ماشین حساب قضیه فیثاغورس

این ماشین حساب فیثاغورسی طول یک ضلع از مثلث قائم‌الزاویه را می‌یابد اگر دو ضلع دیگر مثلث شناخته شده باشند. محاسبات بر اساس قضیه فیثاغورس انجام می‌شوند.

دستورالعمل استفاده

طول اضلاع شناخته شده را وارد کنید و دکمه "محاسبه" را فشار دهید. ماشین حساب مقادیر زیر را برمی‌گرداند:

• طول ضلع سوم.
• مقادیر زاویه اضلاع غیر 90 درجه به درجه و رادیان.
• مساحت مثلث.
• محیط مثلث.
• طول ارتفاع عمود بر وتر.

ماشین حساب همچنین راه حل دقیق را برمی‌گرداند که با فشار دادن "+ نمایش مراحل محاسبه" می‌توانید آن را گسترش دهید.

توجه داشته باشید که فیلدهای ورودی برای هر ضلع شامل یک بخش عدد صحیح و یک بخش ریشه دوم هستند تا بتوانید به راحتی مقادیری مانند 2√3، √3 و غیره را وارد کنید.

همچنین توجه داشته باشید که مقادیر a و b، اضلاع مثلث، باید کوتاه‌تر از مقدار c، وتر، باشند.

قضیه فیثاغورس

قضیه پیتاگوراس بیان می‌کند که در یک مثلث قائم‌الزاویه، مربع طول وتر برابر با مجموع مربع‌های طول کاتت‌ها است.

قضیه فیثاغورس به شکل زیر نوشته می‌شود:

a² + b² = c²,

که در آن a و b طول کوتاه‌ترین اضلاع یا پاهای یک مثلث قائم‌الزاویه هستند، و c – طول بلندترین ضلع یا وتر است. معادله بالا به این شکل توصیف می‌شود: a به توان دو به علاوه b به توان دو برابر با c به توان دو.

اثبات قضیه فیثاغورس

بیایید قضیه فیثاغورس را با جمع‌بندی مساحت‌ها اثبات کنیم.

در تصویر بالا، مربعی با ضلع (a + b) شامل یک مربع با ضلع c و چهار مثلث قائم‌الزاویه با اضلاع a، b، و c است. بیایید مساحت این مربع را با دو روش مختلف پیدا کنیم:

1. مساحت سطح مربع با طول ضلع (a + b) می‌تواند به صورت (a + b)² محاسبه شود:

A = (a + b)²

2. همان مساحت سطح می‌تواند به عنوان مجموع مساحت‌های اشکال تشکیل‌دهنده مربع پیدا شود – مساحت یک مربع با ضلع c، و چهار مساحت یک مثلث با اضلاع a، b، و c. مساحت مربع با ضلع c می‌تواند به عنوان c² محاسبه شود. مساحت مثلث قائم‌الزاویه با اضلاع a، b، و c می‌تواند به عنوان (ab)/2 یافت شود. بنابراین،

A = c² + 4 × (ab)/2 = c² + 2ab

از آنجایی که هر دوی این محاسبات یک مساحت سطح را توصیف می‌کنند، می‌توانیم آن‌ها را با هم برابر کنیم:

(a + b)² = c² + 2ab

با گسترش مربع در سمت چپ معادله، می‌گیریم:

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

با کم کردن 2ab از هر دو طرف معادله، می‌گیریم:

a² + b² = c²

که نتیجه مورد نیاز است.

الگوریتم‌های محاسبه

یافتن اضلاع یک مثلث قائم‌الزاویه

اگر دو ضلع از یک مثلث قائم‌الزاویه داده شده باشد، ضلع سوم می‌تواند با استفاده از قضیه فیثاغورس یافت شود. به عنوان مثال، اگر اضلاع a و b داده شده باشند، طول ضلع c به شکل زیر یافت می‌شود:

$$c=\sqrt{a²+b²}$$

به طور مشابه،

$$a=\sqrt{c²-b²}$$

و

$$b=\sqrt{c²-a²}$$

یافتن زاویه‌های یک مثلث قائم‌الزاویه

اگر هر سه ضلع مثلث قائم‌الزاویه شناخته شده باشد، زاویه‌های غیر 90 درجه‌ای مثلث به شرح زیر یافت می‌شوند:

