ماشین حساب کسرهای معادل

ماشین حساب کسرهای معادل، کسرهای معادل کسرهای داده شده، اعداد صحیح، و اعداد مخلوط را پیدا می‌کند. مقادیر ورودی می‌توانند مثبت یا منفی باشند. برای یافتن کسرهای معادل اعداد صحیح و اعداد مخلوط، ماشین حساب ابتدا آن‌ها را به کسرها تبدیل می‌کند. اگر مقدار ورودی از قبل یک کسر باشد، این ماشین حساب می‌تواند به عنوان یک تبدیل‌کننده کسر به کسر استفاده شود.

دستورالعمل‌های استفاده

برای استفاده از ماشین حساب، مقدار داده شده را وارد کرده و روی «محاسبه» فشار دهید.

محدودیت‌های مقدار ورودی

ماشین حساب اعداد زیر را به عنوان ورودی‌ها قبول می‌کند:

1. کسرهای صحیح. به عنوان مثال، \$\frac{1}{3}\$ یا \$-\frac{16}{32}\$. توجه داشته باشید که کسرها نیازی به ساده‌سازی ندارند.
2. کسرهای ناصحیح. به عنوان مثال، \$-\frac{5}{2}\$ یا \$\frac{16}{8}\$.
3. اعداد مخلوط. هنگام وارد کردن یک عدد مخلوط، بخش عدد صحیح را با فضا از بخش کسری جدا کنید. به عنوان مثال، \$2\frac{2}{3}\$ یا \$5\frac{9}{2}\$. توجه داشته باشید که بخش کسری یک عدد مخلوط می‌تواند صحیح یا ناصحیح باشد.
4. اعداد صحیح، به استثنای صفر. به عنوان مثال، 92 یا -1.

تعاریف

کسرهای معادل – کسرهایی هستند که همان مقدار را توصیف می‌کنند، اما از اعداد مختلفی تشکیل شده‌اند. به عنوان مثال، \$\frac{1}{2}\$ معادل با \$\frac{4}{8}\$ است، حتی اگر از اعداد مختلفی تشکیل شده باشند.

چگونه کسرهای معادل را پیدا کنیم

برای یافتن کسرهای معادل، صورت و مخرج کسر داده شده را به همان تعداد ضرب یا تقسیم کنید. این فرآیند فقط زمانی باید انجام شود که هر دو عدد نتیجه (صورت و مخرج) صحیح باشند (نه اعشاری و نه کسری).

به عنوان مثال، برای یافتن کسرهای معادل \$\frac{1}{2}\$، می‌توانید مداوماً صورت و مخرج را به هر عددی ضرب کنید، تا زمانی که هر دو عدد نتیجه (صورت و مخرج) صحیح باشند.

بیایید کسرهای معادل \$\frac{1}{2}\$ را با ضرب کردن در 4 پیدا کنیم:

\$\frac{1}{2}\$ = \$\frac{1 × 4}{2 × 4}\$ = \$\frac{4}{8}\$ = \$\frac{16}{32}\$ = \$\frac{64}{128}\$ …

از آنجایی که فرآیند ضرب می‌تواند به طور نامحدود ادامه یابد، هر کسر تعداد نامحدودی کسر معادل دارد.

مهم است توجه داشته باشیم که از آنجایی که کسرهای معادل با ضرب یا تقسیم صورت و مخرج کسر داده شده با همان عدد محاسبه می‌شوند، ساده‌ترین شکل همه کسرهای معادل یکسان است.

همچنین واضح است که دو کسر مختلف در ساده‌ترین شکل خود هرگز نمی‌توانند معادل باشند.

بررسی معادل بودن دو کسر

برای بررسی معادل بودن دو کسر، حاصلضرب متقاطع آن‌ها را محاسبه کنید. اگر حاصلضرب‌های متقاطع برابر باشند، کسرها معادل هستند.

مثال 1

بیایید بررسی کنیم که آیا \$\frac{1}{3}\$ و \$\frac{4}{11}\$ معادل هستند یا خیر. برای یافتن حاصلضرب متقاطع دو کسر، صورت کسر اول را در مخرج کسر دوم ضرب کنید، و مخرج کسر اول را در صورت کسر دوم:

$$\frac{1}{3}\ و\ \frac{4}{11}$$

حاصلضرب‌های متقاطع این دو کسر (1 × 11) = 11 و (3 × 4) = 12 است. 11 ≠ 12، بنابراین، \$\frac{1}{3}\$ ≠ \$\frac{4}{11}\$، و کسرهای داده شده معادل نیستند.

مثال 2

کدام کسر معادل با \$\frac{2}{3}\$ است: \$\frac{12}{18}\$ یا \$\frac{12}{19}\$؟

برای پاسخ به این سوال، نیاز به بررسی حاصلضرب متقاطع دو جفت کسر داریم:

$$\frac{2}{3}\ و\ \frac{12}{18}$$

$$\frac{2}{3}\ و\ \frac{12}{19}$$

حاصلضرب‌های متقاطع \$\frac{2}{3}\$ و \$\frac{12}{18}\$ (2 × 18) = 36، و (3 × 12) = 36 است. حاصلضرب‌های متقاطع برابر هستند، بنابراین، \$\frac{2}{3}\$ و \$\frac{12}{18}\$ کسرهای معادلی هستند.

