ماشین حساب ریشه سوم

این ماشین حساب برای یافتن تمام ریشه‌های سوم یک عدد مورد استفاده قرار می‌گیرد. هم ریشه‌های واقعی و هم ریشه‌های موهومی را پیدا می‌کند.

دستورالعمل استفاده

برای یافتن ریشه سوم یک عدد، آن عدد را در فیلد ورودی وارد کنید و "محاسبه" را فشار دهید. ماشین حساب پاسخ را در دو قسمت نمایش می‌دهد: "ریشه اصلی (واقعی)"، و "تمام ریشه‌ها"، جایی که "تمام ریشه‌ها" شامل ریشه اصلی و ریشه‌های موهومی می‌شود.

ماشین حساب اعداد صحیح مثبت و منفی را به عنوان ورودی قبول می‌کند. کسرها و اعداد موهومی پذیرفته نمی‌شوند. توجه داشته باشید که اگر یک کسر یا عدد موهومی را به عنوان ورودی استفاده کنید، این ماشین حساب ریشه‌های سوم به طور خودکار هر چیزی را که پس از اولین نماد غیرعددی باشد، نادیده می‌گیرد. به عنوان مثال، اگر 8/15 را وارد کنید، ماشین حساب ریشه سوم 8 را محاسبه می‌کند؛ اگر 5 + 3i را وارد کنید، ریشه سوم 5 محاسبه می‌شود.

تعریف ریشه سوم

ریشه سوم یک عدد به عنوان عددی تعریف می‌شود که باید سه بار ضرب شود تا عدد اصلی به دست آید. ریشه سوم x به طور معمول به صورت ∛x نشان داده می‌شود. بر اساس تعریف، y ریشه سوم x است:

$$y=\sqrt[3]{x}$$

اگر

$$y \times y \times y = x$$

گرفتن ریشه سوم یک عدد، ∛x، معادل با بلند کردن آن عدد به توان 1/3 است:

$$\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$$

عملیات ریشه سوم معکوس عملیات یافتن مکعب یک عدد است. برای یافتن مکعب یک عدد، باید آن عدد سه بار ضرب شود:

$$y^3 = y \times y \times y = x$$

و برعکس،

$$\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{y×y×y}=y$$

مکعب‌های کامل

یک مکعب کامل عددی است که ریشه سوم آن یک عدد صحیح است. به عنوان مثال، 8 یک مکعب کامل است چرا که:

$$\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2×2×2}=2$$

از آنجا که اعداد صحیح اعداد کاملی هستند که می‌توانند مثبت و منفی باشند، مکعب‌های کامل می‌توانند هم مثبت و هم منفی باشند. به عنوان مثال، -8 یک مکعب کامل است چرا که:

$$\sqrt[3]{-8}=\sqrt[3]{-2×-2×-2}=-2$$

0 نیز یک عدد صحیح است و

$$\sqrt[3]{0}=\sqrt[3]{0×0×0}=0$$

بنابراین، 0 نیز یک مکعب کامل است.

از سوی دیگر، 4 یک مکعب کامل نیست چرا که ریشه سوم واقعی 4:

∛4 ≈ 1.58740105

که یک عدد صحیح نیست.

خواص ریشه سوم

ریشه سوم یک عدد منفی به عنوان منفی ریشه سوم یک عدد مثبت تعریف می‌شود، یعنی

$$\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}$$

به عنوان مثال,

$$\sqrt[3]{-27}=-\sqrt[3]{27}=-3$$

خاصیت ضرب ریشه‌های سوم:

$$\sqrt[3]{x}×\sqrt[3]{y} =\sqrt[3]{x×y}$$

چگونگی محاسبه ریشه سوم

محاسبه ریشه سوم واقعی یک مکعب کامل

برای یافتن ریشه سوم یک عدد، از روش تجزیه به عوامل اول استفاده کنید:

1. عوامل اول عدد را پیدا کنید.
2. عوامل اول را به گروه‌هایی تقسیم کنید که حاوی سه عامل یکسان باشند.
3. یک عامل از هر گروه را برداشته و آن‌ها را با هم ضرب کنید تا جواب نهایی به دست آید.

