ماشین حساب معادله درجه دو

ماشین حساب معادله درجه دو

معادلات درجه دو بخش مهمی از برنامه‌های درسی ریاضی مدارس و دانشگاه‌ها هستند. برای مثال، حل معادله درجه دو اطلاعات متنوعی مانند نرخ‌های تغییر، روندهای صعودی و نزولی تابع را فراهم می‌کند. یافتن راه‌حل معادله درجه دو نیازمند انجام دادن مجموعه‌ای از عملیات‌های جبری و حسابی است. اگرچه راه‌حل دارای یک فرم استاندارد است، انجام دستی ریاضیات کمی زمان می‌برد.

ماشین حساب فرمول درجه دو آنلاین ابزاری آسان برای استفاده است که بلافاصله راه‌حل معادله درجه دو را به کاربر ارائه می‌دهد. این ابزار رایگان پاسخ‌ها را فراهم می‌کند و مراحل اعمال شده هنگام حل معادله را نشان می‌دهد. بنابراین، کاربر مشکل حل کردن، نتایج عددی، و راهنمای گام‌به‌گام از طریق راه‌حل را مفهومی خواهد کرد.

معادلات درجه دو

گاهی اوقات به معادله درجه دو، به عنوان تابع درجه دو یا چندجمله‌ای درجه دوم نیز اطلاق می‌شود، یک معادله جبری با فرم کلی ax²+bx+c=0 است که در آن x متغیر ناشناخته‌ای است که باید پیدا شود. عبارت‌های a و b ضرایب x² و x هستند، در حالی که C یک ثابت است. کلمه "چهارگانه" یا "درجه دوم" از این واقعیت نشأت می‌گیرد که بالاترین توان متغیر x، 2 است، همانند x². می‌توانیم برخی مثال‌هایی از معادلات درجه دو را در زیر نشان دهیم.

$$2x²-4x+0.5=0$$

$$-3x²+\frac{1}{3}x+6=0$$

معادله 2x²=0 نیز یک معادله درجه دو است، با b=0 و c=0. با این حال، 2x+3=0 یک معادله درجه دو نمی‌باشد چون عبارت چندجمله‌ای ax² در معادله یافت نمی‌شود. همانطور که در مثال‌های قبلی نشان داده شده است، مقادیر A، B، و C می‌توانند اعداد صحیح مثبت/منفی یا اعشاری (کسرها) باشند به طوری که a≠0.

حل معادلات درجه دو

تعداد راه‌حل‌های ممکن برای یک معادله برابر با بالاترین مقدار توان در معادله است. در این زمینه، یک معادله درجه دو می‌تواند حداکثر دو راه‌حل داشته باشد. یکی از راه‌های حل یک تابع درجه دو استفاده از فرمول درجه دو است که در معادله (1) بیان شده است.

$$x₁=\frac{-b+\sqrt{b²-4ac}}{2a}\ \ \ \ \ \ \ ;\ \ \ x₂=\frac{-b-\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$ (1)

می‌توانید فرم فشرده برای فرمول درجه دو را به این صورت بنویسید:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

این یک راه‌حل ساده است که کاربر می‌تواند مقادیر A، B، و C را قرار دهد تا مقدار x₁ و x₂ را بدست آورد. بر اساس مقدار ممیز که با عبارت زیر رادیکال b²-4ac نشان داده شده است، تعداد و ماهیت راه‌حل تغییر می‌کند. ما می‌توانیم سه حالت را بحث کنیم:

• اگر ممیز مثبت باشد؛ b²-4ac>0، پس دو راه‌حل حقیقی وجود دارد (x₁≠x₂)
• اگر ممیز صفر باشد؛ b²-4ac=0، پس یک راه‌حل حقیقی وجود دارد (x₁=x₂)
• اگر ممیز منفی باشد؛ b²-4ac<0، پس دو راه‌حل مختلط وجود دارد (x₁≠x₂)

ما مثالی از هر حالت را در بخش مثال‌ها ارائه خواهیم داد.