حاصلضرب‌های متقاطع \$\frac{2}{3}\$ و \$\frac{12}{19}\$ (2 × 19) = 38 و (3 × 12) = 36 است. 38 ≠ 36، بنابراین، \$\frac{2}{3}\$ و \$\frac{12}{19}\$ معادل نیستند.

مثال محاسبه

در زندگی واقعی، یافتن کسرهای معادل وقتی که نیاز به جمع، تفریق یا مقایسه کسرها با مخرج‌های مختلف، یا کسرها و اعداد مخلوط یا اعداد صحیح داریم، بسیار مفید است.

برش پیتزا

بیایید با یک مثال ساده از برش پیتزا شروع کنیم. تصور کنید شما و دوستتان یک پیتزا سفارش داده‌اید، اما پیتزا بدون برش تحویل داده شده است. شما می‌خواهید پیتزا را به طور مساوی بین خودتان تقسیم کنید، اما البته برش دادن آن به دو قسمت و خوردن نیمی از پیتزا چندان راحت نیست. پیتزا را می‌توانید به چند قطعه تقسیم کنید و هر کدام از شما باید چند قطعه بخورید؟

راه حل 1

واضح است که هر کدام از شما در نهایت باید نیمی از پیتزا را بخورید، پس \$\frac{1}{2}\$. برای پاسخ دادن به سوالات داده شده، باید برخی از کسرهای معادل با \$\frac{1}{2}\$ را پیدا کنیم. ابتدا با ضرب مکرر صورت و مخرج \$\frac{1}{2}\$ در 2 این کار را انجام دهیم. ما به دست می‌آوریم:

\$\frac{1}{2}\$ = \$\frac{1 × 2}{2 × 2}\$ = \$\frac{2}{4}\$ = \$\frac{4}{8}\$ = \$\frac{8}{16}\$ …

این بدان معناست که می‌توانید پیتزا را به 4 قطعه برش دهید، در این صورت هر یک از شما می‌تواند 2 قطعه بخورد. یا می‌توانید پیتزا را کوچک‌تر، به 8 قطعه برش دهید، در این صورت هر یک از شما می‌تواند 4 قطعه بخورد. یا می‌توانید آن را به 16 قطعه برش دهید، در این صورت هر یک از شما می‌تواند 8 قطعه بخورد. برش دادن پیتزا به بیش از 16 قطعه ناراحت‌کننده خواهد بود، پس ما در اینجا متوقف می‌شویم.

راه حل 2

توجه داشته باشید که می‌توانید مشکل داده شده را با ضرب کردن کسر اصلی در عدد متفاوتی در هر بار حل کنید:

\$\frac{1}{2}\$ = \$\frac{1 × 2}{2 × 2}\$ = \$\frac{2}{4}\$ = \$\frac{1 × 2}{2 × 2}\$ = \$\frac{3}{6}\$ = \$\frac{1 × 3}{2 × 3}\$ = \$\frac{4}{8}\$ = \$\frac{1 × 4}{2 × 4}\$ = \$\frac{5}{10}\$ = \$\frac{1 × 5}{2 × 5}\$ = \$\frac{6}{12}\$ = \$\frac{1 × 6}{2 × 6}\$ = \$\frac{7}{14}\$ = \$\frac{1 × 7}{2 × 7}\$ = \$\frac{8}{16}\$ = \$\frac{1 × 8}{2 × 8}\$ …

در این حالت، برخی از کسرهای به دست آمده همان کسرهای راه حل 1 خواهند بود، اما برخی متفاوت خواهند بود. اینجا، ما همان گزینه‌های \$\frac{2}{4}\$, \$\frac{4}{8}\$, و \$\frac{8}{16}\$ را داریم، اما همچنین گزینه‌های اضافی \$\frac{3}{6}\$, \$\frac{5}{10}\$, \$\frac{6}{12}\$, و \$\frac{7}{14}\$ را نیز داریم.

این بدان معناست که می‌توانید پیتزا را به 6 قطعه برش دهید، در حالی که هر یک از شما می‌تواند 3 تا داشته باشد؛ یا آن را به 10 قطعه برش دهید، در حالی که هر یک از شما می‌تواند 5 تا داشته باشد؛ یا آن را به 12 قطعه برش دهید، در حالی که هر یک از شما می‌تواند 6 تا داشته باشد، و غیره. باز هم، این فرآیند می‌تواند به طور نامحدود ادامه یابد، اما ما فقط گزینه‌هایی را که برای برش پیتزا منطقی به نظر می‌رسند، فهرست می‌کنیم.

پاسخ

\$\frac{1}{2}\$ = \$\frac{2}{4}\$ = \$\frac{3}{6}\$ = \$\frac{4}{8}\$ = \$\frac{5}{10}\$ = \$\frac{6}{12}\$ = \$\frac{7}{14}\$ = \$\frac{8}{16}\$ …

در این کسرهای معادل مخرج‌ها تعداد کل قطعات را نشان می‌دهند، در حالی که صورت‌های متناظر تعداد قطعاتی را که هر یک از شما می‌توانید بخورید، نشان می‌دهند.