ماشین حساب میانگین

ماشین حساب آنلاین میانگین، یافتن میانگین برای هر مجموعه داده‌ای را آسان می‌کند. شما می‌توانید داده‌های خود را تایپ، کپی و در کادر داده‌ها جایگذاری کنید. مطمئن شوید که هر نقطه داده را با یک ویرگول جدا کرده‌اید. سپس، روی دکمه "محاسبه" کلیک کنید.

ماشین حساب میانگین به شما میانگین (میانگین حسابی)، گام‌های محاسبه و سایر آمارهای مرتبط با مجموعه داده را نشان می‌دهد.

میانگین

میانگین به عنوان میانگین مقادیر در یک مجموعه داده تعریف می‌شود. تمام مقادیر در مجموعه داده برای محاسبه میانگین استفاده می‌شوند. بنابراین، نماینده کل مجموعه داده است. میانگین به عنوان یکی از مهم‌ترین معیارهای گرایش مرکزی یا اقدامات خلاصه در نظر گرفته می‌شود.

میانگین حسابی ساده رایج‌ترین میانگین است. با این حال، انواع مختلفی از میانگین‌ها وجود دارد، از جمله میانگین هندسی، میانگین وزنی، میانگین حسابی ترکیبی، میانگین هارمونیک و غیره.

میانگین یک جمعیت با μ (مو) نشان داده می‌شود و میانگین یک نمونه با X̄ (ایکس بار) نشان داده می‌شود.

میانگین ساده

میانگین ساده با تقسیم مقادیر مجموعه داده بر تعداد کل آیتم‌های داده محاسبه می‌شود. گاهی اوقات به میانگین ساده به عنوان میانگین، میانگین حسابی و میانگین اشاره می‌شود.

برای محاسبه میانگین جمعیت، ما می‌توانیم از فرمول زیر استفاده کنیم.

μ = جمع مقادیر مجموعه داده / تعداد کل مقادیر داده در جمعیت = ΣX / N

برای محاسبه میانگین یک نمونه، می‌توانیم از فرمول زیر استفاده کنیم:

X̄ = جمع مقادیر مجموعه داده / تعداد کل مقادیر داده در نمونه = ΣX/n

بیایید با مثال زیر، میانگین را یاد بگیریم.

مثال

نمرات یاسمین برای هفت درس از ترم قبل در جدول زیر نمایش داده شده است. میانگین نمرات درس‌های ترم قبل یاسمین چقدر است؟

راه‌حل

میانگین نمرات = ΣX / N = (84 + 90 + 75 + 60 + 85 + 92 + 81) / 7 = 567 / 7 = 81

میانگین مفهومی است که همه با آن آشنا هستند. میانگین درآمد، میانگین هزینه تولید، قیمت‌گذاری متوسط، میانگین نمره، مصرف متوسط سوخت و غیره، چند مثالی هستند که شاید اغلب شنیده باشید. حتی در زندگی روزمره، میانگین ساده یک محاسبه استاندارد است. میانگین ساده یا میانگین حسابی ساده نیز به عنوان میانگین ایده‌آل شناخته می‌شود.

با این حال، در برخی موقعیت‌ها، از سایر معیارهای گرایش مرکزی استفاده می‌کنیم. بیایید به آنها نگاهی بیندازیم.

میانگین هندسی

میانگین حسابی اندازه‌گیری مناسبی هنگام تعیین میانگین نرخ رشد یک مقدار در طول زمان نیست. میانگین هندسی، که اغلب در حسابداری و مالیه استفاده می‌شود، مانند در محاسبه بهره مرکب، نشانگر بسیار بهتری برای چنین محاسباتی است. این به این دلیل است که نرخ رشد به صورت ضربی تا جمعی است.

میانگین هندسی مجموعه داده‌های شما به عنوان ریشه n ام حاصلضرب n عدد تعریف می‌شود. با ضرب هر مقدار در یکدیگر و سپس محاسبه ریشه n ام حاصلضرب محاسبه می‌شود، که در آن n تعداد اقلام در مجموعه داده است. میانگین هندسی هنگام میانگین‌گیری نسبت‌ها، درصدها و نرخ‌های رشد مفید است.

$$میانگین\ هندسی = \sqrt[n]{x₁×x₂×x₃×…×xₙ} = (x₁×x₂×x₃×…×xₙ)^{\frac{1}{n}}$$

ما میانگین هندسی مثال قبلی را خواهیم یافت.

$$میانگین هندسی = \$\sqrt[7]{84×90×75×60×85×92×81} = 80.31\$$$

میانگین هندسی همیشه برابر یا کمتر از میانگین ساده (میانگین حسابی) است.