به صورت گرافیکی، در صفحه مختصات x-y، که y تابعی از x است، خواننده می‌تواند راه‌حل(های) تابع درجه دو را به صورت مختصات x نقاطی که تابع y خط x را قطع می‌کند، به طور بصری درک کند.

استفاده از ماشین حساب فرمول درجه دو

ماشین حساب حل‌کننده درجه دو می‌تواند تمام معادلات درجه دو را حل کند، صرف‌نظر از ماهیت راه‌حل (حقیقی یا مختلط). این ماشین حساب سه ورودی را می‌پذیرد: مقادیر A، B، و C. در برخی موارد، کاربر ممکن است قبل از استفاده از ماشین حساب نیاز به انجام برخی دستکاری‌ها روی معادله داشته باشد.

در 2x² = x + 3، کاربر باید به سادگی عبارت‌ها را از طرف راست به طرف چپ منتقل کند. در نتیجه 2x²-x-3=0 به دست می‌آید، که در آن a = 2، b = -1، و c = - 3 است.

همچنین، با در نظر گرفتن 4(x²-0.2x)=1، کاربر باید پرانتز را با نوشتن 4x²-0.8x=1 گسترش دهد، سپس عبارت‌ها را از طرف چپ به راست منتقل کند تا معادله را به فرم کلی 4x²-0.8x-1=0 قرار دهد که در آن a = 4، b=-0.8 و c=-1 است.

مثال‌ها

در این بخش، سه مثال می‌توانند سه حالت احتمالی راه‌حل معادله درجه دو را با استفاده از ماشین حساب معادلات درجه دو توضیح دهند.

مثال 1: دو راه‌حل حقیقی

مورد نیاز است تا راه‌حل(های) تابع درجه دو y₁ که به صورت y₁=x²-8x+12 داده شده و در شکل 1 نشان داده شده است، پیدا شود.

به طور غریزی، هدف یافتن مختصات x نقطه(هایی) است که تابع y₁ خط x را قطع می‌کند - اگر چنین نقطه‌ای وجود داشته باشد.

شکل 1: نمودار y₁=x²-8x+12

اول، تابع برابر با صفر قرار داده می‌شود (y₁ با 0 جایگزین می‌شود)، که منجر به x²-8x+12=0 می‌شود. مشاهده می‌شود که معادله آخر در فرم استاندارد معادله درجه دو است که در آن a=1، b=-8، و c=12 است. ما می‌توانیم مستقیماً از ماشین حساب فرمول معادله درجه دو استفاده کنیم.

با بررسی مقدار ممیز b²-4ac=(-8)²-4(1)(12)=16>0، تابع درجه دو باید دو راه‌حل حقیقی داشته باشد. پس از فشار دادن دکمه محاسبه، ماشین حساب راه‌حل عددی و مراحل راه‌حل را با استفاده از فرمول معادله درجه دو (1) ارائه می‌دهد.

مهم است که تأکید شود پس از وارد کردن مقادیر A، B، و C، ماشین حساب معادله را نشان می‌دهد. کاربر باید بررسی کند که معادله نمایش داده شده همان معادله در دست است تا از اشتباهات ورودی جلوگیری شود.

• معادله: x²-8x+12=0

• راه‌حل: x₁=2 و x₂=6

• مراحل:

$$x = \frac {-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a}=\frac{-(-8) ±\sqrt{(-8)^2-4×1×12}}{2×1}=\frac{8 ±\sqrt{16}}{2}=4 ±2=6 \ یا \ 2$$

بنابراین راه‌حل x₁=2 و x₂=6 است. ما می‌توانیم با بررسی تقاطع تابع با محور x، نتایج را به صورت گرافیکی تأیید کنیم. شکل 2 نشان می‌دهد که تابع در نقاط ذکر شده قبلی، محور x را قطع می‌کند.

شکل 2: نمودار y₁=x²-8x+12

مثال 2: یک راه‌حل حقیقی

با در نظر گرفتن تابع دیگر، y₂-3x²+25=-4x²+10x. قبل از استفاده از ماشین حساب، گام اولیه جدا کردن y₂ در یک طرف و جمع‌آوری تمام عبارت‌های دیگر در طرف دیگر به صورت y₂=-4x²+10x+3x²-25 خواهد بود. با قرار دادن y₂ برابر با صفر و انجام عملیات حسابی، فرم کلی به دست می‌آید به صورت -x²+10x-25=0 با a=-1، b=10، و c=-25.

ممیز برابر با صفر است b²-4ac=(10)²-4(-1)(-25)=0، پس، کاربر انتظار یک راه‌حل واحد را خواهد داشت. سپس، می‌توانیم از ماشین حساب فرمول درجه دو برای یافتن x₁=x₂=5 استفاده کنیم.

• معادله: -x²+10x–25=0

• راه‌حل: x = 5

• مراحل:

$$x = \frac{-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a} = \frac{-10±{\sqrt{10^2 – 4 × (-1) × (-25)}}}{2×-1}=\frac{-10± \sqrt{0}}{-2} = 5$$

شکل 3 نمودار y₂ را نشان می‌دهد که تابع در یک نقطه محور x را قطع می‌کند.

شکل 3: y₂=-x²+10x-25

مثال 3: دو راه‌حل مختلط

در نهایت، y₃=x²-4x+8 مورد مطالعه قرار گرفت تا نشان دهد چگونه یک تابع درجه دو می‌تواند دو راه‌حل مختلط داشته باشد. شکل 4 نشان می‌دهد که y₃ محور x را قطع نمی‌کند.

شکل 4: y₃=x²-4x+8

با نگاهی به b²-4ac=(-4)²-4(1)(8)=-16<0 که وجود دو راه‌حل مختلط را نشان می‌دهد، اما اعداد مختلط چه هستند؟

یک عدد مختلط، عددی است که به صورت ترکیبی از اعداد حقیقی و موهومی بیان شده و به شکل a+ib است.

در این مورد، 'i' در اعداد مختلط نشان‌دهنده واحد موهومی است، که ریشه دوم -1 را نشان می‌دهد.

عبارت A بخش حقیقی عدد مختلط (Re) را نشان می‌دهد. از طرف دیگر، ib عدد موهومی (Im) است که i=√-1.

ریشه دوم شامل یک عدد منفی خواهد بود وقتی که عبارت b²-4ac کمتر از صفر باشد. بنابراین، گرفتن ریشه دوم یک عدد منفی نیاز به استفاده از اعداد مختلط دارد.

بازگشت به یافتن راه‌حل x²-4x+8=0؛ ماشین حساب معادله را حل می‌کند و x₁=2+2i و x₂=2-2i را پیدا می‌کند.

• معادله: x²–4x+8=0

• دو راه‌حل ممکن وجود دارد: x=2±2i

• مراحل:

$$x = \frac{-b ± \sqrt{b² – 4ac}}{2a} = \frac{-(-4) ± \sqrt{(-4)^2 – 4 × 1 × 8}}{2 × 1} = \frac{4 ± \sqrt{-16}}{2} = 2 ± 2i$$

دامنه استفاده و نکات

ماشین حساب فرمول درجه دو برای دانش‌آموزان در مدارس و دانشگاه‌ها یا هر کسی که به دنبال راه‌حل سریعی برای یک تابع درجه دو است، طراحی شده است. توابع درجه دو می‌توانند در مهندسی، اقتصاد، کشاورزی و غیره یافت شوند.

در حالی که استفاده از ابزار ساده است، کاربر باید قادر به انجام عملیات‌های حسابی پایه برای قرار دادن معادله در فرم استاندارد درجه دو ax²+bx+c=0 برای استفاده از ابزار باشد. علاوه بر این، ترجیح داده می‌شود (الزامی نیست) که با اعداد مختلط آشنا باشید چون راه‌حل یک معادله درجه دو ممکن است یک جفت از اعداد مختلط باشد.

کاربر همچنین ممکن است علاقه‌مند به استفاده از برخی ابزارهای ترسیم برای تجسم تابع و راه‌حل‌های آن باشد.