به عنوان مثال، بیایید همه ریشه‌های سوم واقعی 3375، ∛3375 را پیدا کنیم:

1. با یافتن عوامل اول 3375، می‌گیریم 3375 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5.
2. با تقسیم آن‌ها به گروه‌هایی از سه عامل یکسان، می‌گیریم 3375 = (3 × 3 × 3) × ( 5 × 5 × 5).
3. در نهایت، با برداشتن یک عامل از هر گروه و ضرب کردن آن‌ها، می‌گیریم 3 × 5 = 15.

بنابراین، ∛3375 = 15.

اگر عوامل اول یک عدد به گروه‌های سه تایی تقسیم نشوند، آن عدد یک مکعب کامل نیست و ما نمی‌توانیم از این روش برای یافتن ریشه سوم استفاده کنیم.

محاسبه ریشه سوم واقعی یک عدد بزرگتر از -1 و کمتر از 1 (به جز 0)

اگر عدد داده شده بزرگتر از -1 و کمتر از 1 باشد، نمی‌تواند یک مکعب کامل باشد چون تعریف مکعب کامل عددی است که ریشه سوم آن یک عدد صحیح است. هر عدد y از بازه -1 < y < 1 که 0 نباشد نمی‌تواند یک مکعب کامل باشد. با این حال، گاهی اوقات یافتن ریشه سوم واقعی چنین عددی می‌تواند نسبتاً آسان باشد.

به عنوان مثال، بیایید همه ریشه‌های سوم واقعی -0.000125 را پیدا کنیم. این عدد یک عدد صحیح نیست. بنابراین، نمی‌توانیم از روش تجزیه به عوامل اول توصیف شده بالا استفاده کنیم.

اما به راحتی می‌توان متوجه شد که -0.000125 = -125 × 10⁻⁶ است. بنابراین،

$$\sqrt[3]{-0.000125}=\sqrt[3]{(-125)×10⁻⁶}$$

با اعمال خاصیت ضرب ریشه سوم، می‌گیریم:

$$\sqrt[3]{-0.000125}=\sqrt[3]{(-125)×10⁻⁶}=\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}$$

با بازنویسی ریشه سوم عدد منفی به عنوان منفی ریشه سوم عدد مثبت، می‌گیریم:

$$\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}=-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}$$

به راحتی می‌توان متوجه شد که 125 = 5 × 5 × 5 و 10⁻⁶ = 10⁻² × 10⁻² × 10⁻² است. بنابراین،

$$\sqrt[3]{(125)}=\sqrt[3]{(5×5×5)}=5$$

و

$$\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=\sqrt[3]{(10⁻²)×(10⁻²)×(10⁻²)=10⁻²}$$

در نهایت، می‌گیریم:

$$\sqrt[3]{(-0.000125)}=\sqrt[3]{((-125) × 10⁻⁶)}=\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}$$

$$\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}$$

$$-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=-\sqrt[3]{(5×5×5)}×\sqrt[3]{(10⁻²)×(10⁻²)×(10⁻²)}=(-5)×10⁻²=-0.05$$

مثال‌های واقعی

ریشه‌های سوم در زندگی واقعی برای یافتن طول هر یک از اضلاع یک شیء مکعبی استفاده می‌شوند. به عنوان مثال، اگر حجم یک جعبه را می‌دانید و می‌خواهید بفهمید که ارتفاع آن چقدر است، بررسی کنید که آیا جایی جا می‌شود یا نه. یا، اگر بخواهید مقدار رنگی که برای نقاشی دیوارهای یک اتاق مکعبی لازم دارید، تخمین بزنید. یا، اگر بخواهید تعداد کاشی‌هایی که برای پوشاندن کف یک اتاق مکعبی با حجم شناخته شده نیاز دارید، بشمارید.

حجم مکعبی چوب

تصور کنید قصد ساختن یک خانه را دارید و با آگهی فروش 64 متر مکعب چوب مواجه می‌شوید. ابعاد این حجم چوب به طول، عرض، و ارتفاع چقدر خواهد بود؟

برای حل این مشکل، باید ریشه سوم 64 را پیدا کنید. طول ضلع مکعب فرضی که به شما کمک می‌کند این حجم را توصیف کنید، ∛64 = 4 خواهد بود. بنابراین، از داده‌های اصلی در مورد حجم مکعبی چوب، ما یک دیدگاه متفاوت از اندازه چنین حجمی داریم.