• ∠α = arcsin(a/c) یا ∠α = arccos(b/c)
• ∠β = arcsin(b/c) یا ∠β = arccos(a/c)

در اینجا، ∠α زاویه مقابل پایه 'a'، ∠β زاویه مقابل پایه 'b'، و 'c' وتر است. انتخاب بین arcsin و arccos بستگی به این دارد که کدام پایه (a یا b) را در ارتباط با زاویه در نظر می‌گیرید. با استفاده از arcsin، شما پایه مقابل به زاویه را استفاده می‌کنید، و با arccos، شما پایه مجاور به زاویه را استفاده می‌کنید. هر دو رویکرد معتبر هستند و به شما اندازه‌گیری‌های درست زاویه در یک مثلث قائم‌الزاویه را می‌دهند.

مساحت یک مثلث قائم‌الزاویه

مساحت یک مثلث قائم‌الزاویه می‌تواند به عنوان 1/2 حاصلضرب پایه‌های آن محاسبه شود:

A = 1/2 × (ab) = (ab)/2

محیط یک مثلث قائم‌الزاویه

محیط یک مثلث قائم‌الزاویه به عنوان مجموع همه اضلاع آن محاسبه می‌شود:

P = a + b + c

ارتفاع نسبت به وتر

اگر هر سه ضلع یک مثلث قائم‌الزاویه شناخته شده باشد، ارتفاع نسبت به وتر، h، به شکل زیر یافت می‌شود:

h = (a × b)/c

مثال‌های واقعی

قضیه فیثاغورس به طور گسترده‌ای در معماری و ساختمان‌سازی برای محاسبه طول‌های لازم قطعات و اطمینان از زاویه‌های درست در ساختمان‌های ساخته شده استفاده می‌شود. بیایید به مثالی از کاربرد این قضیه نگاه کنیم.

جای‌دادن اشیاء

تصور کنید در حال نقل مکان هستید و یک کامیون حمل بار با طول 4 متر و ارتفاع 3 متر اجاره کرده‌اید. شما اشیاء حجیم زیادی ندارید، اما یک نردبان دارید که طول آن 4.5 متر است. آیا نردبان شما درون کامیون جا می‌شود؟

راه‌حل

از آنجا که طول نردبان، 4.5 متر، از طول کامیون، 4 متر، بیشتر است، تنها راه جای‌دادن نردبان درون کامیون به صورت قطری است. برای تعیین اینکه آیا این کار ممکن است، نیاز به استفاده از قضیه فیثاغورس برای محاسبه وتر یک مثلث با اضلاعی برابر با طول و ارتفاع کامیون داریم. بنابراین، در مورد ما a = 4، b = 3 است و ما باید c را پیدا کنیم:

$$c=\sqrt{a²+b²}=\sqrt{4²+3²}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$

وتر یک مثلث با a = 4 و b = 3، c = 5 است. بنابراین، طولانی‌ترین شی که می‌تواند درون کامیون جا شود، می‌تواند 5 متر باشد. نردبان شما 4.5 متر طول دارد. بنابراین، به راحتی جا می‌شود!

پاسخ

بله، نردبان جا می‌شود.

محاسبات اضافی

این ماشین حساب آنلاین، برخی ویژگی‌های اضافی مثلث داده شده را نیز پیدا می‌کند. این ویژگی‌ها را برای مثلثی با a = 4، b = 3، و c = 5 محاسبه کنید.

مساحت مثلث:

A = (ab)/2 = (3 × 4)/2 = 12/2 = 6

محیط مثلث:

P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12

ارتفاع نسبت به وتر:

h = (a × b)/c = (3 × 4)/5 = 12/5 = 2.4

زاویه مقابل به ضلع a:

∠α = arcsin(a/c) = arcsin(4/5) = arcsin(0.8) = 53.13° = 53°7'48" = 0.9273 رادیان

زاویه مقابل به ضلع b:

∠β = arcsin(b/c) = arcsin(3/5) = arcsin(0.6) = 36.87° = 36°52'12" = 0.6435 رادیان