در مثال ما،

میانگین هندسی ≤ میانگین

80.31 < 81

شما می‌توانید از ماشین حساب میانگین برای تعیین بیش از فقط میانگین حسابی استفاده کنید. همچنین می‌توانید از آن برای به دست آوردن میانگین هندسی مجموعه داده‌های خود استفاده کنید.

میانگین وزنی

در میانگین حسابی ساده، همه مقادیر وزن یا اهمیت یکسانی دارند. اما در برخی موارد نمی‌توانیم همان سطح اهمیت را به هر مقدار در مجموعه داده‌هایمان اعمال کنیم.

در مثال ما، میانگین را با جمع کردن همه نمرات و تقسیم بر کل تعداد دروس محاسبه کردیم. ما اهمیت نسبی هر درس را در نظر نگرفته‌ایم.

وقتی نیاز داریم به اهمیت نسبی هر عنصر از مجموعه داده‌هایمان هنگام محاسبه میانگین توجه کنیم، باید از میانگین وزنی استفاده کنیم. میانگین وزنی با تقسیم مقادیر وزن‌دار بر مجموع وزن‌ها محاسبه می‌شود. مقدار داده ضرب‌شده در وزن مرتبط، مقدار وزن‌دار است.

می‌توانیم از فرمول زیر برای یافتن میانگین وزنی استفاده کنیم.

میانگین وزنی = جمع مقادیر وزن‌دار / جمع وزن‌ها = ΣWX / ΣW

مثال

فرض کنید که هر یک از دروس در مثال قبلی وزن متفاوتی دارند. پس، جدول داده‌های به‌روزشده برای نمرات یاسمین در 7 درس ترم قبل به شرح زیر است.

میانگین وزنی نمرات یاسمین از ترم قبل

راه‌حل

میانگین وزن‌دار نمرات = ΣWX / ΣW = (84×3+90×2+75×4+60×3+85×3+92×2+81×3)/(3+2+4+3+3+2+3) = (252+180+300+180+255+184+243)/20 = 1594/20 = 79.7

میانه

میانه، مقدار میانی مجموعه داده است زمانی که به ترتیب صعودی (از کمترین مقدار به بیشترین مقدار) یا نزولی (از بیشترین مقدار به کمترین مقدار) مرتب شود. به عبارت دیگر، میانه نقطه‌ای است که در آن آرایه داده (آرایه چیدمانی از داده‌های خام به ترتیب صعودی یا نزولی از مقادیر است) به دو قسمت مساوی تقسیم می‌شود. در نتیجه، 50٪ از مقادیر زیر میانه و 50٪ بالای میانه قرار دارند.

روش محاسبه میانه

هنگام یافتن میانه ابتدا، باید موقعیت میانه را با استفاده از فرمول زیر پیدا کنیم:

$$موقعیت\ میانه = \left( \frac{n+1}{2} \right)^{امین\ مورد}$$

"n” تعداد کل موارد مجموعه داده را نشان می‌دهد.

اگر تعداد کل موارد در مجموعه داده فرد باشد، مقدار مورد مرکزی میانه است. اما اگر تعداد کل موارد در مجموعه داده زوج باشد، میانگین بین دو عدد در میانه، میانه است.

تفاوت‌های بین میانگین و میانه

1. میانگین، یا متوسط، با جمع کردن همه مقادیر در یک مجموعه داده و سپس تقسیم بر تعداد مشاهدات محاسبه می‌شود. این به ما مقداری می‌دهد که هر نقطه در مجموعه داده را در نظر می‌گیرد. در مقابل، میانه مقدار میانی در مجموعه داده‌ای است که از کمترین به بیشترین مرتب شده و یک نقطه مرکزی را فراهم می‌کند که مجموعه داده را به دو نیم تقسیم می‌کند، اما مقدار کلی تمام مقادیر را در نظر نمی‌گیرد.

2. هم میانگین و هم میانه می‌توانند از نمایش گرافیکی داده‌ها به طور تقریبی تخمین زده شوند. میانگین می‌تواند در یک توزیع متقارن به طور تقریبی تخمین زده شود زیرا باید در مرکز قرار داشته باشد، در حالی که میانه می‌تواند به عنوان مقدار میانی در یک نمودار جعبه‌ای، به عنوان مثال، تعیین شود.

3. هم میانگین و هم میانه در تحلیل‌های آماری بیشتری کاربردهای خود را دارند. میانگین به ویژه برای داده‌هایی که توزیع نرمال داشته و شامل نقاط دور از مرکز نیستند، مفید است، زیرا در محاسبات واریانس و انحراف معیار گنجانده شده است. میانه به عنوان یک معیار گرایش مرکزی زمانی که داده‌ها کج یا شامل نقاط دور از مرکز هستند ارزشمند است و اغلب در آزمون‌های آماری غیرپارامتری که فرضیه خاصی برای توزیع داده‌ها ندارند، استفاده می‌شود.

چه زمانی از میانگین استفاده کنیم

میانگین مناسب‌ترین معیار گرایش مرکزی است زمانی که مجموعه داده توزیع تقارنی دارد و شامل نقاط دور از مرکز نیست. این یک نشانگر قابل اعتماد از مرکز داده‌ها است زیرا هر مقدار را در بر می‌گیرد. اگر یک مجموعه داده شامل نقاط دور از مرکز باشد، ممکن است پیش از محاسبه میانگین، برداشتن این نقاط برای اطمینان از نمایندگی دقیق از گرایش مرکزی ترجیح داده شود.

چه زمانی از میانه استفاده کنیم

میانه ترجیح داده شده معیار گرایش مرکزی است هنگام روبرو شدن با توزیع‌های کج یا زمانی که نقاط دور از مرکز وجود دارند. این به دلیل آن است که میانه، به عنوان مقدار میانی یک مجموعه داده که از کمترین به بیشترین مرتب شده است، تحت تأثیر مقادیر بسیار بزرگ یا کوچک قرار نمی‌گیرد، برخلاف میانگین. در چنین مواردی، میانه یک مقدار مرکزی بهتری را فراهم می‌کند که اکثریت داده‌ها را بدون اعوجاج توسط نقاط دور از مرکز نمایندگی می‌کند.

بیایید مثال اصلی خود را تغییر دهیم و در مورد نقاط دور از مرکز یاد بگیریم.

مثال

فرض کنید یاسمین به جای 92، نمره 15 را برای دروس بین‌المللی دریافت کرده است. میانگین نمرات جدید یاسمین از دروس ترم گذشته چقدر است؟

راه حل

میانگین نمره = ΣX / N = (84+90+75+60+85+15+81)/7 = 490/7 = 70

میانگین جدید نمره 70 است. این مقدار از 81 به 70 یعنی 11 واحد کاهش یافته است. شما توانستید ببینید که نمرات ناهمگون چگونه بر میانگین تأثیر می‌گذارند.

در این نوع موقعیت‌ها، میانه داده‌ها معیار مناسب‌تری برای مرکز گرایش از میانگین است. برای درک این موضوع، بیایید میانه را برای نمونه‌های اصلی و تغییر یافته محاسبه کنیم.

مثال

جدول زیر نمرات اصلی یاسمین را برای هفت درس از ترم گذشته نشان می‌دهد. میانه نمرات دروس ترم گذشته یاسمین چقدر است؟

راه حل

به عنوان گام اول، تمام نمرات را به صورت یک آرایه مرتب می‌کنیم. بسته به ترجیح شما، می‌توانید آن‌ها را به ترتیب صعودی یا نزولی سازمان‌دهی کنید.

60، 75، 81، 84، 85، 90، 92

$$موقعیت\ مدیان = آیتم\ \left( \frac{n+1}{2} \right)^{ام} = آیتم\ \left( \frac{7+1}{2} \right)^{ام} = آیتم\ 4^{ام}$$

سپس، ما بررسی می‌کنیم که چهارمین عنصر مجموعه داده‌های ما چیست. آن 84 است. بنابراین، میانه مجموعه داده 84 است. اکنون، ما میانه مجموعه داده تغییر یافته با ناهنجاری‌ها را پیدا می‌کنیم.

مثال

فرض کنید یاسمین به جای 92، نمره 15 را برای مطالعات بین‌المللی دریافت کرده است. میانه جدید نمرات دروسی که یاسمین در ترم گذشته گرفته چقدر است؟

راه حل

به عنوان گام اول، تمام نمرات را به صورت یک آرایه مرتب می‌کنیم. بیایید داده‌های ما را به ترتیب صعودی مرتب کنیم.

60، 75، 81، 84، 85، 90، 92

$$موقعیت\ میانه = آیتم\ \left( \frac{n+1}{2} \right)^{ام} = آیتم\ \left( \frac{7+1}{2} \right)^{ام} = آیتم\ 4^{ام}$$

اکنون، ما بررسی می‌کنیم که چهارمین عنصر مجموعه داده‌های ما چیست. آن 84 است و میانه مجموعه داده را نشان می‌دهد.

حتی اگر در این مورد یک ناهنجاری وجود داشته باشد، میانه تأثیر نپذیرفته است.