاش‌ها بر روی اشیاء برای ما مهم است. تکرار مجاز نیست، یعنی یک نقاش نمی‌تواند در یک روز بر روی بیش از یک شیء کار کند. پس ما می‌توانیم فرمول جایگشتی که قبلاً استفاده کردیم را اعمال کنیم.

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 × 5 × 4 × 3 = 360$$

در نتیجه، 360 روش مختلف وجود دارد که یک مدیر شرکت تعمیرات خانه می‌تواند سفارشات را در شرایط داده شده بین نقاش‌های موجود توزیع